Gioi Han Ham So

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK TOÁN 1 HK1 0708 • BÀI 3: GIỚI HẠN HÀM SỐ (SINH VIÊN) • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (10/2007) NỘI DUNG - 1- Ý TƯỞNG GIỚI HẠN HÀM SỐ 2- ĐỊNH NGHĨA “ĐƠN GIẢN” GIỚI HẠN HÀM SỐ 3- ĐỊNH NGHĨA CHẶT CHẼ GIỚI HẠN HÀM SỐ 4- TÍNH CHẤT GIỚI HẠN 5- GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT 6- QUY TẮC LÔPITAN 7- GIỚI HẠN KẸP 8- GIỚI HẠN THEO NGÔN NGỮ DÃY. KHÔNG GIỚI HẠN Ý TƯỞNG GIỚI HẠN Hàm y = f(x), MXĐ D x 0 ⇒ Giá trò f(x 0 )? ( ) đònh xác: 00 xfDx ⇒∈ ( ) đònh xác không:& 00 xfDx ∉ VD: f(x) = lnx & x 0 = –1 ( ) đònh xác như" gần":, 00 xfDx ∉ VD: f(x) = sinx/x & x 0 = 0 ∉ D Gtrò ( ) x x xf sin = quanh 0:                           0.1000 0.8415 0.01000 0.9588 0.001000 0.9816 0.0001000 0.9896 0.00001000 0.9935 −∞= ∞= = −+ 0 0 0 , , 1 0, 11 xe x x x x x x Tương tự: MINH HỌA HÌNH HỌC Đồ thò hàm: ( ) x x xf sin = Chú ý lân cận x 0 = 0: f(0) không xác đònh, nhưng giá trò f(x) lại “rất gần” 1 khi x “rất gần” 0 → Đồ thò liên tục. Có thể xem “f(0)” = 1 ??? Cần công cụ xác đònh giá trò hữu hạn “f(x 0 )” tại x 0 ∉ D: ( ) xf xx 0 lim → Lxf xx = → )(lim 0 Cho hàm y = f(x) xác định trong lân cận điểm x 0 (có thể khơng xác định tại x 0 !). Hàm f(x) có giới hạn = L khi x → x 0 ⇔ Giá trị f(x) “rất gần” L nếu x “đủ gần” x 0 . Ký hiệu: VD: Đốn (khơng chứng minh) giới hạn ( ) ( ) 1 1 ,lim 2 1 − − = → x x xfxf x với Giải: Chú ý hàm f(x) khơng xác định tại x = 1 x<1 f(x) 0.5 0.666667 0.9 0.526316 0.99 0.502513 0.999 0.500250 0.9999 0.500025 x>1 f(x) 1.5 0.400000 1.1 0.476190 1.01 0.497512 1.001 0.499750 1.0001 0.499975 Từ bảng giá trị, có thể phỏng đốn: 5.0 1 1 lim 2 1 = − − → x x x GIỚI HẠN HÀM SỐ – ĐỊNH NGHĨA ĐƠN GIẢN Hàm g(x) sau (xác định tại x = 1) có giới hạn như f(x) khi x → 1 ( ) ( )      = ≠ − − = = 1khi2 1khi 1 1 2 x x x x xf xg y=f(x) y=g(x) Giá trị f tại x 0 (có hay khơng có) khơng ảnh hưởng đến ( ) xf xx 0 lim → GIÁ TRỊ TẠI ĐIỂM KHÔNG ẢNH HƯỞNG GIỚI HẠN Ví dụ: x x π sinlim 0 → Gợi ý: Tính ( ) ( ) ( ) 01.0,1.0, 3 1 , 2 1 ,1 fffff             ( ) ( ) ( ) :0sinlim001.01.0 3 1 2 1 1 0 =⇒===       =       = → x fffff x π SAI! Tuy nhiên từ đồ thị hàm x y π sin = cũng như giá trị hàm tại Zkk xk x ∈+=⇒ + = ,2 214 2 π ππ !1sin =⇒ x π Có vô số giá trị x gần 0 tùy ý, tại đó f = 0 lẫn f = 1. KL: Giới hạn đang xét không ∃! ÑOAÙN – KHOÂNG CHAÉC CHAÉN 100%! L Minh họa hình học: Ngôn ngữ Giải tích: Đại lượng biến thiên f “rất gần” đlượng g ⇔ | f – g | ≤ ε ∀ ε > 0. x “đủ gần” x 0 : ∃ δ > 0 và xét | x – x 0 | < δ ( ) εδδε <−⇒<−>∃>∀⇔= → LxfxxLxf xx )(:0,0lim 0 0 ĐN: Chú ý: Trong thực tế, định nghĩa trên thường được áp dụng để chứng minh lý thuyết chứ không sử dụng để tìm giới hạn! ( ) xf L ε − L ε + L x 0 x δ − 0 x δ + 0 x x 0 ε δ x f(x) f ÑÒNH NGHÓA CHAËT CHEÕ VD: Cho ( ) *4 1 22 lim 2 1 = x x x Tỡm nh trong ngha khi = 0.01 Gii: ( ) 4,1, 1 22 0 2 == = Lx x x xf x 1: ( ) 12 = xLxf = 0.01: ( ) 005.0005.01 =<< ChoùnxLxf VD: Gii bng th cõu hi tng t: ( ) 1.0,42lim 2 2 ==+ xx x Gii: | f(x) 4 | < 0.1 3.9 < f(x) < 4.1. V y = f(x) & y = 3.9, 4.1 03.297.1 << x 03.02 < xVaọy 03.0 = V DUẽ Khi f(x) (tc L = ) hoc x (tc x 0 = ): Khụng th xột hiu | f(x) L| hay |x x 0 | Cn iu chnh! Chỳ ý: i lng A A > M M & B B < m m <>>= LxfMxxMLxf x )(:0)(lim Neỏu MxfxxxMxf xx ><>= )(:0)(lim 0 0 Neỏu Tng t cho trng hp f(x) : Ch cn vit li f(x) < m! ( ) MxfAxxAMxf x >>= Neỏu :)(lim lim f(x) = L khi x & lim f(x) = khi x : tng t GIễI HAẽN VO CUỉNG GIễI HAẽN TAẽI VO CUỉNG