bài tập bất đẳng thức

tuyển các bài tập bất đẳng thức hay

Giáo án đại số 10 cơ bản Giáo viên: Dương Minh Tiến

BẤT ĐẲNG THỨC

Tiết TC I.MỤC TIÊU

1 Về kiến thức:

- Nắm vững khái niệm và các tính chất của bất đẳng thức

- Hiểu rõ cách sử dụng BĐT Cosi thể hiện mối quan hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số, và một số bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối

2 Về kĩ năng:

- Vận dụng linh hoạt và nhạy bén tính chất của BĐT hoặc các phép biến đổi tương đương để chứng minh một số bất đẳng thức đơn giản

- Biết vận dụng BĐT Cosi sử dụng trong trường hợp hai số dương vào việc chứng minh một số BĐT hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đơn giản và một

số bất đẳng thức đơn giản có chứa giá trị tuyệt đối

- Biết biểu diễn các điểm trên trục số thoả mãn bất đẳng thức  x  < a ;  x  > a (với a> 0)

3 Về tư duy - thái độ

Biết quy lạ về quen, năng động, cần cù, chính xác…phát triển tư duy logic

II CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH:

- Học sinh: Xem lại các kiến thức về BĐT ( Khái niệm, BĐT hệ quả, bất đẳng thức tương đương, tính chất của BĐT)

- Giáo viên: Phấn màu, thước kẻ, các phiếu câu hỏi ( Nếu có )

III.PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

Phương pháp gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và đan xen thảo luận nhóm

IV TIẾN TRÌNH LÊN LỚP.

Tiết 1: Bất Đẳng Thức Chứa Gía Trị Tuyệt Đối

Hoạt động 1: Ôn tập lí thuyết

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

Câu hỏi 1 : Nhắc lại định nghĩa về giá trị

tuyệt đối của số A ?

Câu hỏi 2 : So sánh các cặp số sau đây , câu

nào là bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối ?

a) x và 0 b) x2 và x c)

x và x d) x và  x e) d) x

và -x

Câu hỏi 3 : Chứng minh bất đẳng thức :

b a

b

a   đẳng thức xảy ra khi

nào ?

Câu hỏi 4 : Viết lại các tính chất của bất

đẳng thức cơ bản có giá trị tuyệt đối ?

HS trả lời: 











0 0

A neu A A neu A A

HS trả lời:

a) x  0 b) x2 = x c)

x  x d) x =  x d) x  -x

HS trả lời:

Đẳng thức xãy ra khi a và b cùng dấu

HS trả lời:

Tính chất 1: a> 0 ta có:

 x a   a x a















a x

a x

a x

Tính chất 2 :

 a, b ta đều có :

b a b

a b

Hoạt động 2:Chứng minh bất đẳng thức

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

Bài 3 Với ba số a,b,c tùy ý chứng minh các

bất đẳng thức sau và cho biết khi nào dấu

bằng xảy ra

a) a  b a  b

b) a b c a  b  c

Giáo viên:

- Hướng dẫn.Gọi HS giải.nhận xét và cho

điểm

Bài4

Với ba số a,b,c tùy ý chứng minh rằng :

c a c b

b

a     

Giáo viên:

Hướng dẫn.Gọi HS giải.nhận xét và cho

điểm

HS giải:

a) a  b a   b a  ba  b

Đẳng thức xãy ra khi a.b0

b) a  b c ab  c a  b c

Đẳng thức xãy ra khi a.b0

HS giải:

Tacó:

c a c b b a c b b

a         

Hoạt động 4: Dặn dò

- Về nhà ôn tập lí thuyết về bất đẳng thức Cauchy ứng dụng của BĐT Cauchy

- Làm các bài tập

5) Chứng minh rằng :

a) Nếu a và b cùng dấu thì :   2

a

b b a

b) Nếu a và b là hai số trái dấu thì : :    2

a

b b a

6) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = ( x + 3) (5 – x)

với  3 x 5

7) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 21







x x x

8) Chứng minh rằng nếu a,b,c là ba số dương thì : abc

a

c c

b b

a

3

4 4 4







*Rút kinh nghiệm:

………

…

………

…

………

…

………

…

………

…

Giáo án đại số 10 cơ bản Giáo viên: Dương Minh Tiến

………

…

………

…

Tiết 2: Bất Dẳng Thức Cauchy

Hoạt động 1: Ơn tập lí thuyết

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

Câu hỏi 6 : Khơng tính tốn hãy so sánh trung

bình cộng và trung bình nhân của mỗi cặp số

sau :

a) 1,35 và 2,15

b) 2,25 và 6,1

c) 25 và 25

Giáo viên:

Gọi HS trả lời nhận xét và cho điểm

Câu hỏi 7 : Viết lại các bất đẳng thức Cơ – Si

về ba số khơng âm, bốn số khơng âm?

Giáo viên:

Gọi HS trả lời nhận xét và cho điểm

Câu hỏi 8 : Cho x , y là hai số khơng âm

Chọn mệnh đề đúng :

a) Nếu x+y khơng thay đổi thì x.y nhỏ nhất

khi và chỉ khi x = y

b) Nếu x+y khơng thay đổi thì x.y lớn nhất

khi và chỉ khi x = y

c) Nếu x.y khơng thay đổi thì x+y nhỏ nhất

khi và chỉ khi x = y

d) Nếu x.y khơng thay đổi thì x+y lớn nhất

khi và chỉ khi x = y

Câu hỏi 9 :

Phát biểu các hệ quả của bất đẳng thức

Cơ –Si

Áp dụng : Cho x + y = 1 Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức A = x.y ?

HS trả lời:

Theo BĐT Cosi ta suy ra:

a) Trung bình cơng của 1,35 và 2,15 lớn hơn trung bình nhân

b) Trung bình cơng của 2,25 và 6,1 lớn hơn trung bình nhân

c) Trung bình cộng bằng trung bình nhân

HS trả lời:

0, 0, 0, 0 2

Đẳng thức xãy ra khi a = b = c = d

0 , 0 , 0 3







c b a abc c

b a

Đẳng thức xãy ra khi a = b =c

HS trả lời:

Theo hệ quả của định lí Cosi thì:

a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai

HS trả lời: Áp dụng hệ quả của BĐT Cosi

Ta cĩ MaxA = x2

Hoạt động 2: Chứng minh bất đẳng thức

Bài 5 Chứng minh rằng :

a) Nếu a và b cùng dấu thì :

2





a

b

b

a

b) Nếu a và b là hai số trái dấu thì : :

2







a

b

b

a

Giáo viên:

- Hướng dẫn.Gọi HS giải, Nhận xét

và cho điểm

HS giải:

2

Hệ quảBĐT Cosi

a b

b a

Tương tự: Hs về nhà chứng minh

Giáo án đại số 10 cơ bản Giáo viên: Dương Minh Tiến

Hoạt động 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức.

Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh

Bài 6

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của hàm số f(x) = ( x + 3) (5

– x) với  3 x 5

Giáo viên:

Hướng dẫn.Gọi HS giải.nhận xét

và cho điểm

Bài 7

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

1

2 )

(







x x

x

Giáo viên:

Hướng dẫn.Gọi HS

giải.nhận xét và chính xác góa bài

giải

HS giải:

Vì  3 x 5 nên (x+3) 0 và (5-x)  0

Ta lại có: (x+3)+(5-x) = 8 không đổi Suy ra: (x+3).(5-x) lớn nhất khi:

(x+3) = (5-x)  x=1

Vậy f(x) = ( x + 3) (5 – x) có giá trị lớn nhất là: 16

HS giải:

1 1

2 1 1

2 )















x

x x

x x f

Áp dụng BĐT Co-Si cho hai số (x-1) và

1

1



x ta có

1 2 2 1 1

2 ) 1 ( ) ( 2

2 1

2 ) 1



















x x

x f x

x

Vậy f(x) có giá trin nhỏ nhất là 2 2  1

Hoạt động 5: Dặn dò

- Về nhà ôn tập lí thuyết chương I

- Giải bài tập trang 79

B Bài tập về nhà :

1) a) Chứng minh rằng nếu x  0 , y  0 thì : x x y y





1

b) Chứng minh rằng nếu a , b tùy ý thì ta có : a a b b a a  b b











1 1

1

2) Chứng minh rằng :

a) Nếu 2 2 1



 y

b) Nếu 4x – 3y = 15 thì 2 2 9



x

3) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x  1  4  x

4) chứng minh rằng nếu a,b,c,d là bốn số không âm thì : a b c d abcd









5) Cho các số a,b,c không âm chứng minh rằng :

c b a c

ab b

ac a

bc d

abc c

b a c b a c

b a a b ab b

a b a b

b a b

a a







































)

9 )

2 2

2 2

2 )

16 3

4 )

2 2 2

2 2

3 2 9

6

*Rút kinh nghiệm:

………

…

………

…

…

………

…