Đề thi vào 10 năm 2009-2010 (có đáp án)

Đờng phân giác của góc B cắt đờng thẳng DE tại H.

sở giáo dục và đào tạo

Hải Dơng

Đề số 1

kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9

năm học 2008 - 2009 Môn thi : toán

Thời gian làm bài : 150 phút

Câu I: ( 2.0 điểm )

Tính giá trị của biểu thức :

P = x(4  y)(4  z)  y(4  z)(4  x)  z(4  x)(4  y)  xyz

Trong đó x , y , z là các số thực dơng thỏa mãn : x y z    4 xyz

Câu II: (1.5 điểm)

Chứng minh rằng nếu x0 là nghiệm của phơng trình :

x2  (a 1)x b  0

thì : 2 2

Câu III: (2.5 điểm )

Giải hệ phơng trình :

2

697 81



 





     



Câu IV: ( 3 điểm)

Cho tam giác ABC không cân , đờng tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB , AC , BC tơng ứng tại D , E , F Đờng phân giác của góc B cắt đờng thẳng DE tại H Gọi K là hình chiếu của F trên DE

1) Chứng minh : BHC  90 0

2) Chứng minh : BKF CKF  

Câu V: ( 1.0 điểm )

Tìm các cặp số ( x;y) nguyên thỏa mãn :

x4 + 2x3 + 3x2 + 2x = y2 + y

sở giáo dục và đào tạo

Hải Dơng kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2008 - 2009

Môn thi : toán Hớng dẫn chấm H

ớng dẫn chấm đề số 1

Câu I

2 điểm có x y z    4 xyz  4x 4y 4z 4 xyz  16 0.25

Nên :

(4 )(4 ) (16 4 4 )

( vì x, y, z là các số dơng)

2x xyz

 

Biến đổi tơng tự ta đợc :

(4 )(4 )

(4 )(4 )

Vậy :

2.4 8

   

0.25 0.25 0.25

0.25 0.25 0.25 0.25

CÂU 2

1.5 điểm

Câu III

2.5điểm

Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức:

ax by 2  (a2 b2)(x2y2) , (1)

Đẳng thức xảy ra khi ay = bx

Vì x0 là nghiệm của phơng trình : x2 + (a+1)x + b = 0, nên ta

có :

2

2 4

( 1) ( 1)

áp dụng BĐT (1) ta có :

0

0

0

1 ( 1)

2( 1) 2( 1)

      

    

Hệ phơng trình:

697 ,(1) 81

3 4 4 0 ,(2)



 



 

      



Nếu có (x;y) thỏa mãn (2) thì phơng trình bậc hai ẩn x sau :

x2 + (y-3)x + y2 - 4y +4 = 0 phải có nghiệm:

2

( 3) 4( 4 4) 0

3 10 7 0

7

1 ,(3)

3

y

       

  

Tơng tự xét điều kiện phơng trình bậc hai ẩn y

có nghiệm ta đợc : 4

0 ,(4)

3

x

 

Từ (3) và (4)

      

   

0.25

0.25 0.25 0.25 0.25 0.25

0.25

0.5

0.5 0.5 0.5 0.25

Nên : 4 2 697

81

x y  khi x 4

3

 và y 7

3



Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x;y) = 4 7

;

3 3

 

 

  Câu IV

3điểm

1) Do tam giác ABC không cân ,gọi O là tâm đờng tròn nội tiếp

tam giác ABC Theo định lí tổng 3 góc trong các BOC ABC, 

 0   0 1800  0 

Từ đó suy ra : 180 0  90 0 

2

A HOC   BOC   ,(1)

Ta có : ADE cân tại A do AD = AE ( theo tính chất tiếp tuyến)

 1800  0 

90

Mà HECAED (đối đỉnh) , (3)

Từ (1), (2), (3) HEC HOC Suy ra tứ giác HEOC nội tiếp

Mà OEC  90 0( theo tính chất tiếp tuyến )

 90 0  90 0

2) Hạ BPDE CQ, DE ta có BP// FK // CQ

Theo định lí Ta - let : BF PK

Theo tính chất của tiếp tuyến : BF = BD , CF = CE nên ta có

CE QK , (4)

Mặt khác : BDP  ADE AED QEC 

Suy ra : BPD CQE

Từ đó ta có : BP PD BD

CQ EQ CE ,(5)

Từ (4) và (5) BD PK PD BP

Mà : BPK CQK    90 0

Nên  BPK  CQK

PKB QKC

0.25

0.25 0.25 0.25

0.25 0.25

0.25

0.25

0.25 0.25 0.25 0.25

Câu v

1.0 điểm Có x4 + 2x3 + 3x2 + 2x = y2 + y

 x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 = y2 + y +1

(x2 + x +1)2 = y2 + y +1 , ( 1)

Do x,y là số nguyên nên từ (1) suy ra : y2 + y +1 phải là số

chính phơng

- Nếu y > 0  y2  y2   y 1 (y 1) 2

- Nếu y < -1  (y 1) 2 y2  y  1 y2

Cả hai trờng hợp này  y2  y 1 không thể là số chính phơng

Nên từ (1)  y = 0 hoặc y = -1

và (x2 + x + 1)2 = 1 , (2)

Do x2 + x + 1 =

2

0 ,

 (x2 + x + 1)2 = 1 x2 + x + 1 = 1x = 0 hoặc x = -1

Vậy các cặp số ( x;y ) nguyên thỏa mãn đề bài là :

(0;0) , ( 0;-1) , ( -1;0) ,(-1;-1)

0.25

0.25 0.25

0.25