CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC NHẤT CHỦ ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT I.. Giải và biện luận các phương trình sau 1... CHỦ ĐỀ 2: CÁC BÀI TOÁN QUY VỀ
Trang 1CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG
TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC NHẤT CHỦ ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
I Giải phương trình ax + b = 0 (1)
1 Phương pháp chung
(1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi a 0 Khi đó (1) có nghiệm ≠ x= −b
a . (1) có vô số nghiệm (1) được thỏa mãn với mọi số thực x ) khi và chỉ khi a = b = 0 (1) vô nghiệm khi và chỉ khi
=
≠
a 0
b 0
2 Điều kiện để phương trình bậc nhất có nghiệm, vô nghiệm và vô số nghiệm
1) Điều kiện ax = b có nghiệm duy nhất a 0nghiêm thoa mãn diêu kiên
≠
2) Điều kiện ax = b nhận ∀x∈R là nghiệm a = 0b = 0
3) Điều kiện Ax = B có nghiệm
Xét có nghiệm duy nhất
Xét có nghiệm là ∀ x ∈ R
4) Điều kiện Ax = B vô nghiệm
a = 0 và b ≠ 0
Có nghiệm và bị loại
Ví dụ 1
Giải các phương trình sau
a x -3 x + 9+ = 3x + 7+ 3
2x -1 5x + 2- = x -3+1
c x +1 2x -1 27x +19 3x +1- =
-4 5 20 2 d x + 6 +2 x +17( ) = 2x + 6 -5 x -10( )
Ví dụ 2
Giải và biện luận phương trình m(x 1) 1 2x (1)+ = −
Giải
Ta có (1)⇔(m 2)x 1 m+ = −
Với m≠ −2, (1) có nghiệm duy nhất = −
+
1 m x
m 2 Với m= −2 , (1) vô nghiệm
Ví dụ 3
Giải và biện luận phương trình m x 2m 2 x (2)2 + = +
Giải
Ta có (2)⇔(m2−1)x 2 2m= −
Trang 2Với m≠ ±1, (2) có nghiệm duy nhất = −
+
2 x
m 1 Với m = -1, (2) vô nghiệm
Với m = 1, mọi x R đều là nghiệm của (2)∈
Bài tập
Bài 1 Giải và biện luận các phương trình sau
1 (m -1)x + m +1= 02 2 (4x 1)
m
1 m
2
x− 3 = 2 +
3 p(x - 1) = x + q 4 a(2x - 3) = x + b
5
ab
) b a ( ax 3 a
b x b
a
x
2
1 3
ab 2 x 3 b
ax+ − + =
7 (2a - 1)(b + 1)x = 2a + b 8 (a - 1)(b + 2)x = 2a – b
a b
a x
a
b
a
x
= +
− +
−
2
2 b a
2 a
b
a x a b
a x
−
= +
− +
− +
c
1 b
1 a
1 ( 2 ab
c x ac
b x
bc
a
x
+ +
=
− +
− +
13 (m2 + 2)x - 2m = x - 3 14 m(x – m) = x + m – 2
15 m(x - m + 3) = m(x – 2) + 6 16 a(ax + 2b2) – a2 = b2(x + a)
17 m2(x – 1) + m = x(3m – 2) 18 (m + 1)2x = (2x + 1)m + 5x + 2
19 a(ax + 2b2) – a3 = b2(x + a) 20 (a + b)2x + 2a2 = 2a(a + b) + (a2+b2)x
Bài 2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất (m + 1)2x + 1 - m = (7m - 5)x
Bài 3 Xác định m để phương trình có tập nghiệm là ∅
a) m2x = 9x + m2 – 4m + 3 b) m3x = m2 + mx – m
c) (x – 1)a + (2x + 1)b = x + 2 d) (2x – 5)a + (4 – 3x)b + 6 – x = 0
Bài 4 Tìm m để phương trình vô nghiệm
a) 2x + m- 4 x -1 = x - 2m + 3
2 + xm + 2x – 1 = 0
Bài 5 Tìm m để phương trình có nghiệm
a) 2(|x| + m – 1) = |x| - m + 3 b) m2(x – 1) = 4x – 3m + 2 với x > 0 c) 3x - m+ x - 2 = 2x + 2m -1
x - 2 x - 2 d) x - 2 (mx – m + 4) = 0
Bài 6 Chứng minh rằng họ đồ thị sau luôn đi qua hai điểm cố định
2
y = mx + (3m +1)x + 2m
Bài 7 Cmr họ đồ thị sau luôn đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng
y = (m +1)x -3(m +1)x - (6m -1)x + 8m
Bài 8 Tìm điểm cố định của họ đồ thị
2
mx - (3m +1)x + 2m + 3
y =
x -1
Bài 9 Tìm những điểm trên mặt phẳng tọa độ mà đồ thị của hàm số không thể đi qua
a) y = mx + 3x - 4m b) 2 y = 2x + (m - 2)x2
x -1
Bài 10 Cmr trên đường cong y = x có hai điểm không thuộc đồ thị của hàm số2
y = 2x - 3(m + 3)x +18mx -8 dù m lấy giá trị bất kì nào
Trang 3CHỦ ĐỀ 2: CÁC BÀI TOÁN QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
1 Phương trình tích của các biểu thức bậc nhất
Biểu thức phương trình có dạng
(ax + b)(cx + d)…(px + q) = 0 (1)
ax + b = 0
cx + d = 0
px + q = 0
⇔
Ví dụ 1 Giải phương trình
a (x – 1)(2x + 3)(3x – 5)(x – 2)2 = 0 b (2x – 5)(3x + 8)(x4 – 64) = 0
c (x3 – 4x)(x3 – 9x) = 0 d (3x – 1)2 – (5x + 3)2 = 0
e (3x2 – 7)(x4 + x2 + 3) = 0 f x7 – 14x5 + 49x3 – 36x = 0
Ví dụ 2 Giải và biện luận phương trình
a (m – 2)x2 – (2m – 1)x + m + 1 = 0 b
2 Phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về bậc nhất
a Dạng phương trình
1 ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x h x p x
g x k x q x 2 mx + n = e, p 0≠
px + q 3 ax + b = ex + f , c,g 0≠
cx + d gx + h
b Phương pháp giải
+ Đặt điều kiện mẫu thức khác 0
+ Quy đồng, bỏ mẫu
+ Giải phương trình đối chiếu kết quả với điều kiện Kết luận nghiệm
c Bài tập
Ví dụ 1 Giải các phương trình sau
a 2x -13 2 x -6( ) 7 2 5x -39( )
x +1 x + 2- + 4 = 0
x -1 x + 3 x + 2x -3
c x -1 x - 2- = x - 4 x -5
-x - 2 -x -3 x -5 x -6 d
x -1 x -6 x - 2 x -5+ +
x - 2 x -7 = x -3 x -6
e
5x 3x
x -3+
1+ x 1- x- 3 + - xx 2x -6 2
15 1- x 1+ x 4x 4 2x -1+
x -3
1+ x 1- x
-3 1- x 1+ x
1+ x-1 14 - x 1- x
=
g x -1 x - 2 x -31 + 1 + 1 =(x -1 x - 2 x -3) ( 11 ) ( ) h 1 + 1 + 1 + 1 0
x +1 x + 2 x -1 x -2 =
i ( ) ( ) ( ) ( )2
x + 2 x -1 x x -3 = x x -1 k 2 + 3 + 9 14
x -1 x +1 x - 2 x -3=
m
3 1+ x +1+ x + 1- x + = 0
1-1- x 1+ x 1+ x
Ví dụ 2 Giải và biện luận phương trình mx 1+− =2
x 1 (2) Giải Điều kiện x≠ −1 Với x≠ −1, ta có (3)⇔x(m 2) 3 (2’)− =
Giải và biện luận phương trình (2’) với x≠ −1
Với m = 2, (2’) vô nghiệm
Trang 4Với m 2≠ , (2’) có nghiệm =
−
3 x
m 2 Nghiệm này phải khác –1, tức là ≠ − ⇔ ≠ −
−
m 2 Vậy với m = 2 hoặc –1, (2) vô nghiệm
Trong trường hợp ngược lại, (2) có nghiệm duy nhất =
−
3 x
m 2
Bài 1 Giải và biện luận các phương trình sau
1 x
b
=
a = +
1 x
2 =
) 1 x ( a 1 x
b 1
x
1 ax
2
2
−
+
= +
+
−
−
5
ax 1
b bx
1
a
−
=
1 x m
2 x
1 x
− +
−
= + + +
x 1
2 ) 1 x ( b 1 x
b x 1 x
x a
−
−
−
= +
−
=
−
a x
1 x
a
3 a 4 a 3 a x
a
2 2
2
+
=
−
+
− +
−
a x
1 x 1 x
a x
=
−
− +
−
a x
b x a x
b ax
+
−
=
− +
11
1 x
) 1 x ( a 1 x
b 1
x
1 ax
2
2
−
+
= +
+
−
1 x ) b a (
b a 1
bx
b 1
ax
a
− +
+
=
−
+
−
13
x b
x b x a
x a x b
x b x a
x a
−
+ +
−
+
= +
− + +
b a
b ax b a
b ax
+
−
=
− +
15
x a
1 a
x
x a
x
2
2
−
x m x 2
x 1 x 1
17 x - m x -3+ = 2
x - m+ x -1 = 2
x -1 x - m
19 (m +1)x + m - 2 = m
x +1 a) x + m = x +3
x -1 x - 2 b)mx + m -2 = 3
x - m
Bài 2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất
a x + 2 = x +1
x - m x -1( m≠ −2, 0, 1) b) x +1 x + 2=
x -1 x - m c)
x + m x - 2+ = 2
x +1 x
3 Phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ quy về bậc nhất
3.1 Dạng 1: f x = c (1)( )
+ Nếu c < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm
+ Nếu c = 0 thì f(x) = 0
+ Nếu c > 0 thì f(x) = c hoặc f(x) = - c
Ví dụ 1 Giải các phương trình sau
a x -6x +8 = 02 b x + 2x + 2x -5 = 03 2
Trang 53.2 Dạng 2: f x = g x (2) ( ) ( )
f x = g x
f x = -g x
f x = g x
⇔
Ví dụ 1 Giải các phương trình sau
a 2x + 5 = 3x - 2 b 2x + 5x + 7 = x + x + 42 2
Ví dụ 2 Giải và biện luận phương trình mx 2+ = − +x m (1)
Giải
mx 2 x m (m 1)x m 2 (2) (1)
mx 2 x m (m 1)x m 2 (3)
*) Giải và biện luận (1)
Với m = -1, (5) vô nghiệm
Với m≠ −1, (5) có nghiệm = −
+
1
m 2 x
m 1
*) Giải và biện luận (2)
Với m = 1, (2) vô nghiệm
Với m≠ −1 , (2) có nghiệm = − +
−
2
m 2 x
m 1
Kết luận
Với m≠ ±1, (4) có hai nghiệm là = −
+
1
m 2 x
m 1,
+
= −
−
2
m 2 x
m 1 Với m = 1, (4) có nghiệm x= −1
2 Với m≠ −1, (4) có nghiệm x=1
2
Bài 1 Giải các phương trình sau
1 |x + m| = |x - m + 2| 2 |x - m | = |x + 1|
3 |mx + 1| = |2x + m - 3| 4 |mx +1| = |3x + m - 2|
5 3x - m = 2x + m +1 6 |mx + 1| = |x − 1|
7 |1 − mx| = |x + m| 8 x - 2mx +1- m = x + mx +1+ 2m2 2
Bài 2 Xác định m để các phương trình sau có nghiệm
1 m2(x – 1) = 4x – 3m + 2 với x > 0 2 2x + m- 4 x -1 = x - 2m +3
2m +1 x +3 2m +3 x + m - 2
= 4- x 4- x 4 2 x + m -1 = x - m +3( )
3.3 Dạng 3: f x = g x (3)( ) ( )
C1:(3)
( )
( )
g x 0
f x = g x
g x 0
f x = -g x
≥
⇔
≥ C2:(3)
( )
( )
f x 0
f x = g x
f x < 0 -f x = g x
≥
g x 0
f x = g x
≥
⇔
Trang 6Bài 1 Giải các phương trình sau
1 x -3 = 2x +1 2 3x 2 2x 3− = + 3 2x + 5 = x + 5x +12
4 4x -9 = 3- 2x 5 2x -3 = x -5 6 4x +1 = x + 2x - 42
7 3x + 2 = x +1 8 3x -5 = 2x + x -32 9 x - 4x + 3 = x +32
10 x -5x + 7 = x -12
3.4 Dạng 4: f (x) ± f (x) ± ± f (x) = g (x) ± g (x) ± ± g (x)1 2 n 1 2 n
+ GPT đối với các biểu thức trong dấu GTTĐ
+ Lập bảng dấu chung của phương trình
+ Chia khoảng và xét nghiệm của phương trình ở các trường hợp
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
a x -3 + 2 x +1 = 4 b 2x -1 + 3- x - 2 2x + 3 =10
c x - 2 + x + x + 2 = 3x d 2 x - x - 3 = 3
CHỦ ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
a x + b y = c (1)
a x + b y = c (2)
( I )
Trong đó
• x , y là hai ẩn ; a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 là các số thực
• Nghiệm của hệ là cặp số (x , y)
2 Phương pháp giải
Có rất nhiều cách giải, trong đó có ba cách hay dùng là:
2.1 Phương pháp cộng đại số : Dựa vào đặc điểm của hệ mà ta nhân hai vế
của một phương trình hoặc cả hai phương trình của hệ rồi cộng hoặc trừ vế với
vế nhằm triệt tiêu một ẩn , ta tìm được ẩn còn lại
2.2 Phương pháp thế : Rút một ẩn từ một phương trình sau đó thế vào phương
trình còn lại
2.3 Phương pháp định thức cấp 2 ( Đặc biệt thích hợp với bài toán biện luận
nghiệm của hệ khi có tham số )
Các định thức như sau :
• D = 1 1
a b
a b = a1b2 – a2b1
• Dx = 1 1
c b
c b = c1b2 – c2b1 • Dy = 1 1
a c
a c = a1c2 – a2c1
* Nếu D ≠ 0 thì hệ (I) có nghiệm duy nhất : x = Dx
D , y =
y
D D
* Nếu D = 0 mà Dx hoặc Dy ≠ 0 thì hệ (I) vô nghiệm
* Nếu D = Dx = Dy = 0 thì hệ (I) có vô số nghiệm
• Chú ý : Ta có thể dùng máy tính cá nhân để tìm ra nghiệm để kiểm tra kết quả.
Trang 73 Áp dụng
Ví dụ 1
Giải các hệ phương trình sau:
1/ 2x + 3y = 5
5x - y = 4
x + 3y = -1 -2x + y = 3
2x - 5y = -1
x + 3y = 5
Vi dụ 2
Bài toán 1: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
1/ mx + 2y = m - 1
(m + 1)x + y = 3
mx + 4y = m + 2
x + my = m
ax + by = a + b
bx + ay = a - b
Gợi ý : Dùng cách 3 định thức
1/ Ta có các định thức
• D = m + 1 1m 2 = - m – 2
• Dx = m - 1 2
3 1 = m – 7
• Dy = m m - 1
m + 1 3 = - m
2 + 3m + 1
* Nếu D ≠ 0 ⇔ m ≠ - 2 Khi đó hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất : 2
m 7 x
m 2
m 3m - 1 y
m 2
−
= −
=
* Nếu D = 0 ⇔ m = - 2 Khi đó Dx = - 9 ≠ 0 ⇒ Hệ vô nghiệm
* Kết luận :
+ Với m ≠ - 2 thì hệ có nghiệm duy nhất
+ Với m = - 2 thì hệ vô nghiệm
Bài toán 2: Hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn một điều kiện cho trước
1 Cho hệ phương trình mx + y = 2mx + my = m +1
a Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
b Tìm m nguyên để nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyên
2 Tìm m để hệ phương trình sau vô số nghiệm:
4x - my = -m -1 (m + 6)x + 2y = m + 3
3 Tìm m để hệ phương trình vô nghiệm:
( 2 )
mx - my = m +1
m - m x + my = 2
Chú ý: Với bài toán tìm điều kiện để hệ có nghiệm, đôi khi ta đi giải bài toán ngược:
4 Cho hệ phương trình
Trang 8x + my = 3m
mx + y = 2m +1
a Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm ( m -1≠ )
b Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
sinx + mcosx = 3m msinx + cosx = 2m +1
m = 0 1
m = -3
5 Cho hệ phương trình
Trang 9B PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
Bài 1 Giải các phương trình sau
a) (x 2 − 4x 3) + 2 − (x 2 − 6x 5) + 2 = 0 b) (4 x) + 2 − − (x 1) 3 = − (1 x)(x 2 − 2x 17) + c) 1 2 10 50
−
− + − + d) 2
1
Bài 2 Giải phương trình (x 1)( x + − = − 1) 1
2
Bài 3 Tìm tất cả các nghiệm của phương trình ( x + 1) 2 = 4 x + 9 thuộc miền xác định của
hàm số y = 5 - 2x
Bài 4 Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 2 x − 2 = − 4 x thoả mãn bất phương trình x 1 2 − <
Bài 5 Giải và biện luận bất phương trình
a) 2mx 2 − 2( 2m 1)x m 0 − + = b) (m 2 − 1)x 2 − 2(m 1)x 1 0 − + = c) x 2
m 1 = x 1
− + d)
2
x 1 x m + =
e)
2
2 2
x m m x − = 4(x m )
Bài 6 Giải các phương trình sau
a) 4c x 2 2 − 4acx a + − + 2 (b c) 2 = 0 b) x 2 + (3a 2b)x 6ab 0 − − =
c) x 1 a b a b
+ − với a≠ ±b
Bài 7 Cho a, b , c là độ dài 3 cạnh của một tam giác CMR phương trình sau vô
nghiệm
c x + (a − − b c )x b + = 0
Bài 8 Cho a, b , c là độ dài 3 cạnh của một tam giác CMR phương trình sau có
nghiệm
(a + b − c )x − 4abx a + + b − = c 0
Bài 9 Tìm m sao cho phương trình (m 2 − 4)x 2 − 2(m 2)x 1 0 + + =
a) Có hai nghiệm phân biệt;
b) Có nghiệm duy nhất;
c) Vô nghiệm
Bài 10 Cho phương trình 2(x 2 − = 1) x(px 1) +
a) Tìm p để phương trình có một nghiệm x = - 1, khi đó hãy tìm nghiệm còn lại của phương trình
b) Tìm p để phương trình chỉ có một nghiệm
Bài 11 Dùng đồ thị hãy biện luận số nghiệm của các phương trình sau theo m
a) x 2 − 2x m 0 + = b) x 2 − 2 x m + 2 = 0 c) x2− 2x = 2m 1 −
Trang 10Bài 12 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
a x3 – m(x - 1) - 1 = 0 b x3 – m(x + 2) + 8 = 0
Bài 13 Tìm m để hàm số y (x 2)(x = − 2 + mx m + 2 − 3) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
Bài 14 Tìm k để đồ thị hàm số: y x = 3 − k(x 1) 1 − − tiếp xúc với trục hoành
Bài 15 CMR đồ thị hàm số : 3 2 2
y x = − (m 1)x + − (2m − 3m 2)x 2m(2m 1) + + − luôn đi qua điểm A(2, 0) Tìm m để đồ thị tiếp xúc với trục hoành
Bài 16 Cho phương trình x 3 − (2m 3)x + 2 + 2mx 2 0 + =
a) CMR phương trình luôn có một nghiệm không phụ thuộc vào m
b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt Tìm hệ thức liên hệ giữa hai
nghiệm khác nghiệm ở câu a), không phụ thuộc vào m
Bài 17 Tìm k để đường thẳng y = kx + 1 cắt đồ thị
2
y
x 2
=
+ tại hai điểm phân biệt
Bài 18 Tìm m để đường thẳng y = mx + 2 – m cắt đồ thị hàm số
2
y
x 2
=
− tại hai điểm phân biệt
C BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 1: Giải phương trình: (x+1)( x 1) − = −1
2
Bài 2: Tìm mọi giá trị của p để parabol y x = 2 + 2px 13 + có đỉnh cách gốc tọa độ một khoảng bằng 5
Bài 3: Tìm a để các đồ thị của hai hàm số y 2ax 1 = + và y (a 6)x = − 2 − 2 không giao nhau
Bài 4: Với những giá trị nào của m thì phương trình ( m − 1 ) x 2 − ( 2 m − 1 ) x m + + = 5 0
a) có hai nghiệm trái dấu ? b) có hai nghiệm cùng dương ?
c) có đúng một nghiệm ?
Bài 5: Cho phương trình 2x 3 − 3(a 1)x + 2 + 6ax 4 0 − =
a) Chứng minh rằng phương trình có một nghiệm cố định không phụ thuộc vào tham số
b) Tìm a để phương trình có 3 nghiệm phân biệt
Bài 6: Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình x 2 − mx m + 2 − − = m 3 0 có hai nghiệm dương x1, x2 sao cho 2 + 2 =
Bài 7: Xác định giá trị của a để tổng bình phương các nghiệm của
2
x (2a 1)x 2(a 1) 0 nhỏ nhất
Bài 8: Tìm a để phương trình ax 2 + + − = x a 1 0 có nghiệm x x sao cho 1, 2 1 1 1
x − x >
Bài 9: Tìm mọi giá trị của a để các nghiệm x1 , x2 của phương trình
Trang 11x 2 − (3a 2)x a + + 2 = 0 thỏa mãn hệ thức x2 = 9x1
Bài 10: Giải các phương trình sau
a 4x4 − 3x2 − = 1 0 b x3 + 4x2 + 6x+ = 4 0
c 2x3 + x2 + 2x− 24 0 = d x4 − 3x3 +x2 + 3x− = 2 0
e 4x4 − 16x3 + 3x2 + 4x− = 1 0 f x4 − 4x3 +x2 + 4x+ = 1 0
g x4 − 4x3 + 5x2 − 4x+ = 1 0 h 2x4 + 5x3 + 5x2 + 10x+ = 8 0
i (x− 1) (x+ 2) (x− 6) (x− = 3) 34 j (x2 − 4x+ 3)(x2 − 6x+ = 8) 15
k ( ) ( ) ( ) ( ) 2
4 x+ 5 x+ 6 x+ 10 x+ 12 = 3x l (x+ 1) (x+ 2) (x− 6) (x− = 3) 12x2
o
2
Bài 11: Cho phương trình x 4 + x 3 − x + 1 = k Tìm k để phương trình có 4 nghiệm phân biệt
Bài 12: Giải các hệ phương trình sau
a 3 3 1
+ = −
− = −
x y
2 5 0
2
2
2 2
2 2
11
x y xy
xy x y
49
x y xy
xy x y
− − = −
g
3 3
5 5 2 2
1
3
3
2 2 8
j
+ = 3
x + y = 8
2 2
1 1
+ =
+ =
m
x
y y
x
− =
− =
n
3
2
p
2 2
2 2
3 3 7
xy x y
1
2
x y
Trang 12Bài 15: Giả sử (x, y) là nghiệm của hệ phương trình
+ = − + = + −
Xác định a để tích x.y nhỏ nhất
D PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Các dạng cơ bản
=
= ⇔ = − 3 A < ⇔ − < <B B A B
0 2.
B
≥
= ⇔ =
= −
4 A B A B
A B
< −
> ⇔ >
Bài 1 Giải các phương trình sau:
a) 2x2 − 8x− 15 1 4 = − x b) x2 − 5x+ = + 4 x 4
c) x2 − 5x+ = − 6 13 3x d) x2 +5x+ =4 x2−6x+5 e) x2 − 5x+ − = 1 1 0 f) x2+ 8x− + 7 2x+ = 9 0
g) x2+ 2x− = 8 x2− 1 h) 1+ = − −x 1 x x3
k) 2 3 − x2 = − 6 x2 l)
m) 2 1 1
x
x
+ =
− n)
1
x x
+ =
−
Bài 2 Giải các bất phương trình sau
a) x2 − < 1 2x b) 2x− ≥ − 1 x 1 c) 4x− ≥ 1 2x+ 1 e) 2x+ > 5 4x− 7 f) x2 − 3x+ + 2 x2 > 2x g) x2 − 4x+ < 5 0 h) 3x2 − − 2 5x > 0 i) x2+ 2x+ − ≤ 3 10 0 k) x2 − + 3 2x+ ≥ 1 0 l) x2− + + 3x 2 x2 > 2x m) 22 4 1
2
2 2
1 4
x
− + ≤
− p) 2 2 3
x
−
≥
2
2
2 1
x
x
5
≥ + −
E PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Một số chú ý:
+ A = A 2