ĐƯỜNG E-LIP MỤC TIÊU: - Hiểu và nắm vững định nghĩa elip, phương trình chính tắc của elip. - Viết được phương trình chính tắc của elíp khi biết một số yếu tố xác định. ĐƯỜNG ELIP ĐƯỜNG ELIP Vẽ đường elíp Trên mặt bảng gỗ đóng hai chiếc đinh tại hai điểm F 1 và F 2 . Lấy một vòng dây kín không đàn hồi, có độ dài lớn hơn hai lần khoảng cách F 1 F 2 . NhËn xÐt g× vÒ chu vi tam gi¸c MF 1 F 2 , tæng MF 1 +MF 2 khi ®iÓm M thay ®æi ? 1. Định nghĩa về đường elip Cho hai điểm cố định F 1 và F 2 , với F 1 F 2 = 2c (c>0). Đường elip (còn gọi là elip) là tập hợp các điểm M sao cho MF 1 +MF 2 = 2a, trong đó a là số cho trước lớn hơn c. - Hai điểm F 1 và F 2 , gọi là các tiêu điểm của elip. - Khoảng cách F 1 F 2 = 2c gọi là tiêu cự của elip. F 1 F 2 M 2. Phương trình chính tắc của elip • Cho elip (E) như định nghĩa. • Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ. Ta có tọa độ các tiêu điểm là: F 1 (-c; 0), F 2 (c; 0) M F 1 F 2 y Với cách chọn hệ trục tọa độ như vậy, hãy cho biết tọa độ hai tiêu điểm F 1 và F 2 ? O x ( ; )M x y∀ n»m trªn elip ta cã: 2 2 2 * ( )MF x c y= − + 2 2 1 2 * 4 (2);MF MF cx− = Tõ ®ã ta cã: §Æt 2 2 2 b a c= − PT (*) trë thµnh 2 2 2 2 1 x y a b + = 2 2 2 ; 0b a c a b= − > > víi (*) 2 2 2 2 2 1 x y a a c ⇔ + = − 2 2 2 2 ( )MF x c y⇔ = − + 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 2 2 cx MF MF MF MF cx a MF MF a MF MF a − = − = ⇔ + = + = 1 2 3( () 2 )M E MF MF a∈ ⇔ + = tõ (2) vµ (3) ta cã hÖ 1 2 cx MF a a cx MF a a = + ⇔ = − 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )x a c a y a a c− + = − Thay vµo (1) ta ® îc y . . F 1 (-c;0) F 2 (c;0) 2c . O M(x;y) . 2. Phương trình chính tắc của elip 2 2 1 * ( )MF x c y= + + 2 2 2 1 ( )MF x c y⇔ = + + (1) cx a Ngược lại ta có thể chứng minh rằng: Nếu M(x,y) thoả mãn (1) thì MF 1 =a+ MF 2 =a- do đó MF1+MF2=2a, tức là M thuộc elíp cx a Ph ¬ng tr×nh 2 2 2 2 1 x y a b + = 2 2 2 ; 0, 0b a c a b c= − > > > víi Gäi lµ ph ¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elÝp (E) ®· cho ELIP Ví dụ 1. Cho ba điểm F 1 (- ; 0), F 2 (; 0) và I(0; 3). a) Hãy viết phương trình chính tắc của elip (E) có các tiêu điểm là F 1 , F 2 và đi qua I. b) Khi điểm M chạy trên (E),khoảng cách MF 1 có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng bao nhiêu a).Giả sử (E) có phương trình chính tắc . Do I(0;3) thuộc (E) nên ta có ,suy ra b 2 =9. Theo giả thiết tiêu cự của (E) là F 1 F 2 =2c=2 . Vậy c= . Do đó a 2 =b 2 +c 2 =9+5=14. Vậy (E) có phương trình chính tắc là: 2 2 2 2 1 x y a b + = 5 5 2 2 2 0 3 1 a b + = 2 2 1 14 9 x y + = Bài giải: b).Theo công thức về độ dài của bán kính qua tiêu ta có MF 1 =a+ . Vì nên hay Do đó MF 1 có giá trị nhỏ nhất là khi x=-a và có giá trị lớn nhất là khi x=a cx a a x a− ≤ ≤ 1 cx cx a MF a a a − ≤ ≤ + 1 a c MF a c− ≤ ≤ + 14 5a c− = − 14 5a c+ = + ELIP Ví dụ 2:Viết phương trình chính tắc của (E) đi qua hai điểm M(0:1) và . Xác định toạ độ các tiêu điểm của elíp đó. 3 (1; ) 2 N Bài giải Giả sử phương trình chính tắc của elíp có dạng: Với a>b>0 Do elíp đi qua M(0;1) nên hay b 2 =1 .Mặt khác elíp qua nên suy ra a 2 =4.Vậy elíp cần tìm có phương trình chính tắc là Ta có c 2 =a 2 -b 2 =4-1=3 .Vậy c= Khi đó toạ độ các tiêu điểm của elíp là Và 2 1 1 b = 2 2 2 2 1 x y a b + = 3 (1; ) 2 N 2 2 1 3 1 4a b + = 2 2 1 4 1 x y + = 1 ( 3;0)F − 3 2 ( 3;0)F Củng cố 1. Định nghĩa elip. (E) = {M | MF 1 + MF 2 = 2a, a không đổi, a > c > 0} F 1 (-c; 0), F 2 (c; 0), F 1 F 2 = 2c. (a 2 - b 2 = c 2 ) 2 2 2 2 x y + =1 a b 2. Phương trình chính tắc của elip Tọa độ các tiêu điểm: F 1 (-c; 0), F 2 (c;0) Bán kính qua tiêu của điểm M(x M ; y M ) thuộc elip (E) là: và 1 M c MF a x a = + 2 M c MF a x a = − . TIÊU: - Hiểu và nắm vững định nghĩa elip, phương trình chính tắc của elip. - Viết được phương trình chính tắc của elíp khi biết một số yếu tố xác định. ĐƯỜNG ELIP ĐƯỜNG ELIP Vẽ đường elíp Trên mặt. MF 1 F 2 , tæng MF 1 +MF 2 khi ®iÓm M thay ®æi ? 1. Định nghĩa về đường elip Cho hai điểm cố định F 1 và F 2 , với F 1 F 2 = 2c (c>0). Đường elip (còn gọi là elip) là tập hợp các điểm M sao. F 1 và F 2 , gọi là các tiêu điểm của elip. - Khoảng cách F 1 F 2 = 2c gọi là tiêu cự của elip. F 1 F 2 M 2. Phương trình chính tắc của elip • Cho elip (E) như định nghĩa. • Chọn hệ trục