NỘI DUNG TOÁN LỚP 9

LÝ THUYẾT Chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba. Hằng đẳng thức aa = 2 . Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương. Bảng căn bậc hai. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bặc hai. Rút gọn biểu thức chưa căn bậc hai. Căn bậc ba. Chương 2: Hàm số bậc nhất: Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số. Hàm số bậc nhất. Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0). Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0). Chương 3: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng Đại số (Kì 2) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình. Chương 4: Hàm số y = ax 2 (a )0≠ . Phương trình bậc hai một ẩn. Hàm số y = ax 2 (a )0≠ Đồ thị hàm số y = ax 2 (a )0≠ Phương trình bậc hai một ẩn số. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Công thức nghiệm thu gọn. Hệ thức viet và ứng dụng. Phương trình quy về phương trình bậc hai. Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Biến đổi đồng nhất A. Kiến thức cần nhớ I. Tìm ĐKXĐ: Tìm các gía trị của biến thoả mãn đồng thời các ĐK: - Các biểu thức dới dấu căn bậc chẵn không âm. - Các biểu thức dới dấu mẫu khác 0. II. Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử: - Phơng pháp đặt nhân tử chung. - Phơng pháp dùng hằng đẳng thức. - Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử. - Phơng pháp tách, thêm bớt. (Chú ý các cách tách đa thức bậc hai, đa thức bậc cao) - Phơng pháp đặt biến phụ. - Phơng pháp xét gía trị riêng. 2) Chú ý: - Kết quả phân tích phải là tích các nhân tử. - Phân tích phải triệt để. III. Rút gọn biểu thức: (Tuỳ theo đặc điểm mỗi biểu thức mà thực hiện) - Sử dụng các phép biến đổi đa thừa số ra ngoài dấu căn, khử mẫu của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở mẫu, đa các căn thức về các căn thức đồng dạng (nếu có thể) rồi cộng trừ các căn thức đồng dạng. - Rút gọn các phân thức trớc khi tính. - Qui đồng mẫu, thực hiện các phép tính trong ngoặc trớc. - Rút gọn kết quả. - Sử dụng hằng đẳng thức = A IV. Tìm gía trị nguyên của biến để biểu thức có gía trị nguyên. - Tách phần nguyên. - Lập luận tìm gía trị nguyên của biến để phân thức kèm theo có gía trị nguyên. V. Chứng minh gía trị của biểu thức không phụ thuộc vào gía trị của biến: Rút gọn biểu thức, kết quả không chứa biến. VI. Chứng minh đẳng thức: B1: Biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản. B2: Biến đổi cả vế về cùng một biểu thức. B3: Biến đổi tơng đơng. VII. Căn bậc hai. 1. Định nghĩa căn bậc hai. Căn bậc hai của số a không âm là số x sao cho x 2 = a. 2. Số căn bậc hai của một số. - Số âm không có căn bậc hai. - Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0. - Số dơng a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dơng kí hiệu là và số âm kí hiệu là - . 3. Định nghĩa căn bậc hai số học. Với số dơng a, số đợc gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai số học của 0. 4. Chú ý. Với a 0, ta có: + Nếu x = thì x 0 và x 2 = a. + Nếu x 0 và x 2 = a thì x = . 5. Định nghĩa phép khai phơng: Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là phép khai phơng (gọi tắt là khai phơng). 6. So sánh các căn bậc hai số học. Định lí: Với hai số a và b không âm, ta có a < b < . 7. Định nghĩa căn thức bậc hai. Với A là một biểu thức đại số, ngời ta gọi là căn thức bậc hai của A, còn A đợc gọi là biểu thức lấy can hay biểu thức dới dấu căn. 8. Điều kiện để có nghĩa (hay xác định): có nghĩa (hay xác định) khi A lấy gía trị không âm. 9. Hằng đẳng thức 2 A = A . a. Định lí: Với mọi số a, ta có = a b. Chú ý: với A là một biểu thức ta có 2 A = A , có nghĩa là: 2 A = A nếu A 0 2 A = - A nếu A < 0. 10. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng. a. Định lí: Với hai số a và b không âm, ta có = . . * Chú ý: + Định lí trên có thể mở rộng cho tích của nhiều số không âm. + Với hai biểu thức A và B không âm ta có = . Đặc biệt, với biểu thức A không âm ta có () 2 = 2 A = A. b. Qui tắc khai ph ơng một tích. Muốn khai phơng một tích của các số không âm, ta có thể khai phơng từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau. c. Qui tắc nhân các căn bậc hai. Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dới dấu căn với nhau rồi khai phơng kết quả đó. 11. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng. a. Định lí: Với số a không âm và số b dơng, ta có: a b = a b b. Qui tắc khai ph ơng một th ơng. Muốn khai phơng một thơng , trong đó số a khong âm và số b dơng, ta có thể khai phơng lần lợt số a và số b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai. c. Qui tắc chia hai căn thức bậc hai. Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho căn bậc hai của số b dơng, ta có thể chia số a cho số b rồi khai phơng kết quả đó. d. Chú ý: Với biểu thức A không âm và biểu thức B dơng, ta có A B = A B 12. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai. a. Đ a thừa số ra ngoài dấu căn . Với a 0; b 0 ta có : = a * Tổng quát: Với hai biểu thức A, B mà B 0, ta có = A Nếu A 0 và B 0 thì = A . Nếu A < 0; B 0 thì = - A b. Đ a thừa số ra ngoài dấu căn. Nếu A 0 và B 0 thì A = . Nếu A < 0; B 0 thì - A = c. Khử mẫu của biểu thức lấy căn. Với các biểu thức A, B mà A.B 0 và B 0 thì A B = AB B d. Trục căn thức ở mẫu. + Với các biểu thức A, B mà B > 0 ta có A A B = B B + Với các biểu thức A, B, C mà A 0 và A B 2 , ta có 2 )( BA BAC BA C = +Với các biểu thức A, B, C mà A 0 và A B, ta có: BA BAC BA C = )( 13. Căn bậc ba. a. Định nghĩa. Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x 3 = a. b. Chú ý: + Mỗi số a đều có duy nhất một căn bậc ba. + ( ) 3 3 3 3 a = a = a c. Nhận xét. - Căn bậc ba của số dơng là số dơng. - Căn bậc ba của số âm là số âm. - Căn bậc ba của số 0 là chính số 0. d. Tính chất.: 3 3 3 3 3 3 3 3 a < b a < b ab = a b a a = (b 0) b b Phơng trình A. Kiến thức cần nhớ I. Ph ơng trình một ẩn. 1. Định nghĩa: Khi nói A(x) = B(x) là một phơng trình thì ta hiểu rằng cần tìm gía trị của x để gía trị của hai biểu thức A(x) và B(x) bằng nhau. x là ẩn, gía trị tìm đợc của x là nghiệm của phơng trình, mỗi biểu thức A(x); B(x) là một vế của phơng trình. 2. Tập nghiệm của phơng trình: Là tập tất cả các nghiệm của phơng trình. 3. Giải phơng trình: Là tìm tập hợp nghiệm của phơng trình đó. 4. Số nghiệm của phơng trình: Một phơng trình có thể có một, nhiều hay vô số nghiệm, phơng trình cũng có thể không có nghiệm nào (phơng trình vô nghiệm). II. Ph ơng trình ax + b = 0 1. Phơng trình bậc nhất một ẩn số. a. Định nghĩa: Phơng trình bậc nhất một ẩn số là phơng trình có dạng ax + b = 0. Trong đó x là ẩn, a và b là các số đã biết, a khác 0. b. Số nghiệm của ph ơng trình bậc nhất một ẩn số : Một phơng trình bậc nhất một ẩn số bậc nhất một ẩn số luôn có một nghiệm duy nhất x = - 2. Cách giải phơng trình ax + b = 0. + Nếu a = 0; b = 0 thì phơng trình nghiệm dúng với mọi x + Nếu a = 0; b 0 thì phơng trình vô nghiệm. + Nếu a 0 thì phơng trình có một nghiệm duy nhất x = - III. Ph ơng trình bậc nhất hai ẩn. 1. Định nghĩa: Phơng trình bậc nhất hai ẩn là phơng trình có dạng ax + by = c trong đó x và y là ẩn, a và b là các số đã cho, a và b không đồng thời bằng 0. 2. Nghiệm của phơng trình bậc nhất hai ẩn: - Nghiệm của phơng trình bậc nhất hai ẩn là cặp gía trị (x; y) thoả mãn phơng trình. - Phơng trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiêm, khi biểu diễn tập nghiệm của phơng trình bậc nhất một ẩn trên mặt phẳng toạ độ ta đợc một đờng thẳng gọi là đờng thẳng ax + by = c. + Nếu a = 0; b 0 thì đờng thẳng ax + by = c song song với trục hoành. + Nếu a 0; b = 0 thì đờng thẳng ax + by = c song song với trục tung. + Nếu a 0; b 0 thì đờng thẳng ax + by = c cắt hai trục toạ độ. IV. Ph ơng trình bậc hai một ẩn. 1. Định nghĩa: Phơng trình bậc hai một ẩn là phơng trình có dạng ax 2 + bx + c = 0 trong đó a; b; c là các số đã cho, a 0. 2. Cách giải phơng trình bậc hai một ẩn. - Đối với phơng trình bậc hai khuyết b hoặc c ta thờng đa về phơng trình tích hoặc sử dụng tính chất của BĐT, so sánh gía trị hai vế. - Đối với phơng trình bậc hai đầy đủ: . Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm là 1; . . Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm là 1; - . . Nhẩm theo hệ thức Vi ét: Nếu phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x 1 ; x 2 thì : x 1 + x 2 = - ; x 1 . x 2 = . Nếu b = 2b' thì sử dụng công thức nghiệm thu gọn: ' = b' 2 - ac Nếu ' < 0 thì phơng trình vô nghiệm. Nếu ' = 0 thì phơng trình có 1 nghiệm kép x = - b' a . Nếu ' > 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt : x 1; 2 = a b ' . . Trong trờng hợp tổng quát thì sử dụng công thức nghiệm tổng quát : = b 2 - 4ac Nếu < 0 thì phơng trình vô nghiệm. Nếu = 0 thì phơng trình có 1 nghiệm kép x = - . Nếu > 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt : x 1; 2 = 2 4 2 b b ac a . Cũng có thể đa về phơng trình tích. V. Cách giải ph ơng trình chứa ẩn ở mẫu. Cách 1: + Tìm ĐKXĐ. + Qui đồng mẫu rồi khử mẫu. + Giải phơng trình tìm đợc. + Trong các gía trị tìm đợc của ẩn, gía trị nào thoả mãn ĐKXĐ là nghiệm của phơng trình, gía trị nào không thoả mãn ĐKXĐ thì loại rồi kết luận. Cách 2: Đặt ẩn phụ đa về phơng trình bậc hai (nếu có thể) VI. Cách giải ph ơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối. Cách 1: Xét khoảng để bỏ dấu gía trị tuyệt đối (lu ý đối chiếu gía trị tìm đợc của ẩn với khoảng đang xét). Cách 2: Đa về phơng trình tích. Cách 3: Bình phơng hai vế (Lu ý: Phép biến đổi này chỉ tơng đơng khi và chỉ khi cả hai vế cùng dấu) Cách 4: Đặt ẩn phụ. Cách 5: Biến đổi tơng đơng : = = == ba b ba baba 0 Cách 6: Sử dụng tính chất BĐT: 0 a a . Dấu "=" xảy ra a = 0. a a với mọi a. Dấu "=" xảy ra a 0. a - a với mọi a. Dấu "=" xảy ra a 0. +a + b a b . Dấu "=" xảy ra ab 0. VII. Cách giải ph ơng trình bậc cao. Cách 1: Đa về phơng trình tích. Cách 2: Đặt ẩn phụ. Cách 3: Sử dụng tính chất của BĐT, so sánh gía trị hai vế. VIII. Giải ph ơng trình vô tỉ. Cách 1: Bình phơng hai vế (Lu ý: Phép biến đổi này chỉ tơng đơng khi và chỉ khi cả hai vế cùng dấu) Cách 2: Đa về phơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối. Cách 3: Biến đổi tơng đơng = 2 a b 0 b a = b a = b a = b 0 Cách 4: Đặt ẩn phụ. Cách 5: Sử dụng tính chất BĐT. IX. Ph ơng trình nghiệm nguyên. Cách 1: Biến đổi về phơng trình có 1 vế là tích các nhân tử chứa ẩn có gía trị nguyên, 1 vế là 1 hằng số. Cách 2: Rút ẩn. Cách 3: Biến đổi về phơng trình có 1 vế là tổng các bình phơng, các lập phơng của các hạng tử chứa ẩn có gía trị nguyên, 1 vế là 1 hằng số. Cách 4: Xem phơng trình là phơng trình bậc hai một ẩn. Cách 5: Sử dụng tính chất BĐT: Cách 6: Sử dụng tính chất chia hết. Cách 7: Phơng pháp xuống thang. Cách 8: Sử dụng liên phân số. X. Giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình + Lập phơng trình. - Chọn ẩn, xác định đơn vị và điều kiện cho ẩn. (Có thể chọn bất kì 1 số liệu cha biết nào làm ẩn cũng đợc, chú ý chọn thích hợp để phơng trình lập đợc đơn giản, th- ờng ta dựa vào điều đòi hỏi của bài toán để chọn ẩn). - Biểu diễn các số liệu cha biết qua ẩn. (Chú ý về quan hệ giữa các đại lợng trong bài toán). - Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lợng để lập phơng trình. + Giải phơng trình. + Chọn kết quả thích hợp và trả lời. XI. Dạng toán về số nghiệm của ph ơng trình ax 2 + bx + c = 0. - Xét trờng hợp a = 0. - Trờng hợp a 0 . Nếu ac < 0 thì phơng trình có hai nghiệm. . Phơng trình vô nghiệm khi và chỉ khi ' < 0 hoặc < 0. . Phơng trình có nhiệm kép khi và chỉ khi ' = 0 hoặc = 0. . Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ' > 0 hoặc > 0. XII. Dạng toán về dấu các nghiệm của ph ơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0. - Phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi ' < 0 hoặc < 0. - Phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0. - Phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi ' > 0 hoặc > 0 và P > 0. Khi đó 2 nghiệm cùng dơng khi và chỉ khi S > 0; 2 nghiệm cùng âm khi và chỉ khi S < 0. - Phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có 1 nghiệm kép dơng khi và chỉ khi ' = 0 hoặc = 0 và - > 0, có 1 nghiệm kép âm khi và chỉ khi ' = 0 hoặc = 0 và - < 0. XIII.Tính gía trị của biểu thức chứa x 1 ; x 2 là 2 nghiệm của ph ơng trình bậc hai. Cách 1: + Chỉ ra điều kiện để phơng trình có nghiệm. + Biểu diễn biểu thức chứa x 1 ; x 2 qua x 1 + x 2 ; x 1 x 2 rồi sử dụng hệ thức Vi ét. Cách 2: Giải phơng trình, tìm x 1 ; x 2 rồi tính. XIV.Chứng minh biểu thức chứa x 1 ; x 2 là 2 nghiệm của ph ơng trình bậc hai thoả mãn một điều kiện cho tr ớc. + Chỉ ra điều kiện để phơng trình có nghiệm. + Biểu diễn biểu thức chứa x 1 ; x 2 qua x 1 + x 2 ; x 1 x 2 rồi sử dụng hệ thức Vi ét, tính gía trị của biểu thức theo tham số. + Chứng minh biểu thức chứa x 1 ; x 2 là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai thoả mãn điều kiện cho trớc. XV.Tìm gía trị của tham số để biểu thức chứa x 1 ; x 2 là 2 nghiệm của ph ơng trình bậc hai thoả mãn một điều kiện cho tr ớc. + Chỉ ra điều kiện để phơng trình có nghiệm. + Sử dụng hệ thức Viét và điều kiện cho trớc để tìm gía trị của tham số. XVI. Tìm hệ thức liên hệ giữa x 1 ; x 2 không phụ thuộc vào tham số. + Chỉ ra điều kiện để phơng trình có nghiệm. + Sử dụng hệ thức Viét biểu diễn x 1 + x 2 ; x 1 x 2 qua tham số. + Khử tham số bằng phơng pháp cộng hoặc phơng pháp thế. XVII. Lập ph ơng trình bậc hai. - Phơng trình bậc hai có hai nghiệm x 1 ; x 2 là (x - x 1 )(x - x 2 ). Sau đó, đa về dạng chính tắc. - Nếu x 1 + x 2 = S; x 1 x 2 = P thì x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phơng trình bậc hai x 2 - Sx + P = 0 Hệ phơng trình A. kiến thức cần nhớ I. Hệ ph ơng trình bậc nhất hai ẩn. 1. Khái niệm hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn. Cho hai phơng trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn (I) ax+by = c a'x +b'y = c' . 2. Định nghĩa nghiệm của hệ phơng trình. Nếu hai phơng trình ấy có nghiệm chung (x 0 ; y 0 ) thì (x 0 ; y 0 ) đợc gọi là một nghiệm của hệ phơng trình (I). Nếu hai phơng trình không có nghiệm chung thì ta nói hệ phơng trình (I) vô nghiệm. 3. Định nghĩa về giải hệ phơng trình: Giải hệ phơng trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiệm) của nó. 4. Minh hoạ tập nghiệm của hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn. Trên mặt phẳng toạ độ, nếu gọi (d) là đờng thẳng ax + by = c và (d') là đờng thẳng a'x + b'y = c' thì điểm chung (nếu có) của hai đờng thẳng ấy có toạ độ là nghiệm chung của hai phơng trình của (I). Vậy, tập nghiệm của hệ phơng trình (I) đợc biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của (d) và (d'). 5. Số nghiệm của hệ phơng trình (I). - Nếu (d) cắt (d') thì hệ phơng trình (I) có một nghiệm duy nhất. - Nếu (d) // (d') thì hệ phơng trình (I) vô nghiệm. - Nếu (d) (d') thì hệ phơng trình (I) có vô số nghiệm. Chú ý: Có thể đoán nhận số nghiệm của hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn (I) bằng cách xét vị trí tơng đối của (d) và (d'). 6. Định nghĩa hệ phơng trình tơng đơng. Hai hệ phơng trình gọi là tơng đơng với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm. 7. Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế. a. Qui tắc thế (dùng để biến đổi một hệ phơng trình thành một hệ phơng trình tơng đơng). - B ớc 1 : Từ một phơng trình của hệ phơng trình đã cho (coi là phơng trình thứ nhất) ta biểu diễn một ẩn theo ẩn số kia rồi thế vào phơng trình thứ hai để đợc một phơng trình mới (chỉ còn một ẩn). - B ớc 2 : Dùng phơng trình ấy để thay thế cho phơng trình thứ hai trong hệ phơng trình (phơng trình thứ nhất cũng đợc thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có đợc ở bớc 1). Chú ý: Nếu trong qui tắc giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế, ta thấy xuất hiện phơng trình có các HS của cả hai ẩn đều bằng 0 thì hệ phơng trình đã cho có thể vô nghiệm hoặc vô số nghiệm. b. Tóm tắt cách giải hệ ph ơng trình bằng ph ơng pháp thế. 1) Dùng qui tắc thế biến đổi hệ phơng trình đã cho để đợc một hệ phơng trình mới, trong đó có một phơng trình một ẩn. 2) Giải phơng trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ phơng trình đã cho. 8. Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số. a. Qui tắc cộng đại số: (dùng để biến đổi một hệ phơng trình thành một hệ phơng trình tơng đơng). - Bớc 1: Cộng hay trừ từng vế hai phơng trình của hệ phơng trình đã cho để đợc một phơng trình mới. - Bớc 2: Dùng phơng trình mới ấy để thay thế cho một trong hai phơng trình của hệ phơng trình (giữ nguyên phơng trình kia). b.Tóm tắt cách giải hệ ph ơng trình bằng ph ơng pháp cộng đại số. 1) Nhân hai vế của mỗi phơng trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phơng trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau. 2) áp dụng qui tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới, trong đó có một phơng trình một ẩn. 3) Giải phơng trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ phơng trình đã cho. 9. Giải bài toán bằng cách lập hệ ph ơng trình. + Lập hệ phơng trình. - Chọn ẩn, xác định đơn vị và điều kiện cho ẩn. (Có thể chọn bất kì 1 số liệu cha biết nào làm ẩn cũng đợc, chú ý chọn thích hợp để phơng trình lập đợc đơn giản, th- ờng ta dựa vào điều đòi hỏi của bài toán để chọn ẩn). - Biểu diễn các số liệu cha biết qua ẩn. (Chú ý về quan hệ giữa các đại lợng trong bài toán). - Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lợng để hệ lập phơng trình. + Giải phơng trình. + Chọn kết quả thích hợp và trả lời. II. Giải hệ ph ơng trình gồm một ph ơng trình bậc nhất và một ph ơng trình bậc hai hai ẩn.: Dùng phơng pháp thế. III. Giải hệ ph ơng trình gồm hai ph ơng trình bậc hai hai ẩn. Cách 1: Đặt x + y = S; xy = P (nếu là hệ phơng trình đối xứng kiểu 1) Cách 2: Tìm cách khử hạng tử bậc hai, sau đó dùng phơng pháp thế. Cách 3: Đa về tuyển các hệ phơng trình đơn giản hơn. Cách 4: Sử dụng tính chất bất đẳng thức. Cách 5: Sử dụng phơng trình bậc hai (coi một phơng trình nh phơng trình bậc hai một ẩn). Hàm số- Đồ thị hàm số A. Kiến thức cần nhớ: I. Hàm số. 1. Định nghĩa: Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi gía trị của đại lợng x, ta luôn xác định đợc chỉ một gía trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của đại lợng x, và x đợc gọi là biến số. 2. Các cách cho hàm số: Hàm số có thể đợc cho bằng bảng, công thức, sơ đồ, đồ thị 3. Chú ý: - Khi hàm số đợc cho bằng công thức y = f(x), ta hiểu rằng biến số x chỉ lấy những gía trị mà tại đó f(x) xác định. - Khi y là hàm số của x, ta có thể viết y = f(x), y = g(x). - Khi x thay đổi mà y luôn nhận một gía trị không đổi thì hàm số y đợc gọi là hàm hằng. II. Đồ thị của hàm số.: Tập hợp tât cả các điểm biểu diễn các cặp gía trị tơng ứng (x; y = f(x)) trên mặt phẳng toạ độ đợc gọi là đồ thị của hàm số y = f(x). III. Hàm số đồng biến, nghịch biến. Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi gía trị của x thuợc R. - Nếu gía trị của biến x tăng lên mà gía trị tơng ứng f(x) cũng tăng lên thì hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm số đồng biến trên R (gọi tắt là hàm số đồng biến) - Nếu gía trị của biến x tăng lên mà gía trị tơng ứng f(x) lại giảm đi thì hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm số nghịch biến trên R (gọi tắt là hàm số nghịch biến) Nói cách khác, với x 1 ; x 2 bất kì thuộc R: - Nếu x 1 < x 2 mà f(x 1 ) < f(x 2 ) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R. - Nếu x 1 < x 2 mà f(x 1 ) > f(x 2 ) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R. IV. Hàm số bậc nhất. 1. Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b trong đó a; b là các số cho trớc và a 0. 2. Tính chất: Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi gía trị của x thuộc R và có tính chất sau: - Đồng biến trên R khi a > 0. - Nghịch biến trên R khi a < 0. 3. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) (đờng thẳng y = ax + b, b là tung độ gốc của đờng thẳng) + Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) là một đờng thẳng: - Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b. - Song song với đờng thẳng y = ax nếu b 0, trùng với đờng thẳng y = ax nếu b = 0. + Cách vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) - Khi b = 0 thì y = ax. Đồ thị của hàm số y = ax (a 0) là một đờng thẳng đi qua gốc toạ độ O(0; 0) và điểm A(1; a). - Khi b 0, để vẽ đồ thị hàm số y = ax + b , ta chỉ cần xác định đợc hai điểm phân biệt nào đó thuộc đồ thị rồi vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm đó. Trong thực hành, ta thờng xác định hai điểm đặc biệt là giao điểm của đồ thị với hai trục toạ độ. 4. Đờng thẳng song song, đờng thẳng cắt nhau. Hai đờng thẳng y = ax + b (a 0) và y = a'x + b' (a' 0) song với nhau khi và chỉ khi a = a'; b b' và trùng nhau khi và chỉ khi a = a'; b = b', cắt nhau khi và chỉ khi a a'. Chú ý: Khi a a' và b = b' thì hai đờng thẳng có cùng tung độ gốc, do đó chúng cắt nhau tại một điểm trên trục tung có tung đọ là b. 5. Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b (a 0). a. Định nghĩa: - Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, khi nói góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox (hoặc nói đờng thẳng y = ax + b tạo với Ox một góc ), ta hiểu đó là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm của đờng thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b có tung độ dơng. - Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b là a. V. Hàm số y = ax 2 (a 0) 1. Tính chất của hàm số y = ax 2 (a 0) - Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0. - Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0. 2. Nhận xét: - Nếu a > 0; thì y > 0 với mọi x 0; y = 0 khi x = 0. Gía trị nhỏ nhất của hàm số là y = 0. - Nếu a < 0; thì y < 0 với mọi x 0; y = 0 khi x = 0. Gía trị lớn nhất của hàm số là y = 0. 3. Đồ thị của hàm số y = ax 2 (a 0). Đồ thị của hàm số y = ax 2 (a 0) là một đờng cong đi qua gốc toạ độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đờng cong đó đợc gọi là một pa ra bol với đỉnh O. Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị. Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị. * Chú ý: - Vì đồ thị hàm số y = ax 2 (a 0) luôn đi qua gốc toạ độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng nên khi vẽ đồ thị của hàm số này, ta chỉ cần tìm một số điểm ở bên phải trục Oy rồi lấy các điểm đối xứng với chúng qua Oy. - Đồ thị minh hoạ một cách trực quan tính chất của hàm số. VI. Cách giải dạng toán: Kiểm tra điểm A(x A ; y A ) có thuộc đồ thị hàm số y = f(x) hay tìm điều kiện để đồ thị hàm số y = f(x) đi qua điểm A(x A ; y A ): Sử dụng kíên thức điểm A(x A ; y A ) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) khi và chỉ khi y A = f(x A ). VII. Cách giải dạng toán: Tìm giao điểm của hai đồ thị của hai hàm số: Giải hệ phơng trình gồm hai phơng trình của hai hàm số. VIII. Cách giải dạng toán: Chứng minh hay tìm điều kiện để hai đồ thị của hai hàm số có 0; 1; 2 giao điểm: Chứng minh hay tìm điều kiện để hệ phơng trình gồm hai phơng trình của hai hàm số có 0; 1; 2 nghiệm hay phơng trình hoành độ giao điểm có 0; 1; 2 nghiệm. IX. Cách giải dạng toán: Chứng minh hay tìm điều kiện để hai đồ thị của hai hàm số tiếp xúc nhau. Chứng minh hay tìm điều kiện để hệ phơng trình gồm hai phơng trình của hai hàm số có nghiệm kép hay ph- ơng trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép. X. Cách giải dạng toán: Chứng minh với mọi gía trị của tham số thì các đ ờng thẳng có ph ơng trình cho tr ớc luôn đi qua một điểm cố định. [...]... điều kiện để phơng trình nghiệm đúng với mọi gía trị của tham số (Hệ số của tham số và hạng tử kia đồng thời bằng 0) X Cách giải dạng toán: Viết phơng trình đờng thẳng hay phơng trình parabol - Viết dạng tổng quát của phơng trình - Tìm các tham số dựa theo điều kiện của bài toán - kết luận ****************** bất đẳng thức- bất phơng trình A Kiến thức cần nhớ I Bất đẳng thức 1 Định nghĩa bất đẳng thức:... của bất đẳng thức, so sánh gía trị hai vế Cách 4: Đặt ẩn phụ Hai ngi i b xut phỏt ng thi, i hng v nhau t H Ni v Xuõn Mai cỏch nhau 28km Nu ngi xut phỏt t H Ni khụng dng li 1h ti H ụng cỏch ni xut phỏt 9km thỡ hai ngi ú gp nhau chớnh gia ca H Ni v Xuõn Mai Sau khi dng li ngi xut phỏt t H Ni tng tc thờm 1km/h v h ó gp nhau ti 1 im cỏch H ụng 4km Tỡm vn tc ca mi ngi . Ni khụng dng li 1h ti H ụng cỏch ni xut phỏt 9km thỡ hai ngi đó gặp nhau chính giữa của Hà Nội và Xuân Mai. Sau khi dừng lại người xuất phát từ Hà Nội tăng tốc thêm 1km/h và họ đã gặp nhau. trình một ẩn. 3) Giải phơng trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ phơng trình đã cho. 9. Giải bài toán bằng cách lập hệ ph ơng trình. + Lập hệ phơng trình. - Chọn ẩn, xác định đơn vị và. giản, th- ờng ta dựa vào điều đòi hỏi của bài toán để chọn ẩn). - Biểu diễn các số liệu cha biết qua ẩn. (Chú ý về quan hệ giữa các đại lợng trong bài toán) . - Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lợng