Đề thi vô địch Toán 8

Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB; AC.. Gọi I là giao điểm của BE và CD.. Tính tỷ số BH CH.. HẾT Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Trường THCS VĨNH YÊN ĐỀ THI VÔ ĐỊCH LẦN 3 NĂM HỌC 2009 – 2010

MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề ) Câu 1: (2,5điểm)

Giải các phương trình sau:

8(x ) 4(x ) 4(x )(x ) (x 4)

b (2x4  30x2  148) 3  (x4  5x2  4) 3  (25x2  x4  144) 3;

3x 2010 4 x 2008 12 x 2009 5 x 2007.

Câu 2: (1,5điểm)

Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a + b + c = 0 và abc ≠ 0.

Tính giá trị của biểu thức 2 2 2 2 2 2 2 2 2

P

Câu 3: (1,0điểm)

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 12x 2 + 6xy + 3y 2 = 28( x + y).

Câu 4: (2,0điểm)

Cho 3 số dương x; y; z thoả mãn x + y + z = 1 Chứng minh rằng

14

xy yz zx  x y z  Câu 5: (3,0điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB; AC Gọi I là giao điểm của BE và CD.

a So sánh S ADIE và S BIC ;

b Chứng minh rằng BD AB33

CE AC ;

c Giả sử Ĉ = 30 0 Tính tỷ số BH

CH .

HẾT

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

B i ài Câu Néi dung Điểm

2

2

                

        

2

2 2

 x x08



 mà x 0

0,25

0,25 0,25

b (2x4  30x2  148) 3  (x4  5x2  4) 3  (25x2  x4  144) 3

(x4  5x2  4) 3  (x4  25x2  144) 3  (2x4  30x2  148) 3

Ta thấy x4  5x2  4 + x4  25x2  144 = 2x4  30x2  148

Đặt x4  5x2  4 = a; x4  25x2  144 = b Khi đó (1) có dạng : a3 + b3 = (a + b)3  ab(a + b) = 0



0 0 0

a b

a b





 



  



hay

5 4 0(1)

25 144 0(2)

2 30 148 0(3)







Giải (1) : x4  5x2  4= 0  (x2 - 1)(x2 - 4) = 0  x = 1 hoặc x = 2 Giải (2): x4  25x2  144=0  (x2 - 9)(x2 - 16) = 0  x = 3 hoặc x = 4 Giải (3): 2x4  30x2  148 = 0 ( vô nghiệm)

0,5

0,25

0,25

3x 2010 4 x 2008 12 x 2009 5 x 2007 (1) Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

2010 2008 2007 2009

3x 2010 4 x 2008 5 x 2007 12 x 2009(2) Nhận thấy 3x – 2010 + 4x + 2008 + 5x – 2007 = 12x – 2009 Đặt a = 3x – 2010 ; b = 4x + 2008 ; c = 5x – 2007

a b c  a b c 

Biến đổi ta được: a = - b hoặc b = - c hoặc c = - a Thay vào ta tìm được x

7; 1

9

 ; 4017

8 }

0,25

0,25 0,25

2 Với a + b + c = 0 thì:

a b  c = -2ab; b2 c2  a2 = -2bc; c2 a2  b2 = -2ca Vậy P = 0

0,5 1

 9x2 = -3(x + y)2 + 28(x + y) =

2 2

3 ( )

     

2 7

x

 y{ 0; 8; 10}

Nghiệm nguyên ( x; y) của phương trình là: (0; 0); (1; 8); (-1; 10)

0,5

0,5

4

xy yz zx   ( vì x + y + z = 1)

3

2(xy yz zx  )x y z (x y z  ) = 4 Khi đó:

2.3 2.4 14

Đẳng thức không xảy ra, ta có điều phải chứng minh

0,5 0,5

0,5

Do HE // AB  SAHC = SBEC ( = SABC - SAHB = SABC - SABE )

( )

AHB CHA

S

HE HC HC AH  S  AC (1)

Do HE // AB  HE AB

CE AC ( Hệ quả định lý Ta - lét) (2)

Từ (1) và (2) 

3

 

 

Suy ra: BH = ¼ BC

d

Gọi M là trung điểm của BC 

2

Mà BM = AM  AM = Suy ra: HM = a/2