luận văn hàm và chuỗi hilbert

3 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Nghiên cứu cấu trúc vành và module để phân lớp chúng là một trong những nhiệm vụ quan trọng của Đại số Giao hoán. Kết quả của việc làm này cho ta các thông tin cần thiết để nghiên cứu các đa tạp trong Hình học Đại số, bởi lẽ mỗi đa tạp là tập các không điểm của một ideal và việc nghiên cứu đa tạp tơng ứng với việc nghiên cứu vành thơng theo ideal xác định đa tạp đó, (điều này cũng cho thấy Đại số Giao hoán có quan hệ mật thiết, là một công cụ chủ yếu của Hình học Đại số). Có nhiều lí thuyết cho phép ta đặc tả cấu trúc vành và module, chẳng hạn: Lí thuyết đồng điều, Lí thuyết dy phần tử, Lí thuyết bội, Cần nhấn mạnh rằng số bội có liên quan chặt chẽ đến số các giao điểm của một đa tạp đại số bất khả quy khi cắt nó bởi hệ thống các siêu phẳng đủ tổng quát. Muốn tiếp cận theo hớng này, chúng ta cần phải xác định đợc số bội (kèm theo là chiều Krull) của vành hay module đang xét. Điều này dẫn đến bắt buộc phải khảo sát hàm và chuỗi Hilbert của các lớp vành, module phân bậc hay đa phân bậc. Nh vậy việc nghiên cứu hai khái niệm này là một khâu thiết yếu để ta có thể tiếp cận gần hơn với cấu trúc của vành và module. Đó là lí do chúng tôi chọn đề tài: Hàm và chuỗi Hilbert . 2. Mục đích nghiên cứu Hệ thống hoá và minh hoạ chi tiết các tính chất cơ bản của hàm và chuỗi Hilbert của module. Ngoài ra, khoá luận còn trình bày một số kiến thức về hàm đa thức, đa thức số học và có liên hệ với một số bài toán của THPT. 3. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu Đối tợng chính mà khoá luận nghiên cứu là hàm và chuỗi Hilbert, trong đó tập trung nhiều hơn vào khái niệm hàm Hilbert. Bên cạnh đó, khoá luận còn nghiên cứu một loạt các khái niệm bổ trợ có thể coi nh kiến thức chuẩn bị phục vụ cho việc khảo sát các đối tợng chính nh: Vành và module phân bậc, độ dài module, chiều Krull, hàm đa thức và đa thức số học, 4 4. Phơng pháp nghiên cứu + Phơng pháp nghiên cứu lí luận: Trớc hết là đọc các tài liệu liên quan đến lớp vành và module phân bậc, độ dài module, đa thức số học và hàm đa thức để tìm hiểu cơ sở lí luận làm tiền đề cho việc nghiên cứu đối tợng chính. Tiếp đó vận dụng các kiến thức cơ sở trên để đọc, hiểu về định nghĩa và các tính chất của hàm và chuỗi Hilbert qua các tài liệu liên quan. + Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp và hệ thống hoá các kiến thức về vấn đề nghiên cứu đầy đủ và khoa học, kết hợp với đa vào các ví dụ minh hoạ chi tiết. + Phơng pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hớng dẫn và các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung cũng nh hình thức của khoá luận. 5. ý nghĩa khoa học và thực tiễn Khoá luận có thể là tài liệu tham khảo cho những sinh viên chuyên ngành Toán có mong muốn tìm hiểu sâu hơn về cấu trúc của module mà cụ thể là về hàm và chuỗi Hilbert. Đồng thời, sử dụng các kiến thức về đa thức số học giúp giải quyết một số bài toán THPT đơn giản hơn. Với bản thân, nghiên cứu về hàm và chuỗi Hilbert giúp tôi hiểu rõ hơn về cấu trúc của vành và module, thấy đợc sự liên hệ chặt chẽ giữa Đại số Giao hoán và Hình học Đại số. 6. Bố cục của khoá luận Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung của khoá luận gồm ba chơng. Chơng 1 gồm ba phần. Phần thứ nhất trình bày các kiến thức cơ sở về vành phân bậc, chẳng hạn: Phần tử thuần nhất, ideal thuần nhất, thành phần phân bậc, Phần thứ hai nghiên cú về module phân bậc trên vành phân bậc với các khái niệm liên quan và một vài tính chất cơ bản của chúng. Phần ba tìm hiểu về vành và module Rees. Chơng 2 nghiên cứu về độ dài module. Chơng này gồm hai phần trình bày về khái niệm độ dài module và một vài đặc trng của module có độ dài hữu hạn. Đây là một trong những đặc trng quan trọng khi nghiên cứu về cấu trúc của module. 5 Chơng 3 gồm ba phần. Đây là chơng chứa đựng nội dung chính của khoá luận. Trong đó phần đầu của chơng là những kiến thức về đa thức số học và hàm đa thức. Phần thứ hai khảo sát về hàm và chuỗi Hilbert. Phần cuối của chơng là đa thức Hilbert - Samuel cùng với định lí cơ bản của Lí thuyết chiều. Trong toàn bộ khoá luận, khái niệm vành luôn đợc giả thiết là vành giao hoán có đơn vị 1 0 . 6 Chơng 1. vành và module phân bậc Nội dung của chơng này gồm các vấn đề sau: Khái niệm và một số tính chất cơ bản của vành phân bậc, module phân bậc trên vành phân bậc, vành và module Rees. 1.1. Vành phân bậc Đây là nội dung cơ sở của khoá luận, làm nền cho việc xây dựng khái niệm hàm và chuỗi Hilbert của module. Đồng thời đây cũng là lớp vành đóng vai trò quan trọng khi nghiên cứu về Lí thuyết chiều. 1.1.1. Vành phân bậc và các đối tợng thuần nhất của nó Định nghĩa 1.1.1.1. Cho ( , ) G + là một vị nhóm cộng giao hoán với phần tử trung hoà 0. Một vành R đợc gọi là vành G - phân bậc nếu tồn tại một họ các nhóm con cộng giao hoán { } G R của R thoả mn các điều kiện sau: ( ) i G R R = ( ) ii R R R + , mọi , G . Ngời ta gọi R là thành phần phân bậc của R , kí hiệu: [ ] R Ví dụ. ( ) i Cho A là vành giao hoán, có đơn vị. Khi đó: G A R R = = với khi = 0 0 khi 0 A R = là một vành G - phân bậc. ( ) ii Cho K là một trờng, ta có vành đa thức 1 2 [ , , , ] d R K x x x = . Khi đó có thể phân bậc vành này nh sau: 1. Gọi n R là tập tất cả các đa thức thuần nhất bậc n , tính cả đa thức không. Ta có 0 n n R R = là một vành - phân bậc. Khi đó R đợc gọi là có phân bậc chuẩn hay phân bậc tự nhiên. 7 2. Vì 1 2 {( , , , ), , i = 1, } d d i d = là một vị nhóm cộng giao hoán nên với mỗi 1 2 ( , , , ) d d = đặt 1 2 1 2 d d x x R Kx = thì d R R = là một vành d - phân bậc. Nhận xét 1.1.1.2. Nh vậy, mỗi vành giao hoán đều có thể coi là một vành G - phân bậc và trên cùng một vành có thể có nhiều cách phân bậc khác nhau. Định nghĩa 1.1.1.3. (Các đối tợng thuần nhất của vành phân bậc) Cho vành G - phân bậc G R R = . Khi đó: ( ) i Mỗi phần tử x R đợc gọi là một phần tử thuần nhất bậc và kí hiệu: deg x = . Quy ớc: Phần tử 0 là phần tử thuần nhất bậc tùy ý. ( ) ii Vành con S của R đợc gọi là một vành con phân bậc hay vành con thuần nhất nếu ( ) G S S R = . ( ) iii Một ideal I của R đợc gọi là ideal phân bậc hay ideal thuần nhất nếu ( ) G I I R = . ( ) iv Một ideal I của R đợc gọi là thừa nhận đợc nếu với mỗi tập con hữu hạn J của G , thì từ J x I với x R sẽ kéo theo x I với J . Ví dụ. Cho 1 2 [ , , , ] d R K x x x = là vành đa thức d biến trên trờng K có phân bậc 0 n n R R = với n R là tập tất cả các đa thức thuần nhất bậc n . Khi đó, I là ideal thuần nhất của R nếu nó sinh bởi các đa thức thuần nhất. 1.1.2. Một số tính chất của vành phân bậc Mệnh đề 1.1.2.1. Nếu G R R = là một vành G - phân bậc thì 0 R là một vành con của R chứa đơn vị 1. Đồng thời R là các 0 R - module với G . Chứng minh. Theo định nghĩa ta có ngay 0 0 0 R R R , suy ra 0 R là một nhóm cộng giao hoán đóng với phép nhân trong R , do đó nó là một vành con của R . Mặt khác, do 1 G R R = nên 1 đợc viết duy nhất dới dạng 1 G x = với 8 x R , x = 0 hầu hết trừ một số hữu hạn. Khi đó, với G ta có 1 G x x x x R = = , mà x x R R R + , G . Do đó: 0 x x = , 0 hay 0 x x x = , G . Kết hợp với G R R = ta suy ra 0 x x x = , x R . Vậy 0 1 x = hay 0 1 R . Cuối cùng, từ 0 R R R , G ta suy ra R là các 0 R - module với G . Mệnh đề 1.1.2.2. Cho I là một ideal của vành phân bậc . R Khi đó ba mệnh đề sau là tơng đơng: (i) Ideal I là thừa nhận đợc. (ii) Ideal I là thuần nhất. (iii) Ideal I đợc sinh bởi những phần tử thuần nhất nào đó của R. Chứng minh. ( ) ( ) i ii Mỗi x I giả sử J x x = với x R và J là một tập con hữu hạn của G . Do I là thừa nhận đợc nên x I với J . Do đó x I R , suy ra ( ) G x I R hay ( ) G I I R . Bao hàm thức ngợc lại là hiển nhiên. ( ) ( ) ii iii Do ( ) G I I R = nên mỗi x I ta có G x x = với x I R . Suy ra x R hay x là phần tử thuần nhất. ( ) ( ) iii i Giả sử I sinh bởi tập S những phần tử thuần nhất của R . Khi đó, mỗi x I ta có: 1 n i i i x y = = , , y i i R S . Gọi x là tổng tất cả các hạng tử cùng bậc trong biểu diễn của x , thì deg( ) i i i i y x y = = và J x x = . Do S là hệ sinh của I nên x I hay I là thừa nhận đợc. Mệnh đề 1.1.2.3. Nếu , I J là các ideal thuần nhất của một vành phân bậc R thì , , I J IJ I J + cũng là các ideal thuần nhất. Đặc biệt, nếu n n R R = là một vành - phân bậc, thì I , ( : ) I J cũng là các ideal thuần nhất. 9 Nhận xét 1.1.2.4. Cho vành G - phân bậc G R R = , I là một ideal phân bậc của R . Khi đó, G R I R là một vành phân bậc với phép nhân đợc hiểu là: R R I R I R R I R + + . Từ đó, ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.1.2.5. Nếu I là một ideal thuần nhất của một vành phân bậc R thì vành thơng R I cũng là một vành phân bậc. Khi đó, G R I R đợc gọi là một dạng biểu diễn của R I và ta có thể viết: G R R I I R = . Mệnh đề 1.1.2.6. Cho 0 n n R R = là một vành - phân bậc và 1 2 { , , , } n x x x là tập các phần tử thuần nhất có bậc dơng trong R . Khi đó, 1 2 { , , , } n x x x là hệ sinh của R + khi và chỉ khi 0 1 2 [ , , , ] n R R x x x = . Chứng minh. ( ) Giả sử 1 2 ( , , , ) n R x x x + = . Ta sẽ chứng minh 0 1 2 [ , , , ] r n R R x x x với mọi 0 r bằng qui nạp theo r . Với 0 r = , hiển nhiên có 0 0 1 2 [ , , , ] n R R x x x . Giả sử mệnh đề trên đ đúng với mọi t r < , tức là 0 1 2 [ , , , ] t n R R x x x , t r < . Ta chứng minh nó cũng đúng với r . Thật vậy, lấy r x R , khi đó vì 1 2 ( , , , ) n R x x x + = nên x đợc viết dới dạng: 1 1 2 2 r r x a x a x a x = + + + , với i a R . Vì luôn có thể coi i a là các phần tử thuần nhất nên với mọi i ta có: deg( ) deg i i i i a x a degx r = + = . Suy ra deg i a r < hay 0 1 2 [ , , , ] i n a R x x x với mọi i , (theo giả thiết qui nạp). Ta nhận đợc 1 1 2 2 0 1 2 [ , , , ] n n n x a x a x a x R x x x = + + + . Từ đó 0 1 2 [ , , , ] r n R R x x x . Mệnh đề đúng với r . Suy ra 0 1 2 0 [ , , , ] n n n R R R x x x = . Bao hàm thức ngợc lại là hiển nhiên. 10 ( ) Hiển nhiên. Ta nhắc lại rằng, một R - module M đợc gọi là module Noether nếu nó thoả mn một trong các điều kiện sau: ( ) i Mọi tập hợp không rỗng những module con của M đều có một phần tử cực đại. ( ) ii Mọi dy tăng những module con của M : 1 2 n M M M đều dừng, nghĩa là tồn tại m để k m M M = với mọi k m . ( ) iii Mọi module con của M đều là hữu hạn sinh. Một vành R đợc gọi là vành Noether nếu nó là R - module Noether. Từ đó kết hợp với Mệnh đề 1.1.2.6 ta có hệ quả: Hệ quả 1.1.2.7. Cho 0 n n R R = là một vành - phân bậc. Khi đó R là Noether khi và chỉ khi 0 R là Noether và R là một 0 R - đại số hữu hạn sinh. 1.1.3. Đồng cấu phân bậc Định nghĩa 1.1.3.1. Cho G R R = và G S S = là hai vành G - phân bậc và : R S f là một đồng cấu vành. Khi đó, f đợc gọi là đồng cấu phân bậc hay đồng cấu thuần nhất bậc nếu ( ) f R S + , với G . Một đồng cấu thuần nhất với bậc nào đó đợc gọi tắt là đồng cấu thuần nhất hay đồng cấu phân bậc. Ví dụ. ( ) i Cho R là một vành G - phân bậc và r R . Khi đó đồng cấu nhân : R R cho bởi ( ) f x rx = , x R là đồng cấu thuần nhất bậc . ( ) ii Xét vành đa thức hai biến [ , ] R K X Y = trên trờng K với phân bậc chuẩn 0 n n R R = . Khi đó đồng cấu : R R f xác định bởi ( ) f X X Y = + và ( ) f Y X = là một tự đồng cấu phân bậc của R . Nhng đồng cấu h : R R xác định bởi ( ) 1, ( ) 1 h X X h Y Y = + = + không phải là một đồng cấu phân bậc (vì 1, 1 X Y + + không phải là các phần tử thuần nhất). 11 Tơng tự nh đối với đồng cấu vành, đồng cấu phân bậc cũng có tính chất sau: Mệnh đề 1.1.3.2. Cho R, S, T là các vành G- phân bậc. Nếu : R S là một đồng cấu thuần nhất bậc và : S T là một đồng cấu thuần nhất bậc thì : R T là một đồng cấu thuần nhất bậc + . Mệnh đề 1.1.3.3. Nếu : R S là một đồng cấu thuần nhất thì Ker là một ideal thuần nhất của R, Im là một vành con thuần nhất của . S Chứng minh. Giả sử là một đồng cấu thuần nhất bậc . Khi đó vì R sinh bởi các phần tử thuần nhất nên Im sinh bởi tập , { ( )/ } A x x R G = . Với mỗi , vì ( ) R S + nên ( ) x S + là một phần tử thuần nhất của S . Suy ra A là tập con các phần tử thuần nhất của S , hay Im là vành con thuần nhất của S . Tiếp theo ta chứng minh Ker là một ideal thuần nhất của R . Với mỗi x Ker , giả sử J x x = với x R , J là một tập con hữu hạn của G . Khi đó, 0 ( ) ( ) G x x = = với ( ) x S + . Mà 0 0 0 = + + và biểu diễn là duy nhất nên ta suy ra ( ) x = 0, mọi J . Vậy x Ker với mọi J . Do đó Ker là ideal thừa nhận đợc của R . Bởi Mệnh đề 1.1.2.2, Ker là ideal thuần nhất của R . 1.2. Module phân bậc Định nghĩa 1.2.1. Cho ( , ) G + là một vị nhóm con của vị nhóm cộng giao hoán * ( , ) G + , G R R = là một vành G - phân bậc. Một R - module M đợc gọi là một R - module G * - phân bậc nếu tồn tại một họ { } * G M các nhóm con cộng của M thoả mn các điều kiện sau: ( ) i * G M M = ( ) ii R M M + với mọi * , G G . Khi đó, M đợc gọi là thành phần thuần nhất bậc của M và kí hiệu là [ ] M . Ví dụ. ( ) i Mỗi vành phân bậc R đều là một R - module phân bậc. 12 ( ) ii Cho M M = là R - module phân bậc, p . Đặt ( ) p M p M + = . Khi đó, ( ) ( ) M p M p = cũng là một R - module phân bậc. Hơn nữa, ( ) M p còn đợc gọi là module dịch chuyển của M và p là số dịch chuyển. Nhận xét 1.2.2. Do 0 R M M với mọi * G nên M và họ { } * G M đều là các 0 R - module. Định nghĩa 1.2.3. (Các đối tợng thuần nhất) Cho G R R = là một vành G - phân bậc và * G M M = là R - module phân bậc. Khi đó: ( ) i Phần tử x M đợc gọi là một phần tử thuần nhất bậc và kí hiệu degx = . Quy ớc: Phần tử 0 là phần tử thuần nhất bậc tuỳ ý. ( ) ii Một R - module con N của M đợc gọi là một module con phân bậc hay module con thuần nhất nếu * ( ) G N N M = . ( ) iii Một R - module con N của M đợc gọi là thừa nhận đợc nếu với mỗi J là tập con hữu hạn của * G mà J x N với x M sẽ kéo theo x N với mọi J . Chú ý 1.2.4. Nếu a R và x M là các phần tử thuần nhất thì hoặc deg deg ax a degx = + hoặc 0. ax = Định nghĩa 1.2.5. Cho * G M M = và * ' G M M = là các G R R = - module phân bậc và : M M' là một đồng cấu R - module. Khi đó, đợc gọi là đồng cấu phân bậc hay đồng cấu thuần nhất bậc nếu ( )M M + với mọi * G . Nếu là đồng cấu thuần nhất bậc nào đó thì đợc gọi tắt là đồng cấu thuần nhất hay đồng cấu phân bậc. Dới đây là một số tính chất của module phân bậc trên vành phân bậc mà việc chứng minh chúng hoàn toàn tơng tự nh đối với vành phân bậc. [...]... một v nh Artin v M l một R - module hữu hạn sinh Khi đó M l R - module có độ d i hữu hạn 25 Chơng 3 hàm và chuỗi hilbert Nội dung của chơng n y bao gồm: Các kiến thức cơ sở về h m đa thức v đa thức số học, trong đó có liên hệ với một số b i toán của THPT, một số tính chất của h m v chuỗi Hilbert, đa thức Hilbert - Samuel Phần cuối của chơng l khái niệm chiều Krull, chiều Chevalley v định lí cơ bản của... định nghĩa về h m v chuỗi Hilbert của module Định nghĩa 3.2.2 Cho R = Rn l một v nh phân bậc v l đại số hữu hạn sinh n0 trên v nh Artin R0 M = M n l một R - module phân bậc hữu hạn sinh Khi n 0 đó, h m H ( M )(n) = lR (M n ) của biến số nguyên không âm n đợc gọi l h m 0 Hilbert của M Chuỗi luỹ thừa hình thức với hệ số nguyên: F ( M , t ) = H ( M )(n)t n [[t ]] n 0 đợc gọi l chuỗi Hilbert của M Nh... l một v nh - phân bậc có h m Hilbert n0 H ( R)(n) = lR ( Rn ) v 0 I l một ideal thuần nhất của R Khi đó bởi Mệnh đề 1.1.2.5 thì R I = Rn I R cũng l v nh - phân bậc Do đó theo tính chất n n0 cộng tính của độ d i ta có h m Hilbert của R I l : H ( R I )(n) = lR ( Rn I Rn ) = lR ( R n ) lR ( I Rn ) 0 0 35 0 Định lí sau của D Hilbert v J Serre cho ta biết chuỗi Hilbert chính l một dạng biểu... chuẩn R = Rn Khi đó, nh đ biết chuỗi Hilbert của R l : n0 1 F ( R, t ) = Cnn+ d 1t n = Cd01 + Cd t + Cd2+1t 2 + n 0 Mặt khác, vì x1 , x2 , , xd R1 nên ta có: F ( R, t ) = h(t ) với h(t ) [t ] Theo (1 t )d công thức khai triển h m số th nh chuỗi h m luỹ thừa ta tính đợc h(t ) = 1 Vậy F ( R, t ) = 1 v d ( R) = d (1 t )d 3.3 Đa thức Hilbert - Samuel Định nghĩa đa thức Hilbert - Samuel đợc phát biểu... Bởi giả thiết qui nạp áp dụng cho s 1 biến n2 , , ns , ta đợc al (n2 , , ns ) l một h m đa thức với mọi l = 0, , k Vậy f (n1 , , ns ) l một h m đa thức của n1 , n2 , , ns 3.2 H m v chuỗi Hilbert Khái niệm h m v chuỗi Hilbert của module đợc xây dựng trên lớp v nh v module phân bậc m mở đầu l mệnh đề sau: Mệnh đề 3.2.1 Cho R = Rn l một v nh phân bậc v l đại số hữu hạn sinh n0 trên v nh Artin R0 M =... dạng phân bậc chuẩn R = Rn Khi đó, h m Hilbert của R l : n0 H ( R)(n) = lR ( Rn ) = lK ( Rn ) = dim K ( Rn ) 0 Mặt khác, vì Rn l đa thức thuần nhất bậc n nên có cơ sở l x1 x2 xd với 1 2 d 1 + 2 + + d = n , ( i ) Ta suy ra dim K ( Rn ) đúng bằng số các nghiệm với các th nh phần nguyên không âm của phơng trình: t1 + t2 + + td = n v bằng C n Do đó, chuỗi Hilbert của R l F ( M , t ) = H ( R)(n)t... (1 t n )g (t ) ta nhận đợc: d i i =1 F (M , t ) = f (t ) , d (1 t ni ) i =1 với f (t ) [t ] Vậy khẳng định đúng với d Ta nhận đợc chứng minh Nhận xét 3.2.4 Từ định lí trên ta luôn có thể viết chuỗi Hilbert của R - module M dới dạng: F (M , t ) = f (t ) = d (1 t ni ) h(t ) , s (1 t ) Q(t ) i =1 với h(t ), Q(t ) [t] v h(1) 0, Q(1) 0 Khi đó s đợc gọi l cực điểm của h m F ( M , t ) tại t =... - module phân G bậc v : M M' l một đồng cấu thuần nhất R - module Khi đó Ker , Im tơng ứng l các module con thuần nhất của M , M ' Một trong những lớp module quan trọng khi nghiên cứu về h m v chuỗi Hilbert l module Rees m ta sẽ tìm hiểu sau đây 1.3 V nh v module Rees Định nghĩa 1.3.1 Cho v nh R v một họ F = {I n }n0 các ideal của R Họ F đợc gọi l một lọc các ideal của R nếu nó đồng thời thoả... của Lí thuyết chiều 3.1 Đa thức số học H m đa thức Phần n y sẽ trình b y khái niệm về đa thức số học v h m đa thức cùng với những tính chất cơ bản của chúng m chủ yếu để phục vụ việc tìm hiểu về đa thức Hilbert - Samuel, đồng thời cũng nghiên cứu một v i ứng dụng của đa thức số học trong giải toán THPT 3.1.1 Đa thức số học (đa thức nhận giá trị nguyên) Định nghĩa 3.1.1.1 Đa thức f ( x) = a0 x n + a1 x... , n ) ta đợc: P( x) = b0 + b1 ( x a 1) + + bn ( x a 1)( x a 2) ( x a n) Ta có: P(a + 1) do đó b0 Tơng tự có b1 vì P(a + 2) = b0 + b1 , 2!b2 vì P(a + 3) = b0 + 2b1 + 2!b2 Tiếp tục lập luận nh trên ta nhận đợc k !bk , k = 0,1, ,n Hay: k !bk ( x a 1)( x a 2) ( x a k ) = bk ( x a 1)( x a 2) ( x a k ) , k! 26 với mọi k = 1,2, , n Vậy P( x) l đa thức số học Chú ý 3.1.1.4 Từ . trúc của vành và module. Đó là lí do chúng tôi chọn đề tài: Hàm và chuỗi Hilbert . 2. Mục đích nghiên cứu Hệ thống hoá và minh hoạ chi tiết các tính chất cơ bản của hàm và chuỗi Hilbert. cứu Đối tợng chính mà khoá luận nghiên cứu là hàm và chuỗi Hilbert, trong đó tập trung nhiều hơn vào khái niệm hàm Hilbert. Bên cạnh đó, khoá luận còn nghiên cứu một loạt các khái niệm bổ. chính của khoá luận. Trong đó phần đầu của chơng là những kiến thức về đa thức số học và hàm đa thức. Phần thứ hai khảo sát về hàm và chuỗi Hilbert. Phần cuối của chơng là đa thức Hilbert - Samuel