De-DA-Toan Lop10 HDuong 2010(Dot2)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 08 tháng 07 năm 2010 (Đợt 2) Đề thi gồm: 01 trang Câu 1 (3 điểm) a) Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x - 4 b) Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 3 1 2 3 2 x y y x  = −   = −   c) Rút gọn biểu thức: 3 2 9 25 4 2 a a a P a a − + = + Câu 2 (2 điểm) Cho phương trình x 2 -3x + m = 0 (1) (x là ẩn) a) Giải phương trình (1) khi m = 1 b) Tìm các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 thỏa mãn 2 2 1 2 1 1 3 3x x+ + + = Câu 3 (1 điểm) Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 48km. Một canô đi từ bến A đến bến B, rồi quay lại bến A. Thời gian cả đi và về là 5 giờ (không kể thời gian nghỉ). Tính vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết vận tốc của nướclà 4km/h. Câu 4 (3 điểm) Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a, M là một điểm thay đổi trên cạnh BC (M khác B) và N là điểm thay đổi trên cạnh CD (N khác C) sao cho MAN = 45 0 . Đường chéo BD cắt AM và AN lần lượt tại P và Q. a) Chứng minh tứ giác ABMQ là tứ giác nội tiếp. b) Gọi H là giao điểm của MQ và NP. Chứng minh AH vuông góc với MN. c) Xác định vị trí điểm M và điểm N để tam giác AMN có diện tích lớn nhất. Câu 5 (1 điểm) Chứng minh: a 3 + b 3 ≥ ab(a+b) với mọi a, b ≥ 0. Áp dụng kết quả trên, chứng minh bất đẳng thức 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1a b b c c a + + ≤ + + + + + + với mọi a, b, c là các số dương thỏa mãn a.b.c = 1 Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2: Câu 1 (3 điểm) a) Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x - 4 Đồ thị hàm số y = 2x - 4 là đường thẳng cắt Ox tại điểm (2; 0) và cắt Oy tại điểm (0; -4) b) Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 3 1 2 3 2 x y y x  = −   = −   Thay x = 2y-3 vào (2) ta được y = 2.(2y - 3) -3 ⇒ y = 3 Thay y = 3 vào (1) ta được x = 2.3 - 3 ⇒ x = 3 Vậy nghiệm của hệ phương trình 3 3 x y =   =  hay (3; 3) c) Rút gọn biểu thức: 3 2 9 25 4 2 a a a P a a − + = + ( ) 9 5 2 2 a a a a a a − + = + ( ) ( ) 2 2 2 2 a a a a a a + = = + Câu 2 (2 điểm) Cho phương trình x 2 -3x + m = 0 (1) (x là ẩn) a) Giải phương trình (1) khi m = 1 Với m = 1 ta có phương trình: x 2 -3x + 1 = 0 ∆ = b 2 - 4ac = (-3) 2 - 4.1.1 = 5 > 0 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 3 5 2 2 b x a − − ∆ − = = và 2 3 5 2 2 b x a − + ∆ + = = Vậy với m = 1 thì tập nghiệm của phương trình 3 5 3 5 ; 2 2 S   − +   =       b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 Thì ∆ > 0 ⇔ 9 - 4m >0 ⇒ 9 4 m < Khi đó, theo Vi-et ta có: 1 2 1 2 3 b x x a c x x m a −  + = =     × = =   Mặt khác: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 3 3 1 1 2 1 1 27x x x x x x+ + + = ⇔ + + + + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 25 25 2 25 9 2 2 8x x x x x x x x m m⇒ + + = − + = − + + = − + = + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 8 2 16 64x x m x x x x m m⇒ + + = + ⇒ + + + = + + ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 16 64x x x x x x m m⇒ + + − + = + + 2 2 9 2 1 16 64 18 54 3 m m m m m m⇒ + − + = + + ⇒ = − ⇒ = − Vậy m = -3 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 thỏa mãn đ/k 2 2 1 2 1 1 3 3x x+ + + = Câu 3 (1 điểm) Gọi x (km/h) là vận tốc của ca-nô lúc nước yên lặng. (đ/k x > 4). Khi đó Vận tốc ca-nô lúc xuôi dòng x + 4 (km/h), vận tốc ca-nô lúc ngược dòng x - 4 (km/h) Thời gian ca-nô đi xuôi dòng 48 4x + (h), thời gian ca-nô đi ngược dòng 48 4x − (h) Thời gian cả đi và về (không tính thời gian nghỉ) là 5 giừo nên ta có phương trình 48 48 5 4 4x x + = + − (*) phương trình (*) ⇔ 2 5 96 80 0x x− − = ( ' 2704 ' 52∆ = ⇒ ∆ = ) ⇒ x 1 = 4 4 5 − < (loại); x 2 = 20 Vậy vận tốc của ca-nô lúc nước yên lặng là 20 km/h. Câu 4 (3 điểm) Câu 5 (1 điểm) a) Chứng minh: a 3 + b 3 ≥ ab(a+b) với mọi a, b ≥ 0 Ta cần chứng minh: a 3 + b 3 - ab(a+b) ≥ 0 Ta có a 3 + b 3 - ab(a+b) = (a+b)(a 2 - ab + b 2 ) - ab(a+b) = (a+b)(a 2 + b 2 - 2ab + b 2 ) = (a+b)(a - b) 2 Do a, b ≥ 0 ⇒ a + b ≥ 0 và (a - b) 2 ≥ 0 ⇒ (a+b)(a - b) 2 ≥ 0 Vậy a 3 + b 3 ≥ ab(a+b) với mọi a, b ≥ 0 b) Áp dụng kết quả trên, chứng minh bất đẳng thức 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1a b b c c a + + ≤ + + + + + + với mọi a, b, c là các số dương thỏa mãn a.b.c = 1 Ta có a 3 + b 3 ≥ ab(a+b) kết hợp với a.b.c = 1 ⇒ a 3 + b 3 +1 ≥ ab(a+b) +abc = ab(a+b+c) ⇒ ( ) 3 3 1 1 abc c a b ab a b c a b c ≤ = + + + + + + Tương tự 3 3 1 1 a b c a b c ≤ + + + + và 3 3 1 1 b c a a b c ≤ + + + + Do đó 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 c b a a b c a b b c c a a b c a b c a b c a b c + + + + ≤ + + = = + + + + + + + + + + + + + +