lượng giác cho bất đẳng thức

I. Đặt vấn đề Trong chơng trình toán ở trờng phổ thông việc chứng minh bất đẳng thức là một vấn đề có thể nói là phức tạp nhất, nó rèn cho ngời làm toán trí thông minh, sự sáng tạo, ngoài ra còn có cả sự khéo léo, mỗi kết quả của nó là một công cụ sắc bén của toán học. Nhng để chứng minh bất đẳng thức thì không đơn giản chút nào, nhất là đối với học sinh, các em tỏ ra lúng túng khi chọn cho mình một công cụ để chứng minh hiệu quả nhất. Đã có rất nhiều tài liệu đa ra một số phơng pháp rất tốt để chứng minh bất đẳng thức chẳng hạn: - Phơng pháp sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức. - Phơng pháp sử dụng tam thức bậc 2. - Phơng pháp sử dụng những bất đẳng thức kinh điển. - Phơng pháp sử dụng phản chứng. - Phơng pháp sử dụng quy nạp. - Phơng pháp sử dụng đạo hàm. - Phơng pháp sử dụng hình học. - Phơng pháp sử dụng hàm lồi. Mặc dù vậy song vẫn là cha đủ bởi sáng tạo của mỗi ngời làm toán là vô hạn. Chính vì vậy trong bài viết này tôi muốn đề cập về "Một số phơng pháp l- ợng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số " nhằm trang bị thêm cho học sinh một số công cụ hữu hiệu để chứng minh các bất đẳng thức đại số. Phơng pháp l- ợng giác hoá đã đợc một số sách của các tác giả đề cập nh giáo s Phan Đức Chính, giáo s Phan Huy Khải, phó tiến sĩ Vũ Thế Hựu viết. Nhng do cấu trúc mục tiêu của các cuốn sách đó mà các tác giả đều không đi sâu vào phơng pháp này hay nói cách khác là cha thật cụ thể hoá, hệ thống hoá nó. Là một giáo viên gần 20 năm giảng dạy với các đối tợng học sinh khá giỏi của các lớp chọn tôi đã phân chia phơng pháp này thành 5 dạng bài tập. Nhằm cung cấp cho học sinh nhận ra các dấu hiệu ban đầu để thực hiện các bớc lợng giác hoá bài toán chứng minh bất đẳng thức đại số, để rồi dùng các kết quả của bất đẳng thức lợng giác chứng minh bất đẳng thức đại số. Qua thực tế giảng dạy ở các lớp chọn khối 11 trờng THPT tôi nhận thấy việc phân chia dạng của tôi là hợp lý, lôgíc cụ thể, có thể nhanh chóng tìm ra ph- ơng pháp chứng minh đợc bất đẳng thức bằng cách áp dụng các phơng pháp t duy này của tôi. Tôi sẽ trình bày về hiệu quả của phơng pháp này đối với học sinh ở phần 4 kết quả trắc nghiệm thực tế của sáng kiến. Các tài liệu tham khảo 1. Bất đẳng thức của giáo s Phan Đức Chính - NXB Giáo dục 1995. 2. Các bài toán chọn lọc về bất đẳng thức 2 tập của giáo s Phan Huy Khải - NXB Giáo dục Hà Nội 2000. 3. Phơng pháp lợng giác hoá của PTS Vũ Thế Hựu - NXB Giáo dục 2002. 1 II. giải quyết vấn đề 1. Các kiến thức cần nắm 1.1. Các hệ thức cơ bản + 1sincos 22 =+ + 1 + tg 2 = )k 2 ( cos 1 2 + + tg . cotg = 1 ( 2 k ) + 1 + cotg 2 = )k( sin 1 2 1.2. Công thức cộng góc + cos( ) = cos cos sin sin + sin( ) = sin cos cos sin + tg ( ) = )k 2 ;( tgtg1 tgtg + + cotg( ) = gcotgcot 1gcot.gcot )k;( 1.3. Công thức nhân + sin2 = 2 sin cos + cos2 = cos 2 - sin 2 = 2cos 2 - 1 = 1 - 2sin 2 + tg2 = ) 2 k 4 ( tg1 tg2 2 + + cotg2 = ) 2 k ( gcot2 1gcot 2 + sin3 = 3sin - 4sin 3 + cos3 = 4cos 3 - 3cos + tg3 = 3 k 6 ( tg31 tgtg3 3 3 + ) 1.4. Công thức hạ bậc + cos 2 = 2 2cos1 + + sin 2 = 2 2cos1 + tg 2 = + 2cos1 2cos1 )k 2 ( + 1.5. Công thức biến đổi tổng thành tích: + cos + cos = 2cos 2 cos 2 + + cos - cos = - 2sin 22 sin + + sin + sin = 2sin 22 cos + + sin - sin = = - 2cos 2 sin 2 + 2 + tg tg = cos.cos )sin( )k 2 ;( + 1.6. Công thức biến đổi tích thành tổng: + cos.cos = )]cos()[cos( 2 1 ++ + sin.sin = )]cos()[cos( 2 1 ++ + sin.cos = )]sin()[sin( 2 1 ++ 2. Nội dung của sáng kiến Qua một quá trình nghiên cứu tham khảo bài toán chứng minh bất đẳng thức bằng phơng pháp lợng giác ở nhiều sách đều đa ra các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức bằng phơng pháp lợng giác rất mơ hồ cha có hệ thống, cha phân chia thành các dạng bài tập. Với các kiến thức về chứng minh bất đẳng thức bằng phơng pháp lợng giác mà tôi đợc biết tôi đã phân chia thành 5 dạng bài tập cơ bản mà tôi sẽ giới thiệu sau đây. Trong mỗi dạng bài tập tôi đều đa ra phơng pháp chọn cách đặt để học sinh nhanh chóng chuyển 1 vế của bất đẳng thức đại số phải chứng minh về biểu thức lợng giác sau đó biến đổi để đánh giá bất đẳng thức lợng giác bằng các bất đẳng thức lợng giác đơn giản nh: 2 2 | sin | 1;| cos | 1; sin 1; cos 1 ( *) n n n N * Để học sinh nắm kiến thức một cách hệ thống tôi đã lập bảng một số dấu hiệu nhận biết sau:( Giả sử các hàm số lợng giác sau đều có nghĩa) Biểu thức đại số Biểu thức lợng giác tơng tự Công thức lợng giác 1 + x 2 1 + tg 2 t 1+tg 2 t = tcos 1 2 4x 3 - 3x 4cos 3 t - 3cost 4cos 3 t - 3cost = cos3t 2x 2 - 1 2cos 2 t - 1 2cos 2 t - 1 = cos2t 2 x1 x2 ttg1 tgt2 2 ttg1 tgt2 2 = tg2t 2 x1 x2 + ttg1 tgt2 2 + ttg1 tgt2 2 + = sin2t xy1 yx + + tgtg1 tgtg + tgtg1 tgtg = tg(+) x 2 - 1 1 cos 1 2 1 cos 1 2 = tg 2 một số phơng pháp lợng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số I. Dạng 1: Sử dụng hệ thức sin 2 + cos 2 = 1 1) Ph ơng pháp: 3 a) Nếu thấy x 2 + y 2 = 1 thì đặt = = cosy sinx với [0, 2] b) Nếu thấy x 2 + y 2 = a 2 (a > 0) thì đặt = = cosay sinax với [0, 2] 2. Các ví dụ minh hoạ: VD1: Cho 4 số a, b, c, d thoả mãn: a 2 + b 2 = c 2 + d 2 = 1 Chứng minh rằng: 2 S = a(c+d) + b(c-d) 2 Giải: Đặt = = ucosb usina và = = vcosd vsinc S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv) S = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv) = sin(u+v) - cos(u+v) 2)dc(b)dc(aS2]2,2[ 4 )vu(sin2S ++= += (đpcm) VD2: Cho a 2 + b 2 = 1. Chứng minh rằng: 2 25 b 1 b a 1 a 2 2 2 2 2 2 ++ + Giải: Đặt a = cos và b = sin với 0 2. Thế vào biểu thức vế trái rồi biến đổi. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 sin cos 1 cos b 1 b a 1 a ++ += ++ + = cos 4 + sin 4 + 4 sin.cos sincos sincos4 sin 1 cos 1 44 44 44 44 + + ++=+ + = ( ) 4 sin.cos 1 1sincos 44 44 + ++ = ( ) [ ] 4 sin.cos 1 1sincos2sincos 44 2222 + ++ = 2 25 4 2 17 4)161( 2 1 14 2sin 16 12sin 2 1 1 4 2 =+=++ + + (đpcm) Bây giờ ta đẩy bài toán lên mức độ cao hơn một bớc nữa để xuất hiện a 2 +b 2 =1 VD3: Cho a 2 + b 2 - 2a - 4b + 4 = 0. Chứng minh rằng: A = 2334b)324(a)321(2ab32ba 22 ++++ Giải: Biến đổi điều kiện: a 2 + b 2 - 2a - 4b + 4 = 0 (a-1) 2 + (b-2) 2 = 1 4 Đặt += += += = = cossin32cossinA cos2b sin1a cos2b sin1a 22 A 2) 6 2sin(22cos 2 1 2sin 2 3 22cos2sin3 === (đpcm) VD4: Cho a, b thoả mãn : 7 12b 5a ++ = 13 Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + 2(b-a) - 1 Giải: Biến đổi bất đẳng thức: a 2 + b 2 + 2(b-a) - 1 (a-1) 2 + (b + 1) 2 1 Đặt =+ = cosR1b sinR1a với R 0 222 R)1b()1a( 1cosRb 1sinRa =++ = += Ta có: 137)1cosR(12)1sinR(5137b12a5 =+++=++ R 13 5 arccossinRcos 13 12 sin 13 5 R113cosR12sinR5 +=+==+ Từ đó (a-1) 2 + (b+1) 2 = R 2 1 a 2 + b 2 + 2(b - a) - 1 (đpcm) II. Dạng 2: Sử dụng tập giá trị 1|cos|;1|sin| 1. Ph ơng pháp : a) Nếu thấy |x| 1 thì đặt [ ] sin ; 2 2 cos 0; x khi x khi = = b) Nếu thấy |x| m ( 0m ) thì đặt [ ] sin ; 2 2 cos 0; x m khi x m khi = = 2. Các ví dụ minh hoạ: VD1: Chứng minh rằng: (1+x) p + (1-x) p 2 p |x| 1 ; P 1. Giải: Đặt x = cos với [0, ], khi đó (1 + x) p + (1 - x) p = (1+cos) p + (1-cos) p = p22pp2p2p p 2 p 2 2 2 sin 2 cos2 2 sin 2 cos2 2 sin2 2 cos2 = + + = + (đpcm) VD2: Chứng minh rằng: 23123223 22 ++= aaaA Giải: 5 Tõ ®k 1 - a 2 ≥ 0 ⇔ |a| ≤ 1 nªn §Æt a = cosα víi 0 ≤ α ≤ π ⇒ 2 a1− = sinα. Khi ®ã ta cã: A= α+α+=αα+α=−+ 2sin)2cos1(3sincos2cos32a1a2a32 222 = 3 3 2sin232sin 2 1 2cos 2 3 2 +       π +α=+       α+α 2323 +≤≤−⇒ A (®pcm) VD3: Chøng minh r»ng: [ ] )(a)a()a(a 122221111 2332 −+≤−−+−+ Gi¶i: Tõ ®k |a| ≤ 1 nªn §Æt a=cosα víi α∈[0,π] ⇒ α=− α =+ α =− sina1; 2 cos2a1; 2 sin2a1 2 (1)⇔ 2 cos 2 sin2222 2 sin 2 cos22. 2 cos 2 sin21 33 αα +≤       α − ααα + ⇔ 2 cos 2 sin1 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 22 αα +≤       α + αα + α       α − α       α + α ⇔ 1cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 22 ≤α= α − α =       α − α       α + α ®óng ⇒ (®pcm) VD4: Chøng minh r»ng: S = ( ) ( ) 21314 2332 ≤−−+−− aaa)a( Gi¶i: Tõ ®k |a| ≤ 1 nªn: §Æt a = cosα víi α ∈ [0, π] ⇒ 2 a1− = sinα. Khi ®ã biÕn ®æi S ta cã: S= )cos3cos4()sin4sin3()sin(cos3)cos(sin4 3333 α−α+α−α=α−α+α−α = 2 4 3sin23cos3sin ≤       π +α=α+α ⇒ (®pcm) VD5: Chøng minh r»ng A = ( ) 211311 2222 ≤−−−+−+− )b)(a(ababba Gi¶i: Tõ ®iÒu kiÖn: 1 - a 2 ≥ 0 ; 1 - b 2 ≥ 0 ⇔ |a| ≤ 1 ; |b| ≤ 1 nªn. §Æt a = sinα, b = sin β víi α, β ∈       ππ − 2 ; 2 Khi ®ã A = )cos(3sincoscossin β+α−βα+βα = 6 = 2 3 )(sin2)cos( 2 3 )sin( 2 1 2)cos(3)sin( +=++=++ (đpcm) VD6: Chứng minh rằng: A = |4a 3 - 24a 2 + 45a - 26| 1 a [1; 3] Giải: Do a [1, 3] nên |a-2| 1 nên ta đặt a - 2 = cos a = 2 + cos. Ta có: A = 13342624522424 323 ==++++ coscoscos)cos()cos()cos( (đpcm) VD7: Chứng minh rằng: A = 2 2 3 3 2 [0,2]a a a a + Giải: Do a [0, 2] nên |a-1| 1 nên ta đặt a - 1 = cos với [0, ]. Ta có: A = =+++ coscos)cos()cos()cos( 31313112 22 = 2 3 sin2cos 2 3 sin 2 1 2cos3sin += = (đpcm) III. Dạng 3: Sử dụng công thức: 1+tg 2 = 1 cos 1 tg cos 1 2 2 2 = )k( + 2 1) Ph ơng pháp: a) Nếu |x| 1 hoặc bài toán có chứa biểu thức 1x 2 thì đặt x = cos 1 với 2 3 , 2 ;0 b) Nếu |x| m hoặc bài toán có chứa biểu thức 22 mx thì đặt x = cos m với 2 3 , 2 ;0 2. Các ví dụ minh hoạ: VD1: Chứng minh rằng A = 2 1 3 2 1 a a a + Giải: Do |a| 1 nên : Đặt a = cos 1 với 2 3 , 2 ;0 == tgtg1a 22 . Khi đó: A = 2 3 sin2cos3sincos)3tg( a 31a 2 +=+=+= + (đpcm) 7 VD2: Chøng minh r»ng: - 4 ≤ A = 2 2 a 1a125 −− ≤ 9 1a∀ ≥ Gi¶i: Do |a| ≥ 1 nªn: §Æt a = αcos 1 víi α∈       π π∪       π 2 3 , 2 ;0 ⇒ α=α=− tgtg1a 22 . Khi ®ã: A = 2 2 a 1a125 −− = (5-12tgα)cos 2 α = 5cos 2 α-12sinαcosα= α− α+ 2sin6 2 )2cos1(5 =       +α+=       α−α+ 13 5 arccos2cos 2 13 2 5 2sin 13 12 2cos 13 5 2 13 2 5 ⇒ - 4 = 91. 2 13 2 5 13 5 arccos2cos 2 13 2 5 A)1( 2 13 2 5 =+≤       +α+=≤−+ (®pcm) VD3: Chøng minh r»ng: A = ab 1b1a 22 −+− ≤ 1 ; 1a b ∀ ≥ Gi¶i: Do |a| ≥ 1; |b| ≥ 1 nªn . §Æt a = αcos 1 ; b = βcos 1 víi α∈       π π∪       π 2 3 , 2 ;0 . Khi ®ã ta cã: A = 1)sin(cossincossincoscos)tgtg( ≤β+α=αβ+βα=βαβ+α (®pcm) VD4: Chøng minh r»ng: a + 22 1a a 2 ≥ − 1a ∀ > Gi¶i: Do |a| > 1 nªn: §Æt a = αcos 1 víi α∈ α = α α = − ⇒       π sin 1 tg 1 . cos 1 1a a 2 ;0 22 . Khi ®ã: a+ 22 2sin 22 sin 1 . cos 1 .2 sin 1 cos 1 1a a 2 ≥ α = αα ≥ α + α = − (®pcm) VD5: Chøng minh r»ng 26xy31y41xy 22 ≤+−+− ; 1x y ∀ ≥ Gi¶i: BÊt ®¼ng thøc ⇔ )( yy y xx x 126 3 14 1 1 2 2 ≤         + − + − 8 Do |x|; |y| 1 nên Đặt x = cos 1 ; y= cos 1 với , 2 ,0 . Khi đó: (1) S = sin + cos(4sin + 3cos) 26 Ta có: S sin + cos +=++ cos5sin)cos)(sin34( 2222 2 2 2 2 (1 5 )(sin cos ) 26 + + = (đpcm) IV. Dạng 4: Sử dụng công thức 1+ tg 2 = 2 cos 1 1. Ph ơng pháp: a) Nếu x R và bài toán chứa (1+x 2 ) thì đặt x = tg với 2 , 2 b) Nếu x R và bài toán chứa (x 2 +m 2 ) thì đặt x = mtg với 2 , 2 2. Các ví dụ minh hoạ: VD1: Chứng minh rằng: S = 1 1 4 1 3 32 3 2 + + )x( x x x Giải: Đặt x = tg với 2 , 2 =+ cos x 1 1 2 , khi đó biến đổi S ta có: S = |3tg.cos - 4tg 3 .cos 3 | = |3sin - 4sin 3 | = |sin3| 1 (đpcm) VD2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 22 42 )a21( a12a83 + ++ Giải: Đặt a 2 = tg với 22 , thì ta có: A = 22 42 )tg1( tg3tg43 + ++ = += + ++ 22222 222 4224 cossin2)cos(sin3 )sin(cos sin3cossin4cos3 = 3 - 3 2 0 2 2 2sin 3A 2 1 3 2 5 2 2sin 22 = == Với = 0 a = 0 thì MaxA = 3 ; Với = 4 a = 2 1 thì MinA = 2 5 VD3: Chứng minh rằng: 2 1 )b1)(a1( )ab1)(ba( 22 ++ + a, b R 9 Gi¶i: §Æt a = tgα, b = tgβ. Khi ®ã )tg)(tg( )tgtg)(tgtg( )b)(a( )ab)(ba( β+α+ βα−β+α = ++ −+ 2222 11 1 11 1 = βα βα−βα βα β+α βα cos.cos sin.sincos.cos . cos.cos )sin( .coscos 22 = [ ] 2 1 2 2 1 ≤β+α=β+αβ+α )(sin)cos()sin( (®pcm) VD4: Chøng minh r»ng: c,b,a )a1)(c1( |ac| )c1)(b1( |cb| )b1)(a1( |ba| 222222 ∀ ++ − ≥ ++ − + ++ − Gi¶i: §Æt a = tgα, b = tgβ, c = tgγ. Khi ®ã bÊt ®¼ng thøc ⇔ ⇔ )tg1)(tg1( |tgtg| )tg1)(tg1( |tgtg| )tg1)(tg1( |tgtg| 222222 α+γ+ α−γ ≥ γ+β+ γ−β + β+α+ β−α ⇔ αγ α−γ αγ≥ γβ γ−β γβ+ βα β−α βα cos.cos )sin( .coscos cos.cos )sin( .coscos cos.cos )sin( .coscos ⇔ |sin(α-β)|+|sin(β-γ)| ≥ |sin(γ-α)|. BiÕn ®æi biÓu thøc vÕ ph¶i ta cã: |sin(γ-α)|= |sin[(α-β)+(β-γ)]| = |sin(α-β)cos(β-γ)+sin(β-γ)cos(α-β)| ≤ |sin(α-β)cos(β-γ)|+|sin(β-γ)cos(α-β)|=|sin(α-β)||cos(β-γ)|+|sin(β-γ)||cos(α-β)| ≤ |sin(α-β)|.1 + |sin(β-γ)|.1 = |sin(α-β)| + |sin(β-γ)| ⇒ (®pcm) VD5: Chøng minh r»ng: 0d,c,b,a)1()db)(ca(cdab >∀++≤+ Gi¶i: (1) ⇔ 1 d b 1 a c 1 ab cd d b 1 a c 1 1 1 )db)(ca( cd )db)(ca( ab ≤       +       + +       +       + ⇔≤ ++ + ++ §Æt tg 2 α= a c , tg 2 β= b d víi α,β ∈       π 2 ,0 ⇒ BiÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc ⇔ 1sinsincoscos )tg1)(tg1( tg.tg )tg1)(tg1( 1 2222 22 22 22 ≤βα+βα= β+α+ βα + β+α+ ⇔ cosα cosβ + sinα sinβ = cos(α-β) ≤ 1 ®óng ⇒ (®pcm) DÊu b»ng x¶y ra ⇔ cos(α-β) = 1 ⇔ α=β ⇔ b d a c = 10 [...]... cụ rất hữu hiệu để giúp các em có thêm một cách mới để chứng minh bất đẳng thức đại số bổ sung cho các em một phơng pháp lợng giác hoá các bài toán nói chung làm cho các em tự tin hơn khi gặp các bài tập chứng minh bất đẳng thức trong tất cả các cuộc thi khó, chính vì thế tôi nghĩ rằng một số phơng pháp lợng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số của tôi đa ra là rất khả quan III kết luận và kiến nghị... những công cụ mới để ngày càng hoàn thiện hơn bản thân và cống hiến cho những ngời làm toán những công cụ hữu hiệu để có thể đi sâu vào thế giới của toán học Trên đây là ý kiến của tôi về một số phơng pháp lợng giác để giải các bất đẳng thức đại số nhằm giúp cho ngời chứng minh bất đẳng thức có một phơng pháp t duy về chứng minh bất đẳng thức đại số Do kinh nghiệm cha có nhiều nên bài viết của tôi không... lợng giác để chứng minh bất đẳng thc nên hầu hết không làm đợc 3 bài tập tôi đã cho Nhng ngợc lại đối với kết quả bài làm của học sinh lớp 11A2 tôi thấy rất khả quan hầu hết các em đều làm đợc bài tập đầu còn bài tập 2 một số em đã không biết chuyển từ đầu bài về dạng 1 để giải một số khác đã biết 15 biến đổi đợc bất đẳng thức để có thể áp dụng dạng 1 xong cha biến đổi để đi đến bất đẳng thức lợng giác. .. Việc chứng minh bất đẳng thức đại số là một công việc rất khó khăn và đòi hỏi ngời chứng minh phải sáng tạo khéo léo phải biết sử dụng tất cả các kiến thức đã biết để chứng minh một bất đẳng thức Trong giai đoạn hiện nay chúng ta đang tập trung cho cải cách giáo dục, trong đó có một phần quan trọng là cải tiến phơng pháp giảng dạy Để phát huy tính tích cực của học sinh, việc tiếp thu kiến thức mới và công... đi đến bất đẳng thức cần chứng minh, lớp 11A2 hầu hết các em không làm đợc hoặc bế tắc hoàn toàn Đứng trớc thực trạng nh vậy tôi quyết định đa sáng kiến của tôi dạy cho lớp 11A2 là lớp có vốn kiến thức yếu hơn so với lớp 11A1 Tôi đã tập trung các em lớp 11A2 học ngoại khoá vào 3 tiết buổi chiều trong 3 tiết này tôi đã truyền thụ hết nội dung 5 phơng pháp dùng lợng giác để chứng minh bất đẳng thức đại... của biểu thức A = 6a + 4 | a 1 | a2 +1 Giải: Đặt a = tg Khi đó A = 2 6tg + 4 | tg 2 1 | 2tg tg 2 1 2 2 + 4 2 2 = 3 tg 2 + 1 1 + tg 2 tg 2 + 1 2 2 2 A = 3sin + 4 |cos| 3 sin + 4.0 = 3sin 3.(-1) = -3 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có: A2 = (3sin + 4 |cos|)2 (32 + 42)(sin2 + cos2) = 25 A 5 sin | cos | = thì MaxA = 5 3 4 V Dạng 5: Đổi biến số đa về bất đẳng thức tam giác 1)... dạy thử nghiệm nội dung sáng kiến của tôi cho học sinh của 2 lớp 11A1 và 11A2 ở trờng tôi, tôi đã ra bài về nhà cho các em, cho các em chuẩn bị trớc trong thời gian 2 tuần Với các bài tập sau: Bài 1: Cho a2 + b2 = 1 CMR: | 20a3 - 15a + 36b - 48b3| 13 Bài 2: Cho (a-2)2 + (b-1)2 = 5 CMR: 2a + b 10 a; b 0 Bài 3: Cho CMR: a4 + b4 a3 + b3 a + b = 2 Bài 4: Cho a; b ; c 1 1 1 1 1 1 1 CMR: a... dụng giải các ví dụ tại lớp thấy các em làm rất tốt, sau đó tôi cho bài tập 3, 6, 8, 10 về nhà và yêu cầu các em nộp cho tôi vào ngay ngày hôm sau Kết quả thu đợc nh sau: Lớp Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu 11A1 50 7 30 13 0 11A2 52 6 25 21 0 Với kết quả nh trên và thực tế bài làm của các em tôi nhận thấy các phơng pháp lợng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số mà tôi đa ra có kết quả tốt, nó là một công cụ rất... + ) 1 + cos 2 2 2 cos 2 2 T đó suy ra S 0 Với x = y = z = VD2: Cho 0 < x, y, z < 1 và 1 thì MinS = 0 3 x y z 4 xyz + + = 2 2 2 2 1 x 1 y 1 z (1 x )(1 y 2 )(1 z 2 ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x2 + y2 + z2 Giải: Do 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg Khi đó tg = ; y = tg ; z = tg với , , 2 2 2 0, 2 2y 2x 2z và đẳng thức ở giả thiết 2 ; tg = 2 ; tg = 1 y 1 x 1 z2 2y 8xyz 2x 2z +... xy + yz + zx = 1 x , y, z > 0 x y z 3 CMR : + + Bài 9: Cho x + y + z = xyz 1+ x2 1 + y2 1 + z2 2 14 x, y, z > 0 1 1 1 2x 2y 2z CMR : + + + + Bài 10: Cho xy + yz + zx = 1 1 + x 2 1 + y2 1 + z2 1 + x 2 1 + y2 1 + z2 Sau 2 tuần các em hầu nh không làm đợc các bài tập này mặc dù tôi đã gợi ý là dùng phơng pháp lợng giác hoá Sau đó tôi đã dạy cho các em sáng kiến của tôi trong một buổi sinh hoạt chuyên . nhanh chóng chuyển 1 vế của bất đẳng thức đại số phải chứng minh về biểu thức lợng giác sau đó biến đổi để đánh giá bất đẳng thức lợng giác bằng các bất đẳng thức lợng giác đơn giản nh: 2 2 | sin. cấp cho học sinh nhận ra các dấu hiệu ban đầu để thực hiện các bớc lợng giác hoá bài toán chứng minh bất đẳng thức đại số, để rồi dùng các kết quả của bất đẳng thức lợng giác chứng minh bất đẳng. tốt để chứng minh bất đẳng thức chẳng hạn: - Phơng pháp sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức. - Phơng pháp sử dụng tam thức bậc 2. - Phơng pháp sử dụng những bất đẳng thức kinh điển. -