elip hot git lem anh e tai ve day nhe

TOÁN LỚP 10 A. KHỞI ĐỘNG • Cho một sợi dây không co dãn có độ dài là 2a, (a > 0) có hai đầu được cột chặt vào hai cây đinh nhỏ. • Trên bảng con của mỗi nhóm đều có 2 lỗ tròn nhỏ F 1 và F 2 . Khoảng cách F 1 F 2 = 2c, (c > 0). • Đặt hai cây đinh vào hai lỗ tròn F 1 và F 2 , giữ chặt. Dùng viết lông kéo căng sợi dây để vạch lên đường cong (E) trên bảng con. • Hãy cho biết tính chất của điểm M bất kỳ trên đường cong (E) đối với hai điểm F 1 và F 2 ? • Hãy nhận xét về độ lớn giữa c và a ? Tính tỉ số • Hãy so sánh độ “gầy”, “mập” của đường cong của nhóm mình với các nhóm khác . Tìm cho nhóm mình một cách giải thích về độ “gầy”, “mập” trên. • Hãy nhận xét về tính đối xứng của đường cong (E). c e a = B. Nhận xét về đường cong (E) • Tổng khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên (E) đến F 1 và F 2 luôn bằng chiều dài sợi dây là 2a (không đổi). F 1 M + F 2 M = 2a • Độ lớn c luôn nhỏ hơn a. • Nếu c ≥ a thì không vẽ được (E). • Nếu c càng nhỏ so với a thì (E) càng “mập” • Nếu c càng lớn so với a thì (E) càng “gầy” • Như vậy, độ “mập”, “gầy” của (E) phụ thuộc vào độ lớn của tỉ số e = c / a 0 < e < 1 • e càng nhỏ thì (E) càng “mập” . • e càng lớn thì (E) càng “ gầy” . • (E) nhận đường thẳng chứa F 1 F 2 và đường trung trực của F 1 F 2 làm trục đối xứng • (E) nhận trung điểm của F 1 F 2 làm tâm đối xứng. (E) F 1 F 2 O M Ta gọi các đường cong (E) nói trên là các đường elip. Vậy đường elip là gì ? Những hình ảnh về đường Elip trong khoa học và đời sống (E) I . CÁC ĐỊNH NGHĨA Cho hai điểm cố định F 1 , F 2 với F 1 F 2 = 2c (c > 0) • Đường Elip là tập hợp các điểm M sao cho F 1 M + F 2 M = 2a Trong đó a là hằng số cho trước lớn hơn c • Hai điểm F 1 và F 2 gọi là các tiêu điểm của elip. • Khoảng cách F 1 F 2 = 2c gọi là tiêu cự của elip. • Tỉ số gọi là tâm sai của elip. c e a = M ∈ (E ) ⇔ F 1 M + F 2 M = 2a , (a > c > 0 ) ° ° F 1 F 2 2c  M II . Phương trình chính tắc của elip y x O ° (- c ; 0 ) ( c ; 0 ) ( x ; y ) Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của F 1 F 2 , trục Oy là trung trực của F 1 F 2 như hình vẽ. Khi đó ta có tọa độ F 1 , F 2 là Cho elip (E) có các tiêu điểm F 1 , F 2 . Tiêu cự F 1 F 2 = 2c như hình vẽ. M ∈ (E) ⇔ F 1 M + F 2 M = 2a với a > c > 0 F 1 ( - c ; 0) F 2 ( c ; 0)và M • ° ° F 1 F 2 ° (E) 2c x y F 1 F 2 O -c c   M ( x ; y ) (E) ° Ta có ° M(x ; y) ∈ (E) ⇔ F 1 M + F 2 M = 2a (1) F 1 ( - c ; 0) F 2 ( c ; 0) F 1 M 2 = ( x + c ) 2 + y 2 F 2 M 2 = ( x - c ) 2 + y 2 ⇒ F 1 M 2 - F 2 M 2 = và F 1 M 2 + F 2 M 2 = 4cx (*) 2x 2 + 2y 2 + 2c 2 (**) (*) ⇒ F 1 M - F 2 M = 1 2 (2) 4 4 2 2 cx cx cx F M F M a a = = + (1) và (2) ⇒ F 1 M = và F 2 M = c a x a + c a x a − (3) Các đoạn thẳng F 1 M và F 2 M được gọi là các bán kính qua tiêu của điểm M Độ lớn các bán kính qua tiêu của điểm M được tính theo công thức (3) Thay (3) vào (**) và rút gọn ta thu được phương trình : (a 2 - c 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 - c 2 ) (4) Vì a > c > 0 nên a 2 > c 2 . Đặt b 2 = a 2 - c 2 (b > 0), ta có ( ) 2 2 2 2 1 0b x y a b a+ > >= (5) là phương trình chính tắc của elip đã cho. ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 b x a y a b x y a b ⇔ + = ⇔ + = Ta gọi phương trình : GHI NHỚ Định nghĩa : M ∈ (E ) ⇔ F 1 M + F 2 M = 2a , (a > c > 0 ) Trong đó F 1 , F 2 là hai tiêu điểm cố định, F 1 F 2 = 2c là tiêu cự y Phương trình chính tắc của elip : 2 2 2 2 1 x y a b + = Trong đó a > b > 0, c 2 = a 2 – b 2 x F 1 F 2 O -c c   M (E) ° ° Tiêu điểm F 1 ( - c ; 0) F 2 ( c ; 0) tâm sai Bán kính qua tiêu F 1 M = a + ex , F 2 M = a - ex c e a = [...]... trục nhỏ của (E )  Hình chữ nhật PQRS có các cạnh tiếp xúc với (E) tại 4 đỉnh của (E) như hình vẽ gọi là hình chữ nhật cơ sở của (E) 2 Tâm sai của elip c Ta đã định nghĩa tâm sai của elip là : e = a Tâm sai của elip là tỉ số giữa tiêu cự và trục lớn của elip Ta có 0 < c < a nên tâm sai của elip luôn nhỏ hơn 1 : 0 < e < 1 c e= = a Do đó : a −b a 2 b 2 = 1− e a 2 2 = hay 2 b b 2 1−  ÷ ⇒ e = 1−  ÷... Đường elip (E) nhận các trục tọa độ làm các trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng 2 Hình chữ nhật cơ sở  (E) cắt trục hoành tại A1(– a ; 0) và A2( a ; 0)  (E) cắt trục tung tại B1(0 ; – b) và B2 ( 0 ; b) Ta có A1A2 = 2a Ta có B1B2 = 2b Ta gọi A1 , A2 , B1 , B2 là 4 đỉnh của elip (E)  Trục Ox gọi là trục lớn của (E) , ta cũng gọi đoạn A1A2 là trục lớn của (E )  Trục Oy gọi là trục nhỏ của (E) ,... a a b = a 1 − e 2 Từ đó suy ra Nếu e càng nhỏ thì b càng gần bằng a ⇒ (E) càng “mập” Nếu e càng lớn thì b càng nhỏ so với a ⇒ (E) càng “gầy” Ví dụ 3: Hãy vẽ hình chữ nhật cơ sở của elip của nhóm Tính độ dài trục lớn , trục nhỏ và tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở Ví dụ 4: Cho (E) : x2 + 4y2 = 4 Hãy chọn mệnh đề đúng: A Độ dài trục lớn là 4, độ dài trục nhỏ là 2, tâm sai e = 2 B Tọa độ các... , Ví dụ 5: Pt chính tắc của (E) có độ dài trục bé là 8, tiêu cự là 4 là: x2 y2 A) + =1 80 64 x2 y2 C) + =1 64 16 2 2 x y B) + =1 16 20 x2 y 2 D)  20 + 16 = 1 Trong mặt phẳng Oxy cho Elip (E) có tâm sai e = 1/2 và độ dài trục lớn là 12 Viết phương trình chính tắc của (E) Tìm điểm M ∈ (E) biết tung độ M nhỏ hơn 0 và F2M = 4 VÍ DỤ 6: Hướng dẫn giải Lại có e = c/a ⇒ c = ae = 3 Ta có 2a = 12 ⇒ a = 6 b2... + c2 ⇒ c = b 8 c b 8 8 = Ta có e = = a 3b 3 Tổng kết Phương trình chính tắc của elip : 2 (E) -c 2 x y + 2 =1 2 a b y  F1 M ° ° O c  F2 Trong đó a > b > 0, a > c> 0 , c2 = a2 – b2 Tiêu điểm F11 (( c ;; 0) ,, F22 ((c ;; 0) Tiêu điểm F c 0) F c 0) F1M = aa+ ex F1M = + ex F2M = aa– ex F M = – ex 2 c c Tâm sai e = Tâm sai e = a a Trục lớn A1A2 = 2a Trục nhỏ B1B2 = 2b Tọa độ các đỉnh A1(– a ; 0) , A2... 1 ( a > b > 0) a b và điểm M (x0 ; y0 ) ∈ (E ) Hãy chọn mệnh đề ĐÚNG NHẤT: A Các điểm M1( – x0 ; y0 ) , M2 ( x0 ; – y0) , M3 (– x0 ; – y0) cũng thuộc (E) B (E) cắt các trục tọa độ tại A1(– a ; 0) , A2( a ; 0) , B1(0 ; – b) , B2(0 ; b) C – a ≤ x0 ≤ a và – b ≤ y0 ≤ b D Tất cả đều đúng  y III.Nhận xét về hình dạng ) ( P° của elip (x0 ; – y0 ) –a;b Xét elip (E) có pt chính tắc: 2 2 x y + 2 = 1 (a > b... pt chính tắc của (E) là : + =1 36 27 Ta có F2M = 4 ⇔ a - exM = 4 ⇒ xM = 4 (thay a = 6, e = 0.5) 2 2 2 xM yM yM 42 20 Vì M∈ (E) nên + =1 ⇒ = 1− = 36 27 27 36 36 ⇒ yM = − 15 (do yM < 0) ( Vậy M 4; 15 ) Ví dụ 7: Tìm tâm sai của elíp biết độ dài trục lớn bằng ba lần độ dài trục nhỏ Hướng dẫn giải Theo giả thiết suy ra : a = 3b Mà a2 = b2 + c2 ⇒ 9b2 = b2 + c2 ⇒ c = b 8 c b 8 8 = Ta có e = = a 3b 3 Tổng... đề SAI : Ví dụ 2: Cho (E) : 25 16 A Tiêu cự là 6 và hai tiêu điểm F1 ( – 3 ; 0) , F2( 3 ; 0) B Tiêu cự là 6 và tâm sai e = 0,6 C (E) qua các điểm A1(– 5 ; 0) , A2(5 ; 0) , B1( 0 ; – 4) và B2(0 ; 4) D (E) đi qua M1( 3 ; 16/5) , M2( – 3 ; 16/5) , M3( 3 ; – 16/5 ) và M4(– 3 ; – 16/5) E (E) đi qua một trong các điểm N1( 6 ; 1) , N2( 8 ; – 5) và N3( – 1 ; 6)  x2 y2 Ví dụ 3: Cho (E) : 2 + 2 = 1 ( a > b >...Ví dụ 1: Các nhóm viết ph.trình chính tắc của elip của mình ? NHÓM I: Có a = 6, c = 2 ⇒ b2 = a2 – c2 = 36 – 4 = 32 Do đó pt (E1 ) là: NHÓM II: Có a = 7, c = 4 ⇒ b2 = a2 – c2 = 49 – 16 = 33 Do đó pt (E2 ) là: NHÓM III: Có a = 7, c = 6 ⇒ b2 = a2 – c2 = 49 – 36 = 13 Do đó pt (E3 ) là: NHÓM IV: Có a = 7, c = 13/5 ⇒ b2 = a2 – c2 = 1056/25 Do đó pt (E4 ) là: x2 y2 + =1 36 32 2 2 x y + =1 49 33 x2 y 2 . cạnh tiếp xúc với (E) tại 4 đỉnh của (E) như hình vẽ gọi là hình chữ nhật cơ sở của (E) 2. Tâm sai của elip Ta đã định nghĩa tâm sai của elip là : c e a = Tâm sai của elip là tỉ số giữa. tâm đối xứng. (E) F 1 F 2 O M Ta gọi các đường cong (E) nói trên là các đường elip. Vậy đường elip là gì ? Những hình ảnh về đường Elip trong khoa học và đời sống (E) I . CÁC ĐỊNH. gọi là tiêu cự của elip. • Tỉ số gọi là tâm sai của elip. c e a = M ∈ (E ) ⇔ F 1 M + F 2 M = 2a , (a > c > 0 ) ° ° F 1 F 2 2c  M II . Phương trình chính tắc của elip y x O ° (- c ;