CHuyen De ham So

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK TOÁN 1 HK1 0708 • BÀI 2: HÀM SỐ (SV) • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (09/2007) NỘI DUNG 1- KHÁI NIỆM HÀM SỐ 2- CÁC CÁCH XÁC ĐỊNH HÀM SỐ 3- NHẮC LẠI: HÀM CƠ BẢN (PHỔ THÔNG) 4- HÀM SỐ NGƯC 5- HÀM LƯNG GIÁC NGƯC 6- HÀM HYPERBOLIC 7- ÁP DỤNG KỸ THUẬT KHÁI NIỆM HÀM SỐ VD: Đồ thò VNINDEX (chứng khoán) → Hàm số: giá chứng khoán theo ??? (Thời gian? Giá vàng? Biến động chính trò? & Biểu thức y = ??? Đại lượng A biến thiên phụ thuộc đại lượng B: • Đời sống: Tiền điện theo số kwh tiêu thụ, giá vàng trong nước theo thế giới … • Kỹ thuật: Tọa độ chất điểm theo thời gian … Tương quan hàm số LỊCH SỬ Giữa TK 18, Euler: Biểu diễn hàm số qua ký tự → y = f(x) 1786, Scotland: The Commercial an Political Atlas, Playfair. Đồ thò so sánh xuất & nhập khẩu từ Anh sang Đan Mạch + Na Uy x :Vào f :Hàm tính Máy y :Ra ĐỊNH NGHĨA TOÁN HỌC MXĐ D f = {x| f(x) có nghóa} RX ⊂ RY ⊂ Hàm số y = f(x): X ⊂ R → Y ⊂ R: Quy luật tương ứng x ∈ X → y ∈ Y. Biến số x, giá trò y. Tương quan hàm số: 1 giá trò x cho ra 1 giá trò y Một x → Nhiều y: K0 phải hàm nghóa thông thường (Nhưng hàm đa trò?) MGTrò Imf: {y =f(x), x∈D f } y = sinx ⇒ D= R, Imf = [–1, 1] CÁC CÁCH XÁC ĐỊNH HÀM SỐ Bốn cách cơ bản xác đònh hàm số: Mô tả (đơn giản) - Biểu thức (thông dụng) – Bảng giá trò (thực tế) – Đồ thò (kỹ thuật)  Mô tả: Đơn giản, dễ phát hiện tương quan hàm số Trọng lượng Giá tiền ≤ 20 gr 18.000 đ 20 – 40 gr 30.000 đ VD: Bảng cước phí gửi thư bằng bưu điện đi châu u  Bảng giá trò: Thực tế, rõ ràng, thích hợp các hàm ít giá trò VD: Phí gửi thư bưu điện đi nước ngoài phụ thuộc trọng lượng 40 – 60 gr 42.000 đ XÁC ĐỊNH HÀM SỐ QUA BIỂU THỨC (HAY GẶP NHẤT) Quen thuộc (dạng hiện): y = f(x) VD: y = x 2 , y = e x , hàm sơ cấp cơ bản … Dạng tham số ( ) ( )    = = tyy txx VD: x = 1 + t, y = 1 – t → Đường thẳng : 1 t → 1 (x, y) VD: x = acost, y = asint → Đường tròn Dạng ẩn F(x, y) = 0 ⇒ y = f(x) (implicit) VD: Đtròn x 2 + y 2 – 4 = 0, 01 916 22 =−+ yx Biểu thức: MAPLE: KHAI BÁO HÀM SỐ, VẼ ĐỒ THỊ  (Khai báo hàm số) p := x^3 + x^2 + 1;  (Tính giá trò hàm số) subs(x=1, p);  (Tính giới hạn hàm số) limit( sin(2*x)/x, x = 0) ;  (Tính đạo hàm) diff(p, x) ; (Tính đhàm cấp 2) diff(p,x$2)  (Vẽ đồ thò) plot(sin(x), x = 0 Pi); (Nhiều đồ thò) plot( [sin(x),cos(x)],x = 0 2*Pi, color = [red,blue]);  (Đồ thò tham số lý thú) plot( [31*cos(t)-7*cos(31*t/7), 31*sin(t)-7*sin(31*t/7), t = 0 14*Pi] );  plot( [17*cos(t)+7*cos(17*t/7), 17*sin(t)- …, t = 0 14*Pi] ); HÀM QUEN THUỘC (PHỔ THÔNG) Tính chất hàm y = x α : MXĐ, đơn điệu … tuỳ thuộc α > 0 & < 0!  Hàm hằng, tuyến tính (bậc 1): y = ax + b → Đường thẳng  Hàm luỹ thừa: y = x α → Đa thức: y = a 0 x n + a 1 x n–1 + … , hàm phân thức: y = 1/x, y = P(x)/Q(x), hàm căn y = n x  Hàm y = x α : α tự nhiên ⇒ MXĐ: R, α nguyên âm: MXĐ x ≠ 0, α ∈ R: nói chung x > 0 (Nếu hàm căn: tuỳ tính chẵn lẻ)  Tính đơn điệu y = x α , x > 0: α > 0 → Tăng, α < 0 → Giảm  Giới hạn x → +∞: α > 0 → lim x α = +∞, α < 0 → lim x α = 0 ĐỒ THỊ HÀM LUỸ THỪA lẻ nhiên,tự α α :xy = chẵn nhiên,tự α α :xy = 1&1: ><<= αα α 0 xy 0: <= α α xy [...]... y = cosx song ánh: [0, π] → [–1, 1] ⇒ y = arccosx: [–1, 1] …  x ∈ [ − 1,1] , y ∈ [ 0, π ] 1 y = arccos x = cos x ⇒  & ( arccos x ) ' = − 1− x2  x = cos y −1 π π π π y = tgx : song ánh : − ,  → R ⇒ y = arctgx : R → − ,   2 2  2 2     y = cotgx : song ánh : [ 0, π ] → R ⇒ y = arccotgx : R → [ 0, π ] 1 u' dx ( arctgx ) '... Không sơ cấp : không đhàm! − x, x < 0 HÀM NGƯC - Hàm số y = f(x): X → Y thoả tchất: ∀ y ∈ Y, ∃! x ∈ X sao cho y = f(x) ⇒ f: song ánh (tương ứng một–một) f–song ánh ⇔ Phương trình f(x) = y (*) có nghiệm x duy nhất y = f ( x ) ⇔ x = f −1 ( y ) ∀ y ∈ Y : biểu thức hàm ngược : f −1 : Y → X Tìm hàm ngược: Giải (*) (ẩn x) ⇒ Biểu thức hàm ngược... xác đònh và miền giá trò để trên đó hàm số sau có hàm ngược và chỉ ra hàm ngược đó y = x2 + 1 HÀM LƯNG GIÁC NGƯC − π , π  y = sinx: song ánh:  →  2 2 Hàm ngược y = arcsinx: [ − 1,1] [ − 1,1] → − π , π   2 2   − π , π , y ∈ [ − 1,1] : Giải ptr sin x = y ⇔ Nghiệm x = arcsin y x∈  2 2  − π , π  & sin −1 α = β ⇔ α = sin... quát: y = logax (a > 1 & 0 < a < 1) a > 1 : lim log a x = +∞ & lim log a x = −∞ MXĐ : x > 0 x → +∞ x →0 + MGTrò : R 0 < a < 1 : lim log a x = 0 & lim log a x = +∞ x → +∞ x →0 + ĐỒ THỊ HÀM MŨ, LOGARIT: SO SÁNH VỚI LUỸ THỪA - y = a x : a > 1& 0 < a < 1 y = xα , α > 0 Điểm đặc biệt: ≠ nhau Khi a > 1 & α > 0: Cùng ↑, → +∞, nhưng mũ nhanh hơn... minh: a/ ch(x) > 0 ∀ x (Thật ra ch(x) ≥ 1 ∀ x) b/ sh x < chx ∀ x c/ ch(x): hàm chẵn, sh(x): hàm lẻ) VD: Giải phương trình: sh(x) = 1 ⇔ e x − e − x = 2 ⇔ x = ln (1 + 2 ) VD: Chứng minh ch2x – sh2x = 1 ∀ x (So sánh: cos2x + sin2x = 1) Công thức hàm hyperbolic: Như công thức lượng giác & đổi dấu riêng với thừa số tích chứa 2 sin (hoặc thay cosx → chx, sinx → ishx (i: số ảo, i2 = –1)! BẢNG CÔNG THỨC HÀM HYPERBOLIC . ) 2 1 1 1 'arccos& cos ,0,1,1 cosarccos x x yx yx xxy − −=    = ∈−∈ ⇒== − π       −→=⇒→       −= 2 , 2 :arctg 2 , 2 :tg ππππ RxyRxy :aùnh song [ ] [ ] ππ ,0:arccotg,0:cotg →=⇒→= RxyRxy :aùnh song ( ) ( ) ( ) ( ) 2 222 11'arccotg arctg 1 & 1 ' 'arctg& 1 1 'arctg xx Cx x dx u u u x x +−= += ++ = + = ∫ . số qua ký tự → y = f(x) 1786, Scotland: The Commercial an Political Atlas, Playfair. Đồ thò so sánh xuất & nhập khẩu từ Anh sang Đan Mạch + Na Uy x :Vào f :Hàm tính Máy y :Ra ĐỊNH. GẶP NHẤT) Quen thuộc (dạng hiện): y = f(x) VD: y = x 2 , y = e x , hàm sơ cấp cơ bản … Dạng tham số ( ) ( )    = = tyy txx VD: x = 1 + t, y = 1 – t → Đường thẳng : 1 t → 1 (x, y) VD: x =