Một số phương pháp xác định khối tâm và cách xác định mô men quán tính đối với một trục cố định của một số vật rắn

Một số phương pháp xác định khối tâm và cách xác định mômen quán tính đối với một trục cố định của một số vật rắn Người thực hiện: Dương Thị Hạnh – Văn Thị Yến Đại học thái nguyên Trường

Một số phương pháp xác định khối tâm

và cách xác định mômen quán tính đối với một trục cố định của một số vật rắn

Người thực hiện: Dương Thị Hạnh – Văn Thị Yến

Đại học thái nguyên Trường đại học sư phạm

Khoa Đào tạo giáo viên THCS

Văn Thị Yến: Ngồi thứ 3 từ trái sang Dương Thị Hạnh: Ngồi thứ 4 từ trái sáng Giáo viên: Lã Quý Hoãn

Trường ĐHSP Thái Nguyên

Cấu trúc của đề tài

Phần 1: Những vấn đề chung

1 Lý do chọn đề tài

7 Nội dung chính của đề tài

6 Phương pháp nghiên cứu

5 Nội dung nghiên cứu

4 Nhiệm vụ của đề tài

3 Đối tượng của đề tài

2 Mục đích của đề tài

- Cơ học lý thuyết là cơ học về sự cân bằng và chuyển động của vật thể Nó làm phong phú thêm kiến thức của chúng ta về hàng loạt các quy luật của tự nhiên về các phương pháp nghiên cứu nhiều hiện tượng trong thế giới xung quanh ta.

- Môn khoa học này là cơ sở lý thuyết vững chắc trong hầu hết các lĩnh vực của nền kĩ thuật đã đạt tới quy mô to lớn và còn đang tiếp tục phát triển

- Sự phân bố khối lượng của vật thể ảnh hưởng rất nhiều đến cân bằng và chuyển động của vật thể Các khái niệm khối tâm , trọng tâm

và mômen quán tính của vật thể là các khái niệm cho chúng ta những hiểu biết đầy đủ về sự phân bố khối lượng của vật rắn Vì vậy việc nghiên cứu đầy đủ các khái niệm này và cách xác định chúng có ý nghĩa quan trọng đối với các bạn sinh viên vật lý nói chung và các kỹ sư tương lai nói riêng

1 Lý do chọn đề tài

2 Mục đích của đề tài.

-Tìm hiểu các khái niệm khối tâm, trọng tâm và mômen quán tính của vật thể đối với trục cố định.

- Đưa ra một số phương pháp xác định khối tâm, trọng tâm

và xác định mômen quán tính đối với một trục của một số vật rắn có hình dạng khác nhau.

4 Nhiệm vụ của đề tài.

- Đưa ra một số phương pháp xác định khối tâm, trọng tâm và xác định mômen quán tính đối với một trục cố định của một số vật rắn có hình dạng khác nhau.

5 Nội dung nghiên cứu.

- Phân biệt khối tâm, trọng tâm của vật rắn.

- Một số phương pháp xác định khối tâm của vật rắn.

- Mômen quán tính của vật rắn đối với trục quay và cách xác định mômen quán tính của một số vật rắn có hình dạng khác nhau.

Mômen quán tính của một

số vật rắn đối với một trục

cố định và một số bài toán xác định mômen quán tính

của một số vật rắn.

Mômen quán tính của một

số vật rắn đối với một trục

cố định và một số bài toán xác định mômen quán tính

Mômen quán tính

Mômen quán tính của một

số vật rắn

M M

M1, 2, , m1,m2, ,m k

k

r r

r 1, 2, 

i i k

k k

m m

m m

r m r

m r

+ +

2 2 1

1

∑

= +

+ +

Trọng tâm của vật thể là điểm cố định của vật thể đó mà đường tác dụng của tổng trọng lực các phân tố của vật đi qua nó với mọi vị trí của vật trong không gian Vị trí của trọng tâm được xác định bởi bán kính , cho bởi công thức:

với là trọng lượng của toàn bộ vật rắn

G

r

i i k

k k

p p

p p

r p r

p r

+ +

2 2 1

1

1.1.2 Trọng tâm

Khối tâm đặc trưng cho sự phân bố khối lượng của vật, nó đúng với bất kì hệ chất điểm hoặc vật thể nào, không phụ thuộc vào việc hệ (hay vật thể) có bị hay không bị lực nào tác dụng Trọng tâm là nói về điểm mà đường tác dụng của tổng trọng lực

đi qua nó và chỉ đúng với vật rắn trong trọng trường đồng nhất Trong môi trường không trọng lượng thì trọng tâm không tồn tại Do đó khái niệm khối tâm bao quát hơn khái niệm trọng tâm

Khi mà vật nằm gần Trái Đất, và với kích thước của vật không quá lớn, thì khối tâm sẽ trùng với trọng tâm:

- Từ tính chất hình học của vật thể ta có thể suy ra được khối tâm của vật:

1.2.1 Phương pháp hình học đối xứng

+ Nếu vật là tam giác phẳng đồng chất thì khối tâm của nó là giao

điểm của 3 đường trung tuyến (H 1.4)

+ Nếu vật có hình là một tứ diện đồng chất thì khối tâm là giao điểm các đoạn nối đỉnh và trọng tâm đáy đối diện (H 1.5)

Cơ sở của phương pháp: ta phân chia vật thành nhiều phần mà vị trí khối tâm của từng phần đã biết rõ Sau đó áp dụng công thức tính khối tâm.

Bài toán K5: Xác định khối tâm của một

Giải:

- Gắn vật vào hệ trục toạ độ Oxy như hình (H 1.10)

- Do hình nhận trục Ox làm trục đối xứng nên khối tâm của hình sẽ nằm trên trục Ox và có

- Lấy hình vuông đã khoét lấp vào hình tròn bị khoét ta được hình tròn tâm O và có khối tâm là (0, 0)

R d

1

4

1 2

2 ⋅ =

⋅

=

) 0

, 4

R

) 4

1 (

4

2

2 2

2 = πR ρd − R ρd = R ρd π −

m

)0,(x2

Hoành độ khối tâm của bản mỏng hình tròn khi chưa bị khoét là:

1 1 2 2 0

1 2

0

m x m x x

2

1 ( )

1 ( )

R

R x

π π

Với những vật đồng chất, liên tục không thể sử dụng phương pháp chia vật như ở mục 2.2 thì ta có thể dùng phương pháp tích phân.

Bài toán K11: Xác định khối tâm của

=

Toạ độ khối tâm của hình tam giác:

D C

ydxdy D

S y

xdxdy D

S x

) ( 1

) ( 1

b y

a x

Thay số, ta có:

a

a x a

dx

x a

b ab dx

x a

b y

x ab

dy

xdx ab

x

a a

3

1 2

2

b dx

x a

b ab dx

x a

b y ab

ydy

dx ab

y

a a

x a

b a C

3

1 0

3

1 1

0 2

1 2

3 0

2 2 2

0

2

0 0

Diện tích S của mặt nhận được khi quay cung của đường cong

phẳng (C) quanh trục nằm trên mặt phẳng của đường ấy và không cắt cung đó, bằng độ dài cung của đường ấy nhân với độ dài của đường tròn được vạch ra bởi trọng tâm của cung đó

trong đó L là độ dài của đường cong (C), còn d là khoảng cách từ

khối tâm C của đường cong đến trục

+ Định lý Guildin 2:

Thể tích V của vật nhận được khi quay hình phẳng quanh trục

không cắt hình phẳng đó và nằm trên mặt phẳng của hình, bằng tích của diện tích S của hình ấy và độ dài đường

Do tính đối xứng khối tâm của nửa tấm tròn

sẽ nằm trên trục Ox vuông góc với đường kính

Cho tấm tròn quay quanh đường kính đáy

b Phương pháp cân

• Phương pháp cân chỉ áp dụng cho những vật không đồng chất có hình dạng phức tạp và có khối lượng lớn ví dụ như là: máy bay, đầu tầu hoả …

• Cách xác định:

+ Cân vật để xác định các áp lực của vật

+ Tính mômen M của các lực đối với trọng tâm C.

+ Cho M = 0 từ đó suy ra trọng tâm của vật

Bài toán K24: Xác định trọng tâm của máy bay( khoảng cách a ), biết

Tính tổng mômen của các lực đối với trọng

tâm C của máy bay

1 2

1 2

0 )

(

0 )

(

N N

l

N a

a l

N a

N

a l

N a

N M

Chương 2: Mômen quán tính của vật rắn đối với một trục cố định

và một số bài toán xác định mômen quán tính của vật rắn

2.1.1 Khái niệm

2.1 Mômen quán tính của vật rắn

Vị trí khối tâm chưa đặc trưng hoàn toàn cho sự phân bố khối lượng của một hệ Vì vậy trong cơ học còn có một đặc trưng cho sự phân bố khối lượng là khái niệm mômen quán tính

mômen quán tính của một vật thể đối với một trục là một đại lượng vô hướng bằng tổng các tích khối lượng của tất cả các điểm thuộc vật thể với bình phương khoảng cách từ các điểm tới trục đó

i

i r m

i v r

I = ∑ ρ ∆

i i

m = ρ ∆

Khi đưa vào hệ trục toạ độ Oxy ta có:

Đối với hệ toạ độ Oxyz thì:

dm y

x I

dm x

I

dm y

I

y x

)

( 2 2

0

2 2

x I

dm z

x I

dm z

y I

z y x

)(

)(

)(

2 2

2 2

2 2

Mômen quán tính có thứ nguyên là:

Trong hệ đơn vị SI thì đơn vị mômen quán tính là:

Mômen quán tính của chất điểm đối với một trục đặc trưng cho mức quán tính ( sức ì) của chất điểm đó đối với chuyển động quay quanh trục đó

Đối với toàn bộ vật rắn mômen quán tính đặc trưng cho sự phân bố khối lượng của vật

2.1.2 Thứ nguyên và đơn vị của mômen quán tính

2.1.3 ý nghĩa của mômen quán tính

Mômen quán tính là một đại lượng cộng được tức là mômen quán tính của vật là tổng các mômen quán tính của các phần tử tạo nên vật

Khi tính mômen quán tính cần chỉ rõ mômen quán tính với trục nào Vì đối với các trục quay khác nhau (nếu vật không có tính đối xứng) thì mômen quán tính có giá trị khác nhau

Biểu thức:

Định lý các trục vuông góc phát biểu là: đối với vật phẳng, mômen quán tính của vật đối với trục vuông góc với mặt phẳng của vật bằng tổng mômen quán tính của vật đối với hai trục vuông góc nằm trong mặt phẳng và cùng đi qua một điểm, tức là giả sử mặt phẳng chứa vật

là Oxy thì và 3 trục này cùng đi qua một điểm

2.1.5 Định lý trục song song (định lý Huyghen-Steiner)

Mômen quán tính I của một vật rắn đối với một trục bất kì bằng

mômen quán tính của vật đó đối với trục đi qua khối tâm C của vật

và song song với trục đó cộng với tích khối lượng M của vật với bình

phương khoảng cách d giữa 2 trục đó.

2.1.6 Định lý trục vuông góc

2.2 Một số bài toán xác định mômen quán tính của một số vật rắn có hình dạng khác nhau.

Bài toán M7: Xác định mômen quán tính của

Bài toán M8: Tính mômen quán tính của một

vật hình quả cù bao gồm hình nón và nửa

hình cầu đối với trục là trục đối xứng của quả

Ta xác định mômen quán tính đối với từng phần của vật

- Phần1: chia hình nón thành những phần nhỏ có dạng là đĩa tròn

đồng chất có bề dày dh, khối lượng là:

Mặt khác:

dh r

dm = π 2ρ

h H

R r

H

h R

r

=

→

=

Khi đó mômen quán tính của hình nón đối với trục của nó là:

H R

H H

R dh

h H

R dI

I

dh

h H

R dh

r dm

r dI

H H

4 5

4 4

0

4 4

4

0

1 1

4 4

4 4

2 1

10

1 5

1 2

1 2

1

2

1

2

1 2

πρ πρ

πρ

πρ ρ

10

3

R m

I =

Phần 2: ta biết mômen quán tính của khối cầu đối với trục quay đi qua khối tâm là Từ đó ta suy ra mômen quán tính của nửa khối cầu sẽ là: Vậy mômen quán tính của quả cù là:

Gọi là khối lượng của quả cù, suy ra:

2 2

5

2

R m

2 2 2

5

1

R m

2 ( 2

3 1 2

R H

H m

Nhận xét kết quả: Trong trò chơi đánh cù trong dân gian để quả cù quay được lâu thì mômen quán tính I của nó càng lớn càng tốt Với

một khối lượng của quả cù không đổi thì để I lớn thì R lớn.

) 4

2

( 10

2

R H

H m

R I

* Các kết quả chính thu được của đề tài:

• Trình bày khái quát các khái niệm về khối tâm, trọng tâm

và mômen quán tính của vật rắn đối với một trục cố định

và một số vấn đề liên quan.

• Giới thiệu một số phương pháp xác định khối tâm (hay

trọng tâm của một số vật có kích thước giới hạn) và đưa ra

28 ví dụ minh hoạ.

• Xác định được mômen quán tính đối với một trục cố định

của một số ( 7 ) vật rắn có hình dạng khác nhau.

Phần 3: Kết luận của đề tài

Chúng em mong nhận được những lời nhận xét và đóng góp của các thầy cô

và các bạn để đề tài của chúng em được

hoàn thiện Và chúng em xin chân

thành cảm ơn!

41