Bài toán này thì mình đánh giá là không quá khó, nhưng nó đỏi hỏi khả năng nhìn hình khá cao. Hầu hết các thí sinh không làm được bài này là đều do khó nhìn ra hình chứ không phải do kỹ năng biến đổi kém. Nhiều thí sinh mặc dù đã làm nhiều bài tập phần này nhưng khi vào phòng thi tâm lý không tốt sẽ rất khó nhận ra được hình. Trong khi đó đấy lại là mấu chốt để giải quyết bài toán này. Sau đây mình sẽ gợi ý cho các bạn 1 phương pháp khác để gải quyết bài toán này. Có thể nhiều bạn đã biết nhưng thui mình sẽ vẫn nói để những bạn nào chưa biết có thể tham khảo. Phương pháp này sẽ khác phục được nhược điểm khó nhìn hình của những bạn không tốt về khoản này. Tuy nhiên có ưu điểm thì cũng vẫn có nhược điểm, đó là phương pháp này với 1 số bài có thể sẽ hơi dài 1 chút, và rất dễ nhầm lẫn trong quá trình tính toán. Vì thế yêu cầu để sử dụng phương pháp này là bạn phải nắm vững các dạng toán, các bước làm của bài toán Hình tọa độ trong không gian. Và phương pháp mình muốn nói ở đây chính là Đưa hệ trục tọa độ Oxyz vào trong bài Hình không gian để giải quyết những ý khó (đặc biệt là các ý về khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng hoặc đường thẳng). Với phương pháp này mình có thể khẳng đinh nếu như bạn chỉ mới đang giải quyết được 60% bài toán Hình không gian thì khi sử dụng thêm phương pháp này thì con số đó sẽ là 80% (với những bạn giỏi thì mình không nói làm gì, vì chỉ với cách phổ thông bạn ý cũng giải quyết được gần hết ùi). Những đề thi ĐH từ 2002 tới nay đều hoàn toàn sử dụng được phương pháp này và được chấp nhận.
Trang 1Email: Jackie9x.spb@gmail.com PHƯƠNG PHÁP DỰNG TRỤC TỌA ĐỘ
I Lý thuyết
Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'
Với hình lập phương
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)
'(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ; )
Với hình hộp chữ nhật
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)
'(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ;c)
Với hình hộp đáy là hình thoi ABCD.A'B'C'D'
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của
hai đường chéo của hình thoi ABCD
- Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy
Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Giả sử cạnh hình vuông bằng a và
đường cao SOh
Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông
2
2
; 0
; 0
; 2
C
a A
A
D
D’
C
A’
B’
O O’
x
y
B’
C
B
D’
A’
C’
y z
x
z
B
D
C
A
O
S
x
y z
Trang 2Với hình chóp tam giác đều S.ABC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và
đường cao bằng h Gọi I là trung điểm
của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho I(0;0;0)
Khi đó : ; 0; 0 ; ; 0; 0
0; 3; 0 ; S 0; 3;
Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA (ABCD)
ABCD là hình chữ nhật ABa AD; b
chiều cao bằng h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)
Khi đó : B a ;0;0 ; C a b; ;0
D0; ;0 ; (0;0; )b S h
Với hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA (ABCD)
ABCD là hình thoi cạnh a
chiều cao bằng h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho O(0;0;0)
B
H
C
A
I
S
x
y z
B
D
C
A
O
S
x
y z
B
D
C
A
O
S
x
y z
Trang 3Email: Jackie9x.spb@gmail.com
Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ABC vuông tại A
Tam giác ABC vuông tại A có
;
ABa ACb đường cao bằng h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)
Khi đó : B a ;0;0 ; C 0; ;0 b
S 0;0; h
Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ABC vuông tại B
Tam giác ABC vuông tại B có
;
BAa BCb đường cao bằng h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho B(0;0;0)
Khi đó : A a ;0;0 ; C 0; ;0 b
Sa;0;h
Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S
và ABC vuông tại C
ABC vuông tại C CAa CB; b
chiều cao bằng h
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho C(0;0;0)
Khi đó : A a ;0;0 ; B 0; ;0 b
( ; ; )
2 2
a b
Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S
và ABC vuông tại A
B
C
A
S
x
y z
z
B
C
A
S
B
C
S
z
Trang 4 ABC vuông tại A ABa AC; b
chiều cao bằng h
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)
Khi đó : B a ;0;0 ; C 0; ;0 b
(0; ; )
2
a
Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S
và ABC vuông cân tại C
Tam giác ABC vuông cân tại C có
CA CB a đường cao bằng h
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho H(0;0;0)
Khi đó : ; 0; 0 ; A 0; ; 0
B 0; ; 0 ; S 0; 0;
2
a
h
II Bài tập áp dụng
Bài toán 1 Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB,OBC,OCA đều là tam giác vuông tại đỉnh O Gọi lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng (OBC),(OCA),(OAB) với mặt phẳng
(ABC).Chứng minh rằng : cos2 cos2 cos2 1
( SGK Hình 11, trang 96, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000, SGK Hình 12, trang 106, Văn Như
Cương chủ biên, NXBGD 2000 )
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc
Oxyznhư sau : O( 0 ; 0 ; 0 ) ; A (a; 0 ; 0 );
)
0
;
;
0
( b
B C( 0 ; 0 ;c);
) 0 ( a b
AB
) 0
AC
B
H
C
A
H
S
x
y z
B
C
A
S
x
y
z
x
y
z
C
C’
O
Trang 5Email: Jackie9x.spb@gmail.com
Tìm vectơ pháp tuyến của :
Mặt phẳng (ABC)
Mặt phẳng (OBC)
Mặt phẳng (OCA)
Mặt phẳng (OAB)
nAB,AC(bc ac ab)
) 0 0 1 (
i vì : Ox(OBC)
) 0 1 0 (
j vì : Oy(OCA)
) 1 0 0 (
k vì : Oz(OAB)
Sử dụng công thức tính góc giữa hai
mặt phẳng:
cos
cos
cos
cos
b a a c c b
c b
cos
b a a c c b
a c
2 2 2 2 2 2
cos
b a a c c b
b a
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
b a a c c b
b a a c c b
Bài toán 2 Bằng phương pháp toạ độ hãy giải bài toán sau :
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'có cạnh bằng a
a.Chứng minh rằng đường chéo A' C vuông góc với mặt phẳng (AB'D' )
b.Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A' C và mặt phẳng (AB'D' ) là trọng tâm của tam giác AB ' D'
c.Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB'D' ) và (C'BD)
d.Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (DA'C) và (ABB'A' )
( SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 )
Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông
góc Oxyznhư sau : O A( 0 ; 0 ; 0 ) ;
)
;
0
;
0
(
)
0
;
0
;
(a
B ; B' (a; 0 ;a)
)
0
;
;
( a a
) 0
;
;
0
( a
a Chứng minh : A'C (AB'D' )
' '
' '
D AB C
A AD C A
AB C A
Ta có :
)
;
; 0 ( '
)
; 0
; ( '
)
;
; ( '
a a AD
a a AB
a a a C A
B’
A
B
C
D
D’
A’
C’
G
x
y z
Trang 6Vì
' '
' '
0 0
' '
0 0
' '
2 2
2 2
AD C A
AB C A a
a AD
C A
a a
AB C A
Nên A'Cmp(AB'D' )
b Chứng minh : G là trọng tâm của
tam giác AB ' D' Phương trình
tham số của đường thẳng A' C
) ( :
t a z
t y
t x
C
Phương trình tổng quát của mặt
phẳng (AB'D' )
0 :
)
'
'
(AB D x yz
Trong đó vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng (AB'D' )
,' ' ( 2; 2; 2)
Gọi G A'C (AB'D' ) Toạ độ giao điểm G của đường thẳng A' C và mặt phẳng
) ' ' (AB D là nghiệm của hệ :
3 2 3 3
a y
a x
z y x
t a z
t y
t x
3
2
; 3
; 3
a a a
Mặt khác :
3
2 3
3 3
3 3
' '
' '
' '
a z
z z z
a y y y y
a x x x x
D B A G
D B A G
D B A G
(2)
So sánh (1) và (2), kết luận Vậy giao điểm G của đường chéo A' C và
mặt phẳng (AB'D' ) là trọng tâm của tam giác AB ' D'
c Tính d(AB'D'),(C'BD)
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
)
'
(C BD (C'BD) :xyza 0 Trong
đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
)
'
(C BD n2 C'B,C'D(a2;a2;a2)
Ta có : (AB'D' ) :xyz 0 (C'BD):x yza0
(AB'D' ) // (C'BD)
3 ) ' ' ( , )
' ( ), ' '
d Tính cos(DA'C),(ABB'A')
(ABB'A' )
)
'
'
(ABB A là j(0 1 0)
Vectơ pháp tuyến của (DA'C):
,' ( 0 ; 2; 2) 2( 0 ; 1 ; 1 )
Vec tơ pháp tuyến của(ABB'A' )làj (0 1 0)
Vectơ pháp tuyến của (DA'C): n3 ( 0 ; 1 ; 1 )
2
1 ) ' ' ( ), ' ( cos DA C ABB A
A ABB C
Bài toán 3 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'có cạnh bằng a
Chứng minh hai đường chéo B ' D'và A' Bcủa hai mặt bên là hai đường thẳng chéo nhau Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau B ' D'và A' B
Trang 7Email: Jackie9x.spb@gmail.com
Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac
vuông góc Oxyznhư sau :
) 0
; 0
;
0
(
A
)
0
;
;
0
( a
) 0
;
;
( a a
)
0
;
0
;
(a
Chứng minh B ' D'và A' B chéo
nhau, ta chứng minh ba vectơ
' , '
;'
'D A B BB
phẳng
Cần chứng minh
tích hỗn hợp của ba vectơ
' , '
;'
'D A B BB
Ta có : B'D'(a;a;0)
A'B(0;a;a); BB'(0;0;a)
B'D,'A'B(a2;a2;a2)
B'D,'A'B.BB'a3 0
ba vectơ B'D;'A'B,BB' không đồng phẳng hay B ' D'và A' B chéo nhau
Tính dB'D',A'B
] ' ,' ' [
' ] ' ,' ' [ ' ,
'
'
B A D B
BB B A D B B A
D
B
3
3 3
' , '
3 4
4 4
3
a a
a a
a a
a B
A D B
Bài toán 4 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyzcho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi AC cắt BD tại gốc toạ độ O Biết A( 2 ; 0 ; 0 ); B( 0 ; 1 ; 0 ); S( 0 ; 0 ; 2 2 ) Gọi M là trung điểm của SC
1 Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM
2 Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại N
Tính thể tích khối chóp S.ABMN
( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối A năm 2004 )
Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông
góc Oxyznhư sau : O( 0 ; 0 ; 0 );
)
0
;
0
;
2
(
A ; B( 0 ; 1 ; 0 ); S( 0 ; 0 ; 2 2 )
Ta có :
)
0
;
0
;
2
(
2;0;2 2
SA ; BM 1;1; 2
A
C
D
S
O
A
B
C
D
D’
A’
B’
C’
x
y z
B
x
y z
Trang 81a.Tính góc giữa SA và BM
Gọi là góc giữa SA và BM Sử dụng
công thức tính góc giữa hai đường thẳng
Ta có :
2 3
,
cos
BM SA
BM SA BM
SA
o
30
1b Tính khoảng cách giữa SA và BM
Chứng minh SA và BM chéo nhau Sử
dụng công thức tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau
) 2
; 0
; 2 2 ( ] , [SA BM ; AB(2;1;0)
0 2 4 ]
, [SA BM AB
3
6 2 4 8
2 4 ]
, [
].
, [ ) ,
AB SA
AB BM SA BM
SA d
2 Tính thể tích khối chóp S.ABMN
Dễ dàng nhận thấy :
) ( )
AMN S ABM S ABMN
Trong đó :
SB SM SA
6
1
SN SM SA
6
1
CD AB
MN// // N là trung điểm của SD
; 2 2
1
;
) 2 2
; 0
; 2
SA ; SM(1;0; 2)
) 2 2
; 1
; 0
SB ; SM(1;0; 2)
) 0
; 2 4
; 0 ( ] ,
3
2 2 6
2 4 ].
, [ 6
1
V S ABM
3
2 6
2 2 ].
, [ 6
1
V S AMN
2
.
Bài toán 5 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyzcho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với
)
0
;
3
;
0
(
A ; B( 4 ; 0 ; 0 ); C( 0 ; 3 ; 0 ); B1(4;0;4)
Tìm toạ độ các đỉnh A1;C1 Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng
)
(BCC1B1 Gọi M là trung điểm của A1B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M
và song song với BC1 ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2005 )
Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc
Oxyznhư sau :O( 0 ; 0 ; 0 );
Với :
) 0
;
3
;
0
(
A ; B( 4 ; 0 ; 0 ); C( 0 ; 3 ; 0 ); B1(4;0;4)
) 4
; 3
; 0 (
) 4
; 3
; 0 (
1
1
C
A
Toạ độ trung điểm M của A1B1
; 4 )
2
3
; 2
M
A
C 1
O
B 1 M
A 1
z
x
y
Trang 9Email: Jackie9x.spb@gmail.com
Toạ độ hai đỉnh A1;C1 Ta có : A1(0;3;4)mp(Oyz)
C1(0;3;4)mp(Oyz)
Phương trình mặt cầu có tâm là A
và tiếp xúc với mặt phẳng
) (BCC1B1
Viết phương trình mp (BCC1B1)
Tìm bán kính của mặt cầu (S)
A,(BCC1B1)
d
R
Vectơ pháp tuyến của mp (BCC1B1)
) 0 16 12 ( ] ,
Phương trình tổng quát của mp (BCC1B1): (BCC1B1):3x4y120
Bán kính của mặt cầu (S) :
5
24
R
576 )
3 ( :x2 y 2z2
Phương trình mặt phẳng (P) :
Tìm vectơ pháp tuyến của (P)
] , [ )
(
//
) (
1 1
BC AM n
P BC
P AM
P
2
3
; 2
Vectơ pháp tuyến của (P) :
) 12
; 24
; 6 ( ] ,
Phương trình mặt phẳng (P) :
0 12 2 4 : ) (P x y z
Bài toán 6 Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng(ABC);
cm AD
AC 4 ; AB 3cm; BC 5cm Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) (
trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối D năm 2002 )
Dựng hình :
ABC
có : AB2AC2 BC2 25 nên
vuông tại A Chọn hệ trục toạ độ
Đêcac vuông góc Oxyz như sau
) 0
; 0
;
0
(
A
O ; B( 3 ; 0 ; 0 ); C( 0 ; 4 ; 0 )
)
4
;
0
;
0
(
Tính : AH dA , BCD( )
Viết phương trình tổng quát của
mặt phẳng (BCD)
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCD)
0 12 3 3 4 1 4 4 3 : )
Sử dụng công thức tính khoảng
cách từ một điểm đến một mặt
phẳng
17
34 6 34
12 9 9 16
12 )
(
BCD A d
A
B
C
D
H
I
x
y z
Trang 10Bài toán 7 Cho hai nửa đường thẳng Axvà Byvuông góc với nhau và nhận ABa (a 0 )là đoạn vuông góc chung Lấy điểm M trên Axvà điểm N trên By sao cho AM BN 2a Xác định tâm I và tính theo abán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BI
Dựng hình :
Dựng Ay' //ByAx Ay'
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac
vuông góc Axy' znhư sau :
)
0
;
0
;
0
(
A ; B( 0 ; 0 ;a) ; M ( a2 ; 0 ; 0 )
)
;
2
;
0
Toạ độ trung điểm I của MN
2
a a a
1a Xác định tâm I của mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện ABMN
Chú ý :
'
Ay Ax
By Ax
Hai tam giác AMN và BMN là hai tam giác vuông nhận MN là cạnh huyền nên
2
a a a
của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN
1b.Tính bán kính R của mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện ABMN
Ta có : MN a(2 2 1)
Bán kính mặt cầu :
2
3 2
a MN
2 Tính d(AM,BI)
Chứng minh AM và BI chéo
nhau
Sử dụng công thức tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau
Ta có : AM ( a2 ;0;0) ;
2
;
;a a a
) 2
;
; 0 ( ] , [AM BI a2 a2
5
5 2 ] , [
].
, [ ) ,
BI AM
AB BI AM BI
AM
Bài toán 8 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC (
trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007 )
y
B
N
A
x
z
'
y
Trang 11Email: Jackie9x.spb@gmail.com
Dựng hình :
Gọi O là tâm của hình vuông
ABCD SO(ABCD)
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông
góc Oxyznhư sau :
)
0
;
0
;
0
(
2
a
2
; 0; 0 2
a
0
; 2
2
;
2
2
;
Toạ độ trung điểm P của SA
h
Vì : MN.BD 0 MN BD
Tính (theoa) khoảng cách giữa hai
đường thẳng MN và AC
Chứng minh MN và AC chéo nhau
Sử dụng công thức tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau
2
ah
2
Vì :
2
4
a h
MN AC AM
MN và AC chéo nhau
4 2
2
4 ]
, [
].
, [ ,
2 2
2
a h a
h a AC
MN
AM AC MN AC
MN
Bài toán 9 Cho tứ diện ABCD, có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông
tại A; ADa AC, b AB, c
a Tính diện tích S của tam giác BCD theo a b c, ,
b Chứng minh rằng : 2S abc a b c
S
C
B
A
D
P
N
M
E
O
x
y z
Trang 12Hướng dẫn Bài giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)
Khi đó : B c ;0;0 ; C 0; ;0 b
D 0;0; a
Ta có : BC c b; ;0
BD c;0;a
BC BD ac ac bc
Áp dụng bất đẳng thức Côsi :
2
2
2
a Tính diện tích S của tam giác BCD
,
b Chứng minh : 2S abc a b c
Ta có :
abc a b c a bc b ac c ab
2 BCD
Bài toán 10 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S độ dài các cạnh đáy bằng a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN Biết rằng mặt
phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC)
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Gọi I là trung điểm của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho I(0;0;0)
Khi đó : 0; 3; 0 ; ; 0; 0
+ Pháp vectơ của mp (AMN) :
2 1
B
C
A
D
x
y z
C
H
A
B
I
S
x
y
z
M
N
Trang 13Email: Jackie9x.spb@gmail.com
3
3
AMN SBC n1 n2 n n1 2 0
2
0
+ Pháp vectơ của mp (SBC) :
2 2
3
6
a
Diện tích tam giác AMN :
2
,
AMN
S AM AN
4
90
a
Bài toán 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a; SAa; SBa 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB, BC Tính theo athể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM,
DN ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối B năm 2008 )
Dựng hình :
Gọi H là hình chiếu vuông góc
của S trên AB SH (ABCD)
3
SABvuông tại S SM a
2
a SH
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông
góc Oxyznhư sau :H(0;0;0);
S 0; 0; 3
2
a
; A 2; 0; 0
a
;
B 3 ; 0; 0
2
a
; D 2; 2 ; 0
a a
M ; 0; 0
2
a
; N
3
; ; 0 2
a a
3
; 0;
; ;
; 0;
3
; 2 ;
2 ; ;0
DN a a
+ Thể tích khối chóp S.BMDN
.
3
3 ,
2
a
SM SN SB
3
,
2
a
SM SN SD
3
,
SMNB
a
3
,
SMND
a
.
S
A
B
C
D
N
M
x
y z