Ebook tuyển tập 200 bài thi vô địch toán

Trước mắt, chúng tôi giới thiệu tiếp cùng bạn đọc một số bài toán được trích nguyên hoặc biên soạn lại từ các để thị Vô địch Toán quốc gia và quốc tế thuộc phần các bài toán Phương trình

— _ NGUYÊN QUÝ DY - NGUYỄN SINH NGUYÊN ._ NGUYÊN VĂN NHO - VŨ VĂN THÓA - VŨ DƯƠNG THỤY

“A NHA XUAT BAN GIAO DỤC

92-2006/GXB/88-1844/GD Ma sé: 81204N6 - TTS

Loi noi dau

Cho đến nay, "Tuyển tập 200 bai thi Vé dich Toan” da được xuất bản thành 7 tập theo từng mảng kiến thức như SAU :

Tập 1 : 200 bài Số học, tập 2 : 200 bài Đại số, tập 3 : 200 bài Giải tích, tập 4: 200 bài Hình học phẳng, tập 5 : 200 bài Hình học không

gian, tập 6 : 200 bài Lượng giác và tập 7 : 200 bài toán Tổ hợp

Thật đáng mừng là các tập trước đây của bộ sách này

đã được đông đảo bạn đọc đón nhận và gởi về chúng tôi những ý kiến đóng góp quý báu, nhất là quý thầy cô giáo và

học sinh các trường THPT chuyên trong cả nước, Chúng tôi

xin chân thành cảm on!

Căn cứ vào nhu câu bạn đọc và tính hệ thống kiến

thức toán ở từng bộ môn, chúng tôi có nguyện vọng biên soạn thêm một số tập nữa Trước mắt, chúng tôi giới thiệu tiếp cùng bạn đọc một số bài toán được trích nguyên hoặc biên soạn lại từ các để thị Vô địch Toán quốc gia và quốc tế thuộc

phần các bài toán Phương trình hàm

Một phương trình hàm! thường được hiểu là một

phương trình theo các biến và các hàm chưa biết, chăng hạn

ta có các phương trình hàm đặc biệt sau đây :

fx + y) = fx) + fy) (Phương trình Cauchy) F(az) = aF(z)(1 - F(z)) (Phuong trinh Poincaré) f{(x + y)/2) = (œ) + f))/2 (Phương trình Jensen) g(x + y) + g(x - y) = 2g(x)g(y) (Phương trinh d'Alembert) f(h(x)) = cfÑx) (Phương trình Schröder)

fh(x)) = Ñx) + 1 (Phương trinh Abel)

Tuy nhiên, theo nghĩa tổng quát, những phương trình hàm đã xuất hiện khắp nơi trong chương trình Toán học phổ

thông, dưới dạng này hay dạng khác mà tương ứng với từng

đạng đó ta có những quy luật khảo sát đặc thù Theo nghĩa

' Functional equation

3

fix) + fi r—)= x+l——-

Trong mục này, chúng tôi nêu ra các bài toán cơ bản, sắp xép

chúng theo dạng và gợi ý đôi dòng sơ lược về phương pháp

giải thường được sử dụng

Bài 7

Tìm hàm số f: R -› R thoả mãn điều kiện : véi a, b, ¢

là các hăng số cho trước mà bỂ # 1, ta có

Dat A = t Suy ra x theo † Sau đó, thay vào A, B Với pavers - Bài 8

Tim ham sé fix) nếu biết rằng với mọi x z 0, ta có ¡ x Xx

2 Tu hai phuong trinh nay nhan duoc f(A) hoac g(A)

x x4] Jax 1 Sau đó, trở lại dạng trên (các bài từ 1 đến 8)

b) 2x — fix) € [0, 1] với mọi x e [0, 1J | Tim ‘ ; ON néu biét “we vm x € Rtaco

Tim tat ca cac ham sé f: R-> R thoa man

fixy fix) - fly) = (x - y)fÑx)fty), với moi x, y

e¢ Si dung tinh chat cia ham liên tục

Chú ý Hàm số f(x) liên tục tai x) <> lim f(x) = f(x¿) hay nếu

Tìm các ham sé f(x) xdc dinh va lién tuc trén R va

thoả mãn đồng thời hai điều kiện

11

Chứng mình rằng các mệnh để sau tương đương :

Gi) Vx € R, fix) = flax);

Bài 49

Cho hàm số f: R -› R.Chứng minh rằng các mệnh dé sau tương đương :

(i) Vx e R, f(x) = f(-x);

(ii) Vx € R, fix) = g(x) + g(-x),

voig: R-> Rla ham sé nao do ;

09x e R, fix) = gx);

Gil) vx @ R, fix + a) = fix):

Gvi vx € R, flix) = gil aD

trong doa #0 la số thực cho trước, gø : [0, 1 > R là hàm số

nào đó, Chứng mình rằng :

a) (1) tương đương với (1Ì) ;

b) ii) tương đương (Gv)

Chứng minh rằng, nếu để thị của hàm y =f(x) có

nhiêu hơn I tâm đối xứng thì ta tìm được hàm tuyến tính

l(x) và hàm tuân hoàn p(x) sao cho f(x) = l(x)+ p(x)

Chứng minh rằng nếu hàm số tuần hoàn f(x) thoả

mãn điều kiện kf(x)=f(kx), VxeR với k là hằng số # +l;0 nào đó, thì f không có chu kì dương nhỏ nhất

e - Sử dụng lí thuyết số

Khi gặp phương trình hàm với các hàm số trên N, Z, ta thường

SỬ dụng các kết quả của lí thuyết số như lí thuyết đồng dư, các định lí về số nguyên tó

Bài 71

Cho Q’ la tap hợp các số hữu tỉ dương Xác định hàm

sé f : Qt > Q’ sao cho fix.fly)) = {0) ,Vx,yc<Q

y Bài 72 -

Cho N = {1, 2, 3, } Hãy xác định xem có tôn tại hay không một ham sé dong bién thuc su (déng bién chat ché) f:N — N sao cho hai tính chất sau được thoả mãn :

19

Bai 83

a) Cho hai ham f va g nhan gia tri nguyen, xac dinh

trên tập các số nguyên Chứng minh rang h = fg khong phai

la toan anh

b) Giả sử f là toàn ánh, nhận giá trị nguyên, xác định

trên tập các số nguyên Chứng minh rằng tôn tại hai toàn:

anh g va h, nhận giá trị nguyên, xác định trên tập các số

nguyên, sao cho f = gh

Bai 84

(a) Có tôn tại hay không các hàm số f: R->R và g:

R->R sao cho ftg(x)) = x? và g(fx)) = x” với mọi x e R?

(b) Có tổn tại hay không các hàm số f' R->R và g:

R->R sao cho fg(x)) = x” và g(fx)) = x" với mọi x e R ?

Bài 85

Giả sử hàm f(x) xác định trong khoảng (a, bì Trong

trường hợp nào thì phương trình y.Ñx) = 0 có nghiệm liên tục

duy nhất y(x) với a <x<b?

Bài 86

Có tổn tại hay không một hàm f từ tập các số nguyên

không âm vào chính nó sao cho với mọi n ta có:

f(f(n)) =n + 1987?

Bài 87

Có tôn tại hay không một hàm f từ tập các số nguyên

dương vào chính nó sao cho với mọi n, ta có:

Gọi N, là tập hợp các số nguyên không am Chung to

rang tôn tại một song anh ftu N, vao N,,sao cho voi moi m,n

thuoc N, ta co: f(83mn +m +n) = 4flrn) fin) + fim) + find

Xét tất cả các hàm f từ tập các số nguyên dương vào chính nó, thoả mãn f( f()) = sf“() với mọi s và t

Hãy xác định giá trị nhỏ nhất có thé có của f(1998) (ở

đây, kí hiệu f“(x) có nghĩa là (f(x))” )

Bài 91

Cho f(x) la hàm liên tục trên R thoả điều kiện : tồn

tại x,,x, sao cho 0<x,<x, va f(x,)f(x;)<0 Chứng

23

fdl=1i+ 1, vớil= 1,2, ,10m-1,m+l1, m+n~];

fim) = Lva fim +n)=m41

a) Chung minh rang néu m va n le thi ton tại một

ham so g: A> Asao cho plglal) = fla) vGi moia « A

b) Chứng minh răng nêu mì chăn, thì m =n nếu và chí -

nêu tôn tại một hàm số g : A > A sao cho gtg(a)) = fla) với

— Tìm tất cả các hàm số f:Q -> Q sao cho f thoả mãn

điều kiện f(1) =2 va phương trình :

f(xy) =f(x)f(y)— f(x+ y)+l, x.yeQ

Cac ham sé f.g.h:N -» N thoả mãn ba điều kiện sau :

a) Hàm số h(n) không nhận gia tri nao tai nhieu hon một điểm neN

b) Tap hop giá trị hàm số gín) là N

Cho ham sé fix) lién tục trên đoạn [0, 1] thoa man

' điều kiện f0) = f1) Chứng mình phương trình :

hai =f[xi )

vô hạn tại bât kì điểm x e R

Bài 123

Cho R' là tập hợp các só thực không âm; a và b là 3 số thực dương Giá sử hàm số f: R' + R' thoa mản phương trinh ham fifix)) + af(x) = bla + b)x

Tính giới hạn khi x > +x cua:

Bài 124

Goi f:R +R la ham sé thoa man: moi x.yeR,

f&xÌ+ y))=(x+ y)Œ(x)Ÿ=f(x)f(y)+f(y)/ 2) WD)

Chứng minh.răng với mọi XER, f(1996x) = 1996f(x)

Bài 125

Cho số hữu ti a và các số thực b, c, d Xét hàm số

f£:R —>[-I.]]

thoa man điều kien : vdi moi x ER, ta có

f(x+a + b)= F(x +b) =clx +2a +[x]-2[x + al-|b] k4,

trong đó, kí hiệu [.| chỉ ham phần nguyên

Chứng minh rằng hàm f tuần hoàn, tức là, tồn tại một

số p > 0 sao cho f(x +p)= f(x) với mọi xeR

Bài 126

Cho f là một hàm số từ tập hợp các số thực R vào

chính nó sao cho với mọi x e R, ta có lfx)| <1 và

fix +42J+8xi=fx+L)+fa ety,

ở]

b) Tim tất cả các số tự nhiên a sao cho Pa”) chia hết

ie 1) cho 3+ ~

thức monic là đa thức có hệ sô as SÔ cớ đầu tiên (ứng uỏi

bậc cao nhát) bằng 1) sao cho P(P = Q(Q(x)) Chứng mình rang P=Q

Cho day cac ham số ( tt: (x) thoa man diéu kién

| - f, (x)

Bai 141

Cho M là tập hợp các hàm số f: Z -› R thoả mãn điều

kiện f(0) z Ö va dong nhất thức

fin)fim) = fin + m) + Ẩn - m), với n, m e 2

a) Tìm tất cả hàm 86 fin) « M sao cho f(1) = b) Tim tat ca ham s6 fin) « M sao cho f(1) = J3

Cho dây các hàm số {fa(x)},„„ thoả mãn dong thời

các điêu kiện sau đây:

P(x + y)+ FOX ~ y) = 2f(x)ety)

Ngoài ra, f không dong nhất bằng 0 và

bằng 0 và thoả mãn các điều kiện :

1) f(xy) = f(x) + fly), Vx,yeR®, 2) lim f(x) =0

39

Bài 172

Gọi R la tập tất cả các số thực, R' là tập các số thực dương Gọi a, Ø là hai phân tử cho trước trong R, không cần

phải khác nhau Tìm tất cả các hàm Ÿ: R* —R sao cho

Tìm tật cá các hàm số f(x) lién tuc tren R va thoa

mân: f(x)f(y) - Ÿ(x +y)= sinxsiny, Vx.yeR

Bài 177

Tim tat ca cac ham số liên tục f:(I:+zz}->R sao cho

nếu f thoả mãn một trong hai đồng nhất thức:

f(xy) = XÍ(y)+ yÍ(x), x,y>l;

f(xy+xty)= f(xy) +f(x)+ fly) x yeR thì sẽ thoả mản đồng nhất thức còn lại

Bài 178

Tìm tất cả hàm sé f:R >R kha vi vo han va thoa

Bài 179

Tìm tất cả những hàm f:(0, œ) —>(0,øœ) thoả mân

đồng thời hai điều kiện sau:

i) FOxf(y)) = yf(x), Vx.y €(0, %);

Kí hiệu R* là tập các số thực không âm, hãy xác định

tất cả các hàm f: R” -> R” thoả mãn các điều kiện sau:

a)2)=0;

AS

| | MOT SO BAI TOAN KHAC

Có thê tồn tại hay không một hàm số f(x): R ->R liên

tục và thoả mán điều kiện : với mọi số thực x, ta có f(x) hữu

tỉ khi và chỉ khi f(x +1) vô tỉ?

Bài 194

Gọi-X là tập các số thực không âm Cho f: X->X la

hàm bị chăn trên doan [0, 1] va thoa man bất đắng thức

với mọi y,z và 0< t<1.Chứng mình rang:

(a) t{g(n)- gin - DJS gin +t) ~ gin) s tein + 1) — gin)

sô nguyên dương Sao cho 2 <k<n Xác định số tât ca cac

hàm số f: X — X sao cho các điều kiện sau được thoả

qui = F,

ti Số phân tử của mien gia tri cua flak

tii) Với mỗi y thuộc mien gia tri cua f, số tất cả các điểm x thuộc X sao cho fix) = y la khong qua 2

Bai 197

Cho ham s6 f: N > N sao cho

G) f dong biến thực sự trên N ;

Gi) fUmn) = fÑm)fn),Vm,neN;

ti) Nếu m #n va mn = nm thi fim) =n hay f(n) = m Hãy xác định f(30)

Bài 198

- Cho số nguyên n > 3 và số nguyên tố p, với

p = 2n-3

Goi Q la tap gom n diém trong mat phang sao cho

không có bất cứ ba điểm nao thang hang

MOT SO BAI TOAN

PHƯƠNG TRÌNH HAM CO BAN

2 —

tx) of ty = RRR X x(x — ]) Lấy phương trình đã cho trừ phương trình này thì được

Trong phương trình này, thay

Rồi từ phương trình dé bai va phương trình này suy ra

5

Vậy, với mọi m e Ñ : Ẩm) = m + Ả

Bây giờ, ta lại có f0)=f—- 1= - 1.0 - Ñ-1)+1=- 1)= 0

a) Lấy y = 0 thì ta có Ñx)[Ñ0) - 1] = 0 với mọi x Vif

không đồng nhất 0 nên suy ra f(0) = 1 Lai lấy x và y đều

fixy +x + y) = f(xy) + f(x + y) = Ñxy) + Ñx) + Ấy), X, y € R

đo đó fx) thoả hệ thức thứ hai

Bây giờ cho Ñx) thoả mãn hệ thức thứ hai, đặt

ÿYy=Uu+v+Uv, thì được Ñx + u + v + xu + XV + UV + XUV) =

= fx) + fu + v + uv) + f(xu + xv + xuv)

©> Ñx +U +V+XU + XV + UY + XUV)=

= fx) + Ñu) + fv) + Ñuv) + Ñxu + xv + xuv) (1)

Hoán đổi vị trí của biến số x và u trong biểu thức (1), ta được

Ñx +Uu+V + xu † XV + UV + XUV) =

= f(x) + flu) + f(v) + Ñxv) + Ñxu + uv + xuv) (2)

Từ (1) và (2) ta được uv) + Ñxu + xv + xuv) = Ñxv) + fxu +uv+xuv) (3) Trong (3), lay x = 1 thì được

fluv) + flu + v + uv) = f(v) + flu + 2uv)

<> f(uv) + flu) + flv) + flav) = flv) + flu + 2uv) suy ra

f{u) + 2uv) = Ẩu + 2uv) (4) Trong (4), lấy u = 0 thì được '

Trong (4) lấy v = - 1, thì được

59

ta da gia su fil) # 0, nên 1 e G)

Néu x, y € G, thi xy e G Thật vay, do (a) ở trên, L/x

c G, nên nếu xy ¢ G, thì từ (4) ta được y = (xy) Ux) ¢ G, vo li

Néu x, y eG, thì xy e G Điều này được suy từ (a)

và (b) một cách dễ dàng

Tóm lại, G là một tập hợp chứa 1, không chứa 0, và

khép kín đối với phép nhân và chia Dễ dàng kiếm chứng

rằng mọi tập hợp như thế sẽ thoả mãn (a) ở trên (vì 1 e G) và

thoả mãn (4) : Nếu G khép kín dưới phép nhân và phép chia

vaxe G,y ¢€G, thé thì xy £ G, vì nếu ngược lại ta có

— (xy)/x ¢ G, vo li

Do do, tinh khép kín dưới phép nhân và phép chia đủ

để xác định tập G, và ta có thể có lời giải đây đủ của bài toán:

Hàm số cần tìm có dạng

Cx khi x eG

f(x) = 0 khix¢€G trong đó C là một: số thực cố định bất kì, và G là một tập hợp

con của R khép kín dưới phép nhân và phép chia Lưu ý rằng

€ =0 là nghiệm ` tâm thường " đã rút ra được từ trên

Tu gia thiết, ta co fix) z0,vxeR;

f0) = + 1 và = + 1

1=x?-x), V x e R, suy ra f(_x) = Ñx),V x e R

% Nếu |œ| > 1, ta cũng thu được

Bài 2A

Vì f0) = 1 va f(x) liên tục trên R nên 3e > 0 sao cho

f(x) > 0, Vx e(—e, ©) (1) Khi đó, theo (1), với nạ e N đử lớn thì (3) >0 2 0

4 LA ` ` Z 122 a » ` |

Mat khae, vi fix) JA mot ham so hen tuc nen lim fix i= fi 3 Ras oo

Nhung fix,,,)= fix) + ~ ) = fix.) vo} morn, Vay

fix, )=fixs ,

điêu đó có nghĩa là Ñx„) = f 3 ) với mọi x, € 10, = | 2

(I) x,> Ret đây :(2) xe, Xi Xu„ , định bởi

với mọi n nên ta có fx,„) = fl 5 ) Vi thé fix) la mot ham hang

trong khoảng [0, + z ), và vì nó là hàm chăn, nên nó củng la

hàm hãng với mọi x

Ngược lại, mợi hàm hăng thoả điêu kiện của bài toán

Bài 26

Trước hết, để ý rằng chỉ có một ham f thoa man điều

kiện đề bài That vậy, các giá trị của f được cố định tại 0, 1,

i I , 3 , , nghia la tai moi A, Vi f lién tuc, nén no phai

là hàm duy nhất trên cả [0, 1] Cùng thé, fix) = fly) chi véi

x = y vi néu fix) = fly) với x < y sẻ dan dén fiz) = flx) véi moi

z e [x, y], suy ra ftz) = fx) với mọi z e [0, 1]

Dat gix) = Sap = AMBx + C14 D,

Ta thay rang g(0)= 0, gi1)=1 va

g(x)= 0 với mọi x, suy ra f(x)=x với mọi x

Đảo lại, f(x)=x thoả mản yêu câu dau bai

Bài 30

Cho u < v là hai số thực bát kì, xét bộ các so (x;):

u=X;, < XQ a5 Xone = V

Cho x, > u va X,,, => v, vì f là hàm sô liên tục nên chuyên

qua gidi han ta co

f(v) 2 ; (f(u) + v)) = fv) = faa)

Nhưng, nếu cho x„.¡ — v và xạ,;—> v thì được

ftu)> 5 fa) + f(v)) > flu) 2 flv)

Nhu thé flu) = flv) = Ñx) là hàm hằng Do điều kiện c), ta có

Cho x= 1:x= -l, thi được

có thê tiếp tục đi đến fx) = a*,a>0 idé y fix) #0)

Từ phương trình hàm da cho, thay x =loy= 0 ta có

£()~f) -f(0)=+ £(0) =0

Thay x=y=l=f(0)=a->a=0 Như vậy :

U Nếu a#0: Không tôn tai ham thoa man dé bai

2) Nếu a=0: Khi đó phương trình hàm đã cho có dạng

f(x-y)=f(x)- f(y) WX, yeR

Theo bai 15, ta duce f(x) = blnx, Vxe R’*, vdi be R

như thế ta có g(x + y)= Ø(x) + gíy), Vx,y €

Từ đó, ta được g(x) = ax + b Vị gx) > U,V XE R, nên

a= 0 va gix)=b (b> 0), do do f(x) = 7b? o )

Bai 40

Đặt x=e",y=e`, và g(u)= fle")

Khi do g(u) lién tuc trén R Tu diéu kién da cho, suy

U(r(c)a tle’), dod

ra Vu, VER, ta có r(Vete”) = 5

cl : )_ feet) aus vegtu)s av)

Tu do suy ra g(u)=au+b, trong do a, b là các hằng só Như

vay fle") =au+b Với x=c”,ta có u=lnx, do đó

_ Trong trương hợp nay f(x) = 0

Nếu fix) > 0, Vx € R* thi dat

x=e" y=eỲ, fe") = gu)

Thế thì g(x) liên tục trên R và g(x) thoả mãn

sư = -/g(u)g(v) ; vu,v e R,

N

sl ØI

Trước hết, để ý, khi x y e(—l, 1), thi Tuy S(h 1) + XV

- Thay x=y=0, từ để bài ta có 2f(0)=f(0)=f(0)=

Đạo hàm hai về của hệ thức :

1 flx) = h(x - 1) + h{l - x) + tờ

nên o(x) là hàm số chẵn Cho nên :

Nếu o(x) không phải là hàm số chăn : vô nghiệm

Nếu ø(x) là hàm số chẵn, ta viết

] f(x) + f(—x) = (x) = 2969 + 2 @(—x)

Dat g(x) = flx + 3) - 27 thì g là hàm sô lẻ Do đó, theo bài

54, ta co : g(x) = h(x) - h(_—x), với g: R —› R là ham số nào đó Quy ra

Từ điều kiện đã cho suy ra

Thay x bởi x + a, x + 2a, , x + 5a lần lượt rồi lấy tổng

tất cả các phương trình này thì thu được

f(x + 1+ b) + fx) = Ñx + 1) + Ấx + b)

Bây giờ, thay x bởi x + b, x + 2b, , x + 6b lần lượt và lấy tổng thi dude f(x + 2) + f(x) = 2f(x + 1) hay

fix + 2) — f(x + 1) = f(x + 1) - fx)

Nếu ta đặt fix + 1) - fx) = c thi dé dàng quy nap theo n,

chứng minh được fx + n) - Ñx + n- 1) = c Từ đó suy ra

f(x + n) ~ f(x) = ne,

điều đó chứng tổ rằng nếu c # 0 thi f(x + n) khong giới nội,

trái với điều kiện |f)| < 1 với mọi x Vì thế e = 0 và

Giả sử O¡(a,,b,) và Oz(a;,b¿ ) là 2 tâm đối xứng của

đề thị hàm số y = f(x) Khi đó hoành độ và tung độ của điểm

đối xứng với điểm (x,f(x)) qua O;(i = 1,2) là

2a,—x va 2b; —f(x)

Vì các điểm đó cũng thuộc đề thị nên:

f(2a¡ —x)= 2b; -f(x) ,i=1,2 (1)

(1) xảy ra với Vx e miễn xác định D của y = f(x)

Gọi l(x) là đường thẳng đi qua O¡,O; thì O¡,O; là

tâm đối xứng cua dé thi y = I(x) Do do:

\(2a; —x)= 2b; -(x) ,i=1,2, VxeER (2)

Ta sẽ chứng minh hàm số p(x)=f(x)—I(x) la ham

tuần hoàn với chu kì T=2Ía; -a¡) Thật vậy, rõ ràng miễn

xác định của p(x) trùng với miên xác định của f(x) nên các

87

déu la nghiệm ct cua phương trình ham da cho

Một hàm số f: Q* > Q’ thoả (a) có thể được dựng bằng

cách xác định trên các số nguyên tố như sau :

fp p52 pai) = fl(py))™ fi(p.))??

trong đó p; la kí hiệu số nguyên tố thứ j và n, e Z Một hàm

số như thế sẽ thoả (b) nếu và chỉ nếu nó thoả (b) với mỗi số

f((p,))"* ,

nguyén tố

Ta có cách dựng như sau :

1 f( pj) = Pj nếu j lẻ, fpj)= — néu j chan

Bài 72

Dat a = 5 (v5 +1) Vic? - a + 1= 0 nên hàm số

g(x) = ax thoa véi moin e N: g(g(n)) — g(n) -

Gọi [x] là phần nguyên của x, có nghĩa [x] là sỐ

nguyên k sao cho k - 1 < x < k Ta sẽ chứng minh rằng hàm

3 Theo định nghĩa của f và g, |fín) - g(n)Ì < 1⁄2 đúng

với mọi n e N Bây giờ để ý là f(n)) - fín) - n là một số

—— Nếuaz#1: không tồn tại hàm số thoả điều kiện đề

bài Nếu a = 1 : điều kiện đề bài trở thành

Do x, # x, ma f(x) là hàm nghịch bién, nén f(x,)# f(x)

Từ đó theo (*) ta có

g(ø(x¡))# ø(ø(x;)) = s(x¡)# g2):

Vậy g(x) là đơn ánh Ta lại có kết quả :

(**) Nếu g(x) là đơn ánh uà hiên tục trên một khoang

nao đó thì trên khoảng này g(x) phải là hàm đồng biên hoặc

nghịch biến

Từ kết quả (**), suy ra : g(g(x)) là hàm đồng biến

trên R, vì a(x) là hàm đồng biến hoặc nghịch: biến

Bay gid, từ giả thiết g(g(x))=f(x), VxeR, suy ra

f(x) cũng là hàm đồng biến Điều này mâu thuẫn với giả

thiết f(x) là hàm nghịch biến

Vậy không tôn tại hàm liên tục g(x) nhu dé bai

Chú ý Có thể chứng minh (*) như sau : Giả sử g(x) la đơn ánh và liên tục trên khoảng (a, b) Cho x,, x, € (a, b)

mả a<x,<x;<b Do g() là đơn ánh nên g(X,)# g(X;)

Không mất tính tổng quát, cho #(x¡)<g(x;) Giá sử ngược

lại rằng g() không đồng biến trên (a,b) Khi đó, tổn tại

œ8 sao cho a<œ<<b mà g(œ)>g(B) Vì gœ) là đơn

Mau thuẫn này chứng tỏ điều phải chứng minh

Khi g(x,)>g(x;) lập luận hoàn toàn tương tự, ta

chứng minh được g(x) là hàm nghịch biến

Bài 82

Hàm số f thoả mãn đồng thời ba điều kiện đã nêu trên không tôn tại Thật vậy, giả sử ngược lại rằng tổn tại một hàm số f: R -> R thoả mãn các điều kiện như thế

Gọi c là cận trên của tap hop { f{x): x e Rì Ta có c>

—=

biến thành nhân đôi và nhân đôi (hay nhân với một hằng số

tuỳ ý) thành gấp đôi (hoặc gấp lên một hằng số ) [Vì ta có ý

định áp dụng biến đổi logarithm hai lần, nên giá trị của biến

số phải lớn hơn 1; đó là lí do mà ta phải xét trước hết các

hàm xác định trên (1, ) Trong bước cuối cùng của bài giải,

ta tiến hành mở rộng nó lên toàn bộ đường thẳng thực.]

Giả sử các hàm F, G: (1, ©) > (1, œ) thoả điều kiện

(1) Ta xác định một cặp hàm mới ọ, V : R > R bởi các công

thức :

o(x) = log[logF(2”` )]

va w(x) = [loglog G(27” )] với x « R,

từ đây về sau, logarithm đều lấy theo cơ số 2 Những hàm

này thoả các phương trình

((x)) = x + 1 và w(@Œ)) = X + 9 với xe R (2) Đảo lại, nếu ọ, : R > R là các ham bất kì thoả (2), thì ta có

hàm tuyến tính Xét (x) = ax + b va w(x) = cx + d, va thay

những biểu thức này vào các phương trình (2), ta sẽ tìm thấy

rằng các phương trình ấy thoả mãn nếu và chỉ nếu a = 5° c=

2 và 2b + d = 2 Chon, chang han b = 1 va d = 0, theo các công

thức của (3) ta thu được cặp

L+ 1 loglogx 32 ` 2 log log x

Việc còn lại là mổ rộng miền xác định của nó lên cá R

Điều này có thê được thực hiện như sau Ta định nghĩa:

Giả sử y¡ = y¡() là hàm liên tục trong khoảng (a, b),

y, #0 va né la nghiệm của phương trình (1) Khi đó ắt tổn tại điểm xị e (a,b) dé cho y1(x,) #0 Vi y; lién tuc trong (a,

b) nén tén tai khoang (a, 8) c (a, b), Xị € (a, B) va y,(x) #0 với mọi xe (œ, 8) Từ y¡ là nghiệm của phương trình (1) suy

ra

f(x)y¡(x)=0, Vxe(œ,B) Dang thức này tương đương với

f(x)=0, V xe (œ, B)

Từ đây suy ra rằng, nếu tập tất cả các nghiệm của

phương trình fx) = 0 không chứa bất kì một khoảng (œ,§)

101

ta sẽ có n>ur+uly_¡ =Ur¿I- Từ đó, thêm u, vào khai triển

của n— u, sẽ cho ta một khai triển theo dạng trên của n,

chứng minh hoàn tất theo quy nạp

Tiếp đến, ta cũng dùng quy nạp để chứng minh rằng

=U,42 —U, tu, -l=u,42 —I

Vậy công thức đúng với r + 1, suy ra nó đúng với mọi r

Tiếp đến, ta chứng minh rằng biểu điễn của n là duy

nhất Hiển nhiên điều này đúng với n = 1 Giả sử nó đúng với

mọi số nhỏ hơn n, nhưng biểu điễn cho n lại không duy nhất

Nếu r= s thì biểu diễn

Như thế ta sẽ có n = u,+ = Uy +

cho n—u, không duy nhất, trái giả thiết quy nạp Giả sử

r > s Nhưng số hạng u,,¡ —l trong biểu điễn thứ hai lúc đó

lai bé hon u, Vay biểu dién cho n phải duy nhất, mệnh để

được chứng mình theo quy nạp

Bay giờ, ta giả sử n =b,u, +b,_¡u,_¡ + + bog, dat

f(n)=b,b,_¡ bouo0

Hiển nhiên khi n = 1= uạ thì Ñn) = u¡ =2

Nếu n=U,,+ +U,, thi f(n) =U, 41 t +Ua +t va

f(f(n)) =Ug,42 t+ t ta, +2›

đo đó f(n)+n=(uạ, tua, „¿¡)+ + (0a, +uạ ,¡)=fŒ@))

Vay ton tại hàm f như trên thoả mãn dé bai

Như vậy, ánh xa g có nhân tính, theo nghĩa là g(xy) =

g(x).g(y) với mọi x, y e 3Ñ + 1 |

Ngược lại, cho trước song ánh có nhân tính ø bất kì từ

8Nọ + 1 lên 4No + 1, ta có thê dựng một hàm số f có tính chất

đời hỏi: đơn giản, chỉ cần xác định f bởi :

Dễ dàng kiểm chứng được f có tính chất đòi hỏi Vấn đề còn

lại là phải chỉ ra một song ánh như thế Gọi Pạ, Pạ là tập hợp các số nguyên tế lần lượt có dạng 3n + 1, 3n + 2, và gọi Qì, Q;

là tập hợp các số nguyên tố lần lượt có dạng 4n + 1, 4n + 3

Ta đã biết rằng mỗi tập hợp này có số phần tử vô hạn Gọi h

105