Giới hạn của hàm số

GIỚI HẠN A: Giới hạn dãy số: Kiến thức cần nhớ: Đònh lý1: (Điều kiện cần để dãy số có giới hạn) Nếu một dãy số có giới hạn thì nó bò chặn. Đònh lý2: (Tính duy nhất của giới hạn) Nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. Đònh lý3: (Điều kiện đủ để dãy số có giới hạn) (Đònh lý Vaiơstrat). Một dãy số tăng và bò chặn trên thì có giới hạn. Một dãy số giảm và bò chặn dưới thì có giới hạn. Đònh lý4: (Giới hạn của một dãy số kẹp giữa hai dãy số dần tới cùng một giới hạn) Cho ba dãy số (u n ), (v n ), (w n ). Nếu * Nn ∈∀ ta có nnn wuv ≤≤ và lim v n = lim w n = A thì lim u n = A. Đònh lý5: (Các phép toán trên các giới hạn của dãy số). Nếu hai dãy số )(),( nn vu có giới thì ta có: ),0(limlim )0(lim lim lim lim lim.lim).lim( limlim)lim( * Nnuuu v v u v u vuvu vuvu nnn n n n n n nnnn nnnn ∈∀≥= ≠= = ±=± Đònh lý6: Nếu thìq `1< 0lim = n q Tổng của cấp số nhân vô hạn có công bội q với 1<q là: S=u 1 +u 2 + +u n + = q u −1 1 )1( <q . Số e: 71828,2 1 1l im ≈=       + e n n Đònh lý7: Nếu ),0(0lim * Nnuu nn ∈∀≠= thì . 1 lim ∞= n u Ngược lại, nếu ∞= n ulim thì .0 1 lim = n u B. Giới hạn của hàm số: Kiến thức cần nhớ: 1/ Một số đònh lý về giới hạn của hàm số: Đònh lý1: (Tính duy nhất của giới hạn) Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi x dần tới a thì giới hạn đó là duy nhất. Đònh lý2: (Các phép toán trên các giới hạn của hàm số). Nếu các hàm số f(x) và g(x) đều có giới hạn khi ax → thì: 1 [ ] [ ] )0)((,)(lim)(lim )0lim(, )(lim )(lim )( )( lim )(lim).(lim)().(lim )(lim)(lim)()(lim ≥= ≠= = ±=± →→ → → → → →→→ →→→ xfxfxf xg xf xg xf xgxfxgxf xgxfxgxf axax ax ax ax ax axaxax axaxax Đònh lý3: (Giới hạn của một hàm số kẹp giữa hai hàm số cùng dần tới một giới hạn) Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) cùng xác đònh trên một khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a). Nếu với mọi điểm x của khoảng đó )()()( xhxfxg ≤≤ và nếu ,)(lim)(lim Lxhxg axax == →→ thì Lxf ax = → )(lim Đònh lý4: Nếu khi ax → , hàm số f(x) có giới hạn L và nếu với mọi giá trò x đủ gần a mà f(x) > 0 (hoặc f(x) < 0) thì 0≥L (hoặc 0≤L ). Đònh lý5: Nếu 0lim = →ax (và 0)( ≠xf với mọi x đủ gần a) thì ∞= → )( 1 lim xf ax Ngược lại, nếu ∞= → )(lim xf ax thì 0 )( 1 lim = → xf ax 2/ Giới hạn một bên : Đònh nghóa: Số L được gọi là giới hạn bên phải( hoặc bên trái) của hàm số f(x) khi x dần tới a, nếu với mọi dãy số (x n ) với x n > a (hoặc x n < a) sao cho limx n = a thì limf(x n ) = L. Ta viết: L ax = + → lim (hoặc Lxf ax = − → )(lim ). Đònh lý: Điều kiện ắc có và đủ để Lxf ax = → )(lim là )(lim),(lim xfxf axax −+ →→ đều tồn tại và bằng L. 3/ Các dạng vô đònh: Khi tìm giới hạn của hàm số, ta có thể gặp một số trường hợp sau đây. Ta cần tìm: 1/ )( )( lim )( 0 xv xu x xx ∞→ → mà 0)(lim)(lim )()( 00 == ∞→ → ∞→ → xvxu x xx x xx . 2/ )( )( lim )( 0 xv xu x xx ∞→ → mà ∞== ∞→ → ∞→ → )(lim)(lim )()( 00 xvxu x xx x xx . 3/ [ ] )().(lim )( 0 xvxu x xx ∞→ → mà 0)(lim )( 0 = ∞→ → xu x xx và ∞= ∞→ → )(lim )( 0 xv x xx . 4/ [ ] )()(lim )( 0 xvxu x xx − ∞→ → mà +∞== ∞→ → ∞→ → )(lim)(lim )()( 00 xvxu x xx x xx hoặc −∞== ∞→ → ∞→ → )(lim)(lim )()( 00 xvxu x xx x xx . BÀI TẬP ÁP DỤNG A. GIỚI HẠN DÃY SỐ Bài tập 1: Tính các giới hạn: 2 12 lim/1 + + n n 4 13 lim/2 2 2 + + n n 23 15 lim/3 + − n n nnn nn −+ ++ 2 2 2 32 lim/4 1 32 lim/5 2 ++ + nn nn )3)(23( )12)(1( lim/6 ++ −+ nn nn 13 2 lim/7 2 2 ++ + nn nn 13 2 lim/8 24 3 ++ nn n )2)(1( )3)(2( lim/9 ++ + nn nnn 2 Bài tập 2: Tính các giới hạn: 1 12 lim/1 2 2 + − n n 2 52 lim/2 2 +− + nn n 23 2 lim/3 2 3 −+ − nn nn ( ) nnn +− 3 32 lim/4 23 12 lim/5 3 2 − ++ n nn ( ) nnn −− 3 23 2lim/6 Bài tập 3: Tính các giới hạn: nn n 32 1 lim/1 2 2 − + 4 32 )1( )2()1( lim/2 − ++ nn nn ( ) 1lim/3 22 +−+ nnn 3 32 3lim(/4 nnn −+ ) 2 1112 lim/5 2 3 − +− n nn 42 1 lim/6 22 +−+ nn B. GIỚI HẠN HÀM SỐ Bài tập 1: Tính các giới hạn: )32(lim/1 2 + → x x )432(lim/2 3 2 +− −→ xx x 1 14 lim/3 2 2 1 +− ++ → xx xx x 1 21 lim/4 3 + +− −→ x xx x )2(lim/5 3 1 xx x ++ −→ 2 25 lim/6 2 5 + − → x x x Dạng 0 0 Bài tập 2: Tính các giới hạn: 1 23 lim/4 4 6 lim/1 23 3 1 2 2 2 +−− +− − −+ → → xxx xx x xx x x 8 4 lim/5 20 16 lim/2 3 2 2 2 2 4 + − −+ − −→ → x x xx x x x 9 3 lim/6 3 34 lim/3 2 3 2 3 − + − +− −→ → x x x xx x x Bài tập 3: Tính các giới hạn: x x x xx x x x x x 2 121 lim/7 4 23 lim/4 2 121 lim/1 0 2 2 0 −+ − −− −+ → → → 2 24 lim/8 33 223 lim/5 39 4 lim/2 3 2 1 0 − − + +−+ −+ → −→ → x x x xx x x x x x 25 32 lim/9 34 472 lim/6 32 372 lim/3 2 3 5 3 1 1 − +− +− −++ +− −+ → → → x x xx xx x x x x x Bài tập 4: Tính các giới hạn: 33 276 lim/7 22 2 lim/4 1 1 lim/1 23 24 3 2 2 2 3 1 +++ −− −+− − − − −→ → → xxx xx xx x x x x x x 33 3 2 0 1 2 23 1 232 11 lim/8 45 32 lim/5 43 42 lim/2 +−+ −− +− −+ −− ++− → → −→ xx x xx xx xx xxx x x x 314 2 lim/9 23 2423 lim/6 11 lim/3 2 2 2 1 2 0 −+ +− +− −−−− ++−+ → → → x xx xx xxx x xxx x x x Bài tập 5: Tính các giới hạn: 3 x x xx xx xxx xx x xx x x x x x x x −− +− ++ ++ ++ −+ − +− −− → −→ → → → 51 53 lim/5 62 23 lim/4 )1)(1( lim/3 3 34 lim/2 11 lim/1 4 2 2 2 23 2 3 2 3 3 0 23 1 lim/10 3 11 lim/9 2 321 lim/8 1 12 lim/7 23 1 lim/6 2 3 1 3 0 4 2 2 3 1 2 3 1 −+ + −− − −+ − +−+− −+ − −→ → → → → x x x x x x x xxx x x x x x x x • Tính các giới hạn bằng cách thêm, bớt lượng liên hợp. Bài tập 6: Tính các giới hạn: 3 51 lim/3 11 lim/2 23 7118 lim/1 3 3 3 0 2 3 2 − +−+ −−+ +− +−+ → → → x xx x xx xx xx x x x 2 122 lim/6 2 66 lim/5 1 39 lim/4 2 1 2 3 2 3 1 −− −−+ −+ ++− − ++− −→ −→ → xx xx xx xx x xx x x x Dạng ∞ ∞ Bài tập 7: Tính các giới hạn: 3 2 2 3 25 2 3 2 )43( )41)(12)(2( lim/5 53 132 lim/4 1 12 lim/3 2 1 lim/2 32 1 lim/1 + −+− +− ++ + ++ − ++− + + ∞→ ∞→ ∞→ +∞→ −∞→ x xxx xx xx x xx x xx x x x x x x x 12 32 lim/10 13 14 lim/9 1 32 lim/8 53 734 lim/7 16 83 lim/6 3 2 2 3 3 2 2 3 4 2 +− + − + +− ++ +− −+ +− −+ ∞→ ∞→ ∞→ ∞→ ∞→ xx x x x xx xx xx xx xx xx x x x x x ĐS: 27 8 /5 3 2 /4 /3 /2 2 1 /1 − ∞+ ∞ − 0/10 3 2 /9 1/8 /7 0/6 ± ± ∞ Bài tập 8: Tính các giới hạn: 4 xx xxx x −++ ++++ ∞→ 214 4132 lim/1 2 2 1 12419 lim/2 22 − ++−++ ∞→ x xxxx x ĐS:    − 5 1 /1    −1 1 /2 Dạng ∞−∞ Bài tập 9: Tính các giới hạn:       − − − −+ −−−− −+ → ∞← ∞→ +∞→ 3 1 2 2 3 23 1 3 1 1 lim/4 )(lim/3 )34412(lim/2 )(lim/1 x x xxx xxx xxx x x x x       +− + +− ++−+− +− −+ → −∞→ +∞→ ∞→ 65 1 23 1 lim/8 )11(lim/7 )1(lim/6 )3(lim/5 22 2 22 2 3 32 xxxx xxxx xx xxx x x x x ĐS: 1/4 2 1 /3 0 /2 3 1 /1 −    ∞− 2/8 1/7 0/6 1/5 − Dạng : Tìm giới hạn của các hàm số lượng giác: Cho biết : 1 sin lim 0 = → x x x Bài tập 10: Tính giới hạn các hàm số lượng giác sau: 2 0 0 0 0 2 4cos1 lim/4 sin 2cos1 lim/3 11 2sin lim/2 2 5sin lim/1 x x xx x x x x x x x x x − − −+ → → → → 2 0 0 2 2 0 3 0 6cos1 lim/8 2 3 lim/7 3 sin lim/6 sin lim/5 x x x xtg x x x xtgx x x x x − − → → → → x x x xx xtg x x x x x x x cos21 3 sin lim/12 sin cossin1 lim/11 cos12 lim/10 5cos1 3cos1 lim/9 3 2 2 0 2 0 0 −       − −+ +− − − → → → → π π ĐS: 25 9 /9 2 1 /5 2 5 /1 8 2 /10 9 1 /6 4/2 1/11 2 3 /7 2/3 3 1 /12 18/8 4/4 Hết 5 HÀM SỐ LIÊN TỤC Kiến thức cần nhớ: 1. Hàm số liên tục tại một điểm: Đònh nghóa: Cho hàm số f(x) xác đònh trên khoảng (a; b). Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm ∈ 0 x (a; b) nếu: )()(lim 0 0 xfxf xx = → . Nếu tại điểm x o hàm số f(x) không liên tục, thì nó được gọi là gián đoạn tại x o và điểm x o được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x). Theo đònh nghóa trên hàm số f(x) xác đònh trên khoảng (a; b) là liên tục tại điểm ∈ 0 x (a; b) nếu và chỉ nếu )(lim xf o xx − → và )(lim 0 xf xx + → tồn tại và )()(lim)(li m 0 00 xfxfxf xxxx == +− →→ 2. Hàm số liên tục trên một khoảng: a. Đònh nghóa: Hàm số f(x) xác đònh trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục trên khoảng đó, nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng ấy. Hàm số f(x) xác đònh trên đoạn [a; b] được gọi là liên tục trên đoạn đó, nếu nó là liên tục trên khoảng (a; b) và ),()(lim afxf ax = + → )()(lim bfxf ax = − → . Lưu ý: Đồ thò của một hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó. b. Một số đònh lý về tính liên tục: Đònh lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương ( vớid mẫu khác 0) của những hàm số liên tục tại một điểm là liên tục tại điểm đó. Đònh lý 2: Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác là liên tục trên tập xá đònh của nó. Đònh lý 3: Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [a; b], thì nó đạt được giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất và mọi giá trò trung gian giữa giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất trên đoạn đó. Hệ quả. Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0. Nói cách khác: Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a; b). MỘT SỐ DẠNG TOÁN Dạng 1: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số: Bài tập: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau: . 23 452 / .345/ 2 2 23 +− +− = −+−= xx xx yb xxxya . 2 2sincot / .5cos/ xtg xgx yd xtgxyc + = += 6 Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số: Bài tập 1: Cho hàm số:        − +− − = 1 23 2 )( 2 2 x xx x xf )1( )1( ≥ < x x Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x 0 = 1. Bài tập 2: Cho hàm số:      − − − = 2 4 21 )( 2 x x x xf )2( )2( < ≥ x x Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x 0 = 2. Bài tập 3: Cho hàm số:        −+ −+ = 11 11 2 3 )( 3 x x xf )0( )0( > ≤ x x Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x 0 = 0. Bài tập 4: Cho hàm số:      − − = 5 1 1 )( 2 x x xf )1( )1( = ≠ x x Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x 0 = 1. Bài tập 5: Cho hàm số:      − − + = 1 1 2 )( 3 x x ax xf )1( )1( < ≥ x x Đònh a để hàm số f(x) liên tục tại x 0 = 1. Bài tập 6: Cho hàm số:      − −− = x x xf 2 321 1 )( )2( )2( ≠ = x x Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x 0 = 2. Bài tập 7: Cho hàm số:        +−− + − + = x xx x x a xf 11 2 4 )( )0( )0( < ≥ x x Đònh a để hàm số f(x) liên tục tại x 0 = 0. Bài tập 8: Cho hàm số:        − −+ + = 2 223 4 1 )( 3 x x ax xf )2( )2( > ≤ x x 7 Đònh a để hàm số f(x) liên tục trên R. Bài tập 9: Cho hàm số:        +− − + = 23 24 3 2 )( 2 3 2 xx x ax xf )2( )2( > ≤ x x Đònh a để hàm số f(x) liên tục trên R. Bài tập 10: Cho hàm số:      − = x x xf cos1 1 )( )0( )0( ≠ = x x Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số. Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm: Bài tập 1: CMR các phương trình sau đây có nghiệm: 010010/ 01096/ 013/ 35 23 4 =+− =−+− =+− xxc xxxb xxa Bài tập 2: CMR phương trình 0162 3 =+− xx có 3 nghiệm trong khoảng (-2 ; 2). Bài tập 3: CMR phương trình 013 3 =+− xx có 3 nghiệm phân biệt. Bài tập 4: CMR phương trình 02012643 234 =−+−− xxxx có ít nhất hai nghiệm. Bài tập 5: CMR các phương trình sau co ùhai nghiệm phân biệt: .0)5()9(/ .032)2)(1(/ 2 =−+− =−+−− xxxmb xxxma Hết CẤP SỐ CỘNG Kiến thức cần nhớ: 1. Đònh nghóa: Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công sai. Gọi d là công sai, theo đònh nghóa ta có: u n+1 = u n + d (n = 1, 2, ). Đặc biệt: Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số trong đó tất cả các số hạng đều bằng nhau. Để chỉ rằng dãy số (u n ) là một cấp số cộng,ta kí hiệu ÷ u 1 , u 2 , , u n , 2. Số hạng tổng quát Đònh lí: Số hạng tổng quát u n của một cấp số cộng có số hạng đầu u 1 và công sai d được cho bởi công thức: u n = u 1 + (n - 1)d 3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng Đònh lí: trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai ( và trừ số hạng cuối cùng đối với cấp số cộng hữu hạn), đều là trung bình cộng của hai số hạng kề bên nó, tức là 2 11 +− + = kk k uu u (k ≥ 2). 4. Tổng n số hạng đàu của một cấp số cộng Đònh lí: Để tính S n tacó hai công thức sau: • S n tính theo u 1 và d 8 [ ] dnu n S n )1(2 2 1 −+= • S n tính theo u 1 và u n )( 2 1 nn uu n S += BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài tập 1: Xác đònh số hạng cần tìm trong mỗi cấp số cộng dưới đây: , 8,5,2/÷a tìm u 15 . , 32,4,32/ −+÷b tìmu 20 . ĐS: 31840/ 44/ 20 15 −= = ub ua Bài tập 2: Xác đònh cấp số cộng có công sai là3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng 30. Giải: Ta có: )( 2 1 n uu n S += )12( 2 30 1 +=⇔ u n mà nndndnuu n 315)1(312)1(12)1( 1 −=−−=−−=−−= nên )12315( 2 30 +−= n n    = = ⇔=+−⇔ 5 4 060273 2 n n nn Với 3:4 1 == un ta có cấp số cộng 12,9,6,3÷ Với 0:5 1 == un ta có cấp số cộng 12,9,6,3,0÷ Bài tập 3: Cho cấp số cộng:    =+ =−+ 26 10 64 352 uu uuu Tìm số hạng đầu và công sai của nó. Giải:    = = ⇔    =+++ −−+++ ⇔    =+ =−+ 3 1 2653 24 26 10 1 11 111 64 352 d u dudu dududu uu uuu Bài tập 4: Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng là 25 và tổng các bình phương của chúng là 165. Giải: Gọi cấp số cộng là: ÷ u 3 - 3d, u 3 - d, u 3 , u 3 + d, u 3 + 2d Theo giả thiết ta có:    ±= = ⇔      =+++++−+− =+++++−+− 2 5 165)2()()()2( 25)2()()()2( 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 33333 d u duduududu duduududu Với d = 2 ta có 9,7,5,3,1÷ Với d = -2 ta có 1,3,5,7,9÷ Bài tập 5: Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của chúng là 1140. Giải: Xét cấp số cộng dd 25,5,5 ++÷ Theo bài ra ta có: 1140)25)(5(5 =++ dd 9     −= = ⇔=−+⇔ 2 29 7 0203152 2 d d dd Với d = 7 ta có 19,12,5÷ Với d = 2 29 − ta có 24, 2 19 ,5 −−÷ Bài tập 6: Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một cấp số cộng với công sai là 25. Giải: Đặt 3 cạnh cần tìm là: ,25,,25 +− xxx với 25>x Theo đònh lí Pitago ta có: 222 )25()25( −+=+ xxx    = = ⇔=−⇔ +−+=++⇔ 100 )(0 0100 6255062550 2 222 x loaix xx xxxxx Với x=100 ta có cấp số cộng tương ứng 3 cạnh là: 75,100,125 Bài tập 7: Cho cấp số cộng ÷ u 1 , u 2 , u 3 , Biết u 1 + u 4 + u 7 + u 10 + u 13 + u 16 = 147. Tính u 1 + u 6 + u 11 + u 16 . Giải: Ta có: u 1 + u 4 + u 7 + u 10 + u 13 + u 16 = 147 ⇔ (u 1 + u 16 ) + (u 4 + u 13 ) + (u 7 + u 10 ) = 147 ⇔ (2u 1 + 15d) + (2u 1 + 15d) + (2u 1 + 15d) = 147 ⇔ 3(2u 1 + 15d) = 147 ⇔ 2u 1 + 15d = 49 Mặt khác: u 1 + u 6 + u 11 + u 16 = (u 1 + u 16 ) + (u 6 + u 11 ) = (2u 1 + 15d) + (2u 1 + 15d) = 2(2u 1 + 15d) = 2.49 = 98. Suy ra: u 1 + u 6 + u 11 + u 16 = 98. Bài tập 8: Một cấp số cộng (a n ) có a 3 + a 13 = 80. Tìm tổng S 15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. Giải: Ta có: S 15 = 2 15 (u 1 + u 15 ). Mặt khác ta có: u 3 + u 13 = (u 1 + 2d) + (u 1 + 12d) = u 1 + (u 1 + 14d) = u 1 + u 15 = 80. Do đó:S 15 = 2 15 (u 1 + u 15 ) = 2 15 .80 = 600. Bài tập 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng của chúng là 176. Hiệu của số hạng cuối và số hạng đầu là 30. Tìm cấp số đó. Giải: Ta có: S 11 = 176 = 2 11 (u 1 + u 11 ) 2 11 ⇔ (2u 1 + 10d) = 176 (1) và u 11 - u 1 = 30 ⇔ (u 1 + 10d) - u 1 = 30 10 [...]... một cấp số nhân, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) đều có giá trò tuyệt đối là trung bình nhân của hai số hạng kề bên nó, tức là: (k ≥ 2) u k = u k −1 u k +1 4 Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân Cho một cấp số nhân với công bội q ≠ 1 u1, u2, ,un, Đònh lí: Ta có: qn −1 S n = u1 (q ≠ 1) q −1 BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài tập 1: Tìm các số hạng của cấp số nhân... 0 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u1, 0, 0, , 0, Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u1, u1, , u1, Nếu u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân là dãy số 0, 0, , Để chỉ dãy số (un) là một cấp số nhân ta thường dùng kí hiệu u1, u2, , un, 2 Số hạng tổng quát Đònh lí: Số hạng tổng quát của một cấp số nhân được cho bởi công thức: n −1 un = u1 q (q ≠ 0 ) 3 Tính chất các số hạng của cấp số nhân Đònh... và S11 = 187 5 Bài tập 16: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u4 = 18 Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên ĐS: S20 = 1350 Hết Vậy: S20= CẤP SỐ NHÂN Kiến thức cần nhớ: 1 Đònh nghóa: 11 Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn) , tronh đó kể từ số hạng thứ hai mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công bội Gọi q... (1) ta được: u1 = -18 Ta có cấp số nhân: -18, 54, -162, 486 Bài tập 7: Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là21 Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân Tìm ba số đó Giải: Gọi u1, u2, u3 là ba số hạng của cấp số cộng công sai d Theo bài ra u1, u2-1, u3 +1 lập thành cấp số nhân u1 + u 2 + u 3 = 21 Ta có:  2 (u 2 − 1) = u1 (u 3 + 1) u1 + (u1 +... cấp số nhân (un) biết cấp số đó có 4 số hạng có tổng bằng 360 và số hạng cuối gấp 9 lần số hạng thứ hai Giải: Theo bài ra ta có: u + u q + u1 q 2 + u1 q 3 = 360 (1) u1 + u 2 + u 3 + u 4 = 360  ⇔ 1 3 1  (2) u1 q = 9u1 q u 4 = 9u 2  2 Từ (2) ⇒ q = 9 ⇒ q = ±3 Thay q = 3 vào (1) ta được: 40u1 = 360 ⇒ u1 = 9 Ta có cấp số nhân: 9, 27, 81, 243 13 Thay q = -3 vào (1) ta được: u1 = -18 Ta có cấp số nhân:... Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u14 = 18 Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên Giải: Theo giả thiết ta có: u 3 = u1 + 2d = −15 d = 3 ⇒  u14 = u1 + 13d = 18 u1 = −21 20 (u1 + u 20 ) = 150 3 Bài tập 13: Cho cấp số cộng (un) có u1 = 17, d = 3 Tính u20 và S20 ĐS: u20 = 74, S20 = 910 Bài tập 14: Cho cấp số cộng (un) có a10 = 10, d = -4 Tính u1 và S10 ĐS: u1 = 46, S10 = 280 Bài tập 15: Cho cấp số cộng... 2 Bài tập 4: Tìm u1 và q của cấp số nhân (un) có: u3=12, u5=48 Giải:  2 (1) u 3 = 12 u1 q = 12 ⇔ 4 Ta có:  (2) u1 q = 48 u 5 = 48  q = 0, u = 0 không là nghiệm của hệ Chia (2) cho (1) vế theo vế ta được: q 2 = 4 ⇒ q = ±2 Thay vào (1) tacóù: u1 = 3 * q = 2, ta có cấp số nhân 3, 6, 12, 24, * q = -2, ta có cấp số nhân -3, -6, -12, -24, Bài tập 5: Tìm u và q của cấp số nhân (un) biết: u1 +... Bài tập 2: Cho cấp số nhân có: u3 = 18 và u6 = -486 Tìm số hạng đầu tiên và công bội q của cấp số nhân đó Giải: u 3 = u1 q 2 18 = u1 q 2 (1)   ⇔ Ta có:  (2) − 486 = u1 q 5 u 6 = u1 q 5   12 Lấy (2) chia (1) vế theo vế ta được: q 3 = −27 ⇒ q = −3 Thế q = -3 vào (1) ta được: u1 = 2 Vậy ta có: u1 = 2, q = -3 Bài tập 3: Tìm u1 và q của cấp số nhân biết: u 4 − u 2 = 72  u 5 − u 3 = 144 Giải:... biết: 1/ Cấp số nhân có 6 số hạng mà u1 = 243 vàu6 = 1 1 2/ Cho q = , n = 6, S6 = 2730 Tìm u1, u6 4 Giải: 1 1 1 5 5 = 5 ⇔q= 1/ Ta có: u 6 = u1 q ⇔ 1 = 243.q ⇔ q = 243 3 3 Vậy cấp số nhân là: 243, 81, 27, 9, 3, 1 2/ Ta có: 6 1 1−   1− q6  4  ⇔ 2730 = u 1365 ⇔ u = 512 S 6 = u1 ⇔ 2730 = u1 1 1 1 1− q 1024 1− 4 4 512 1 1 = và u 6 = u1 q 4 = 512.  = 1024 2 4 Bài tập 2: Cho cấp số nhân có: u3...⇔ 10d = 30 ⇔ d = 3 (2) Thay (2) vào (1) ta được: u1 = 1 Do đó: Cấp số cộng cần tìm là: ÷ 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31 Bài tập10: cho cấp số cộng (an) có a1 = 4, d = -3 Tính a10 Giải: Ta có: a10 = a1 + (10 - 1)(-3) = 4 + 9(-3) = -23 Bài tập 11: Tính u1, d trong các cấp số cộng sau đây: S 4 = 9 u 3 + u 5 = 14  1/ 3 / 45 S13 = 129 S 6 = 2  u 5 = 19 u 3 + . = n u B. Giới hạn của hàm số: Kiến thức cần nhớ: 1/ Một số đònh lý về giới hạn của hàm số: Đònh lý1: (Tính duy nhất của giới hạn) Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi x dần tới a thì giới hạn đó. GIỚI HẠN A: Giới hạn dãy số: Kiến thức cần nhớ: Đònh lý1: (Điều kiện cần để dãy số có giới hạn) Nếu một dãy số có giới hạn thì nó bò chặn. Đònh lý2: (Tính duy nhất của giới hạn) Nếu. các số hạng của cấp số nhân Đònh lí: Trong một cấp số nhân, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) đều có giá trò tuyệt đối là trung bình nhân của