b Gọi x1 , x2 là cỏc nghiệm của phương trỡnh.. Gọi P và Q lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của M trờn hai cạnh AB và AC.. b Chứng minh rằng tam giỏc OHQ đều.. Từ đú hóy suy ra OH vuụng g
Trang 1sở giáo dục và đào tạo Kì THI TUYểN SINH vào lớp 10 THPT Lạng sơn NăM học 2010 - 2011
đề chính thức MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 120 phỳt, khụng kể thời gian giao đề
Cõu 1 ( 3,0 điểm ).
a) Giải phương trỡnh: x2 - 2x - 1 = 0
b) Giải hệ phương trỡnh: 52x x y−+ =2y=58
c) Tớnh giỏ trị của biểu thức: A = - 2+ ( 2 1)− 2
Cõu 2 ( 1,5 điểm ) Cho biểu thức P = 1 1 1
− + Với x ≥ 0, x ≠ 1 a) Rỳt gọn P
b) Tỡm tất cả cỏc số nguyờn x để P là một số nguyờn
Cõu 3 ( 1,5 điểm ).
Cho phương trỡnh bậc hai: x2 - 2(m +2)x + 2m + 3 = 0 ( m là tham số)
a) Chứng minh rằng phương trỡnh luụn cú nghiệm với mọi m
b) Gọi x1 , x2 là cỏc nghiệm của phương trỡnh Chứng minh rằng:
x1(2 - x2) + x2(2 - x1) = 2
Cõu 4 ( 3 điểm ) Cho tam giỏc đều ABC cú đường cao AH (H thuộc BC) Trờn cạnh
BC lấy điểm M ( M khụng trựng với B , C, H) Gọi P và Q lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của M trờn hai cạnh AB và AC
a) Chứng minh rằng 5 điểm A, P, H, M, Q cựng nằm trờn một đường trũn tõm O b) Chứng minh rằng tam giỏc OHQ đều Từ đú hóy suy ra OH vuụng gúc với PQ c) Chứng minh rằng MP + MQ = AH
Cõu 5 (1 điểm) Cho hai số thực dương x, y thỏa món 4xy = 1.
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
2x 2y 12xy
x y
+
Chỳ ý: Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm.
Họ tờn thớ sinh……… SBD ………
Trang 2ĐÁP ÁN Câu 1 ( 3,0 điểm ).
a) x2 - 2x - 1 = 0
Δ’ = 12- (-1) =2 > 0
’
∆ = 2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 1 + 2
x2 = 1 - 2
b) 52x x y−+ =2y=58⇔45x x+−22y y==108 ⇔5x9−x2=y18=8⇔x y==21
c) A = - 2+ ( 2 1)− 2 = − 2 + 2 1 − = − 2 + 2 1 − = − 1
Câu 2 ( 1,5 điểm ) P = 1 1 1
− + Với x ≥ 0, x ≠ 1
P
b) Ta có 3
1
x x
+ + =
( 1) 2 2
1
x
+ + = +
Để P nguyên thì 2
1
x+ nguyên, tức là x + 1 ∈ Ư (2)
Ư (2) = {-1; -2; 1; 2}
Hay
+ = − = − ∉
Vậy với x = 0 thì P là một số nguyên
Câu 3 ( 1,5 điểm ).
Cho phương trình bậc hai: x2 - 2(m +2)x + 2m + 3 =0 ( m là tham số)
a) Ta có Δ’ = (m + 2)2 - (2m + 3)
= m2 + 4m + 4 - 2m - 3
= m2 + 2m +1 = (m + 1)2 ≥ 0 với mọi m
Trang 3Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.
b) Theo Vi et: x1 + x2 = 2(m + 2)
x1.x2 = 2m +3
Ta có x1(2 - x2) + x2(2 - x1)
2 x1 - x1.x2 + 2 x2 - x1.x2 = 2(x1 + x2) - 2 x1.x2 = 2(x1 + x2) - 2 x1.x2
= 2 2(m + 2) - 2 (2m +3)
= 4m + 8 - 4m - 6
= 2 ĐPCM
Câu 4 ( 3 điểm )
a) A, P, M, H, Q cùng thuộc đường tròn đường kínhAM, tâm O; trung điểm AM b) Xét (O) có PAH· =HAQ· = 30 0
suy ra PHO HOQ· =· = 60 0( góc ở tâm)
PH = HQ = OP = OQ
Tứ giác PHOQ là hình thoi
c) PQ min PI min
Mà PI = PO 3 3
AM
= min AM min M trùng H
Lúc đó PQ = 3
4
4.2 8
Câu 5 (1 điểm) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 4xy = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2x2 2y2 12xy
x y
+
Ta có A =
2
2x 2y 3.4xy 2x 2y 3 x y xy 2.(x y) 4xy 3
2
2.(x y) 1 3 2.(x y) 1 3 2.(x y) 2 x y 2(x y) 2
+ +
2 2(x y)
x y
+ =
1
2 (x y)
x y
Xét (x y) 1
x y
+ +
+
Trang 4Áp dụng Cosi cho 2 số (x+y) và ( x y+1 ) ta có: (x+y) + (x y+1 ) ≥ 2 (x y () 1 )
x y
+
+ = 2
Do đó: A = 2 (x y) 1
x y
Vậy Min A = 4 (x+y) = (x y+1 )
(x+y)2 =1
x + y = ±1
Kết hợp với điều kiện 4xy = 1 ta được x = y = - 1
2
x = y = 1
2