LOI GIAI TOAN VAO LAM SON 2010-2011(CUC HAY)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HOÁ NĂM HỌC 2010-2011 ( Dành cho tất cả thí sinh thi vào PTTH chuyên Lam Sơn) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi :19 tháng 6 năm 2010 Câu I: ( 2 điểm ) Cho biểu thức: A =         + − +−         + + − − − 2 10 2: 2 1 63 6 4 x x x xxxxx x 1) Rút gọn biểu thức A 2). Tìm x sao cho A < 2 Câu II : ( 2 điểm ) Cho x 1 và x 2 là hai nghiệm của phương trình : x 2 – 7x + 3 = 0 1) Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2x 1 -x 2 và 2x 2 -x 1 2) Tính giá trị của biểu thức : B = 21 2 xx − + 12 2 xx − , Câu III : ( 1,5 điểm ) Giải hệ phương trình        = − + + = − − + 1 2 3 2 20 1 2 1 2 4 yxyx yxyx Câu IV : ( 3,5 điểm ) Cho hình vuông ABCD trên đường chéo BD lấy điểm I sao cho BI = BA . Đường thẳng đi qua I vuông góc với BD cắt AD tại E và AI cắt BE tại H 1) Chứng minh rằng : AE = ID 2) Đường tròn tâm E bán kính EA cắt AD tại điểm thứ hai F ( F ≠ A) Chứng minh : DF.DA = EH . EB Câu V : ( 1 điểm ) Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh lần lượt là : BC = a ; CA= b ; BA= c Và chu vi bằng 2p . Chứng minh rằng : 9≥ − + − + − cp p bp p ap p Hết Họ và tên thí sinh số báo danh: chữ ký giám thị 1: chữ ký giám thị 1 : dự kiến lời giải môn toán chung KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2010-2011 ( Dành cho tất cả thí sinh thi vào PTTH chuyên Lam Sơn) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi :19 tháng 6 năm 2010 Câu I: ( 2 điểm ) a) ĐK: x>0 ;x 4≠ A =         + − +−         + + − − − 2 10 2: 2 1 63 6 4 x x x xxxxx x A = ( )       + + − − − 2 1 )2.(3 6 4 xxxx x : ( )( ) 2 10 2 22 + − + + +− x x x xx A = ( )       + + − − − 2 1 )2( 2 4 xx x x : 2 104 + −+− x xx A = ( )( ) ( )       + − + +− + − +− 2 2 2).2( )2.(2 22 x x xx x xx x : 2 104 + −+− x xx A = ( )( )       +− −+−− 22 242 xx xxx : 2 6 +x A = ( )( )       +− − 22 6 xx : 2 6 +x A = xx − = − − 2 1 2 1 b) với x>0 ;x 4≠ ta có : A < 2 ⇔ x−2 1 <2 ⇔ 2- x−2 1 > 0 ⇔ x x − −− 2 124 = x x − − 2 23 > 0 3 2 0 2 0 3 2 0 2 0 . x x x x   − <     − <    ⇔  − >     − >      ⇔     >> > 0 4 9 4 x x Vậy với 4x > hoặc 9 0 4 x< < thì A<2 Câu II (2đ) 1) Vì 49 12 37 0 ∆ = − = > nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ,x x Theo hệ thức Vi-et ta có: 1 2 1 2 7 3 x x x x + =   =  Đặt 1 1 2 2 2 1 2 ; 2y x x y x x= − = − ta có: 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 7 (2 )(2 ) 5 2( ) 5 2[( ) 2 ]=9 2( ) 9.3 2.7 71 y y x x x x x x y y x x x x x x x x x x x x x x x x x x + = − + − = + = = − − = − + = − + − − + = − = − Do đó phương trình bậc hai cần lập là: 2 7 71 0y y− − = 2)Ta có : B 2 = ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 49 2.( 71) 2 71 333 333y y y y y y y y y y y y B+ = + + = + − + = − − + = ⇒ = Câu III (1,5đ) ĐK: 2x y≠ ± Đặt 1 1 0, 0 2 2 a b x y x y = ≠ = ≠ + − ta được hệ: 1 3 4 1 2 8 8 5 20 3 1 2 2 1 2 12 x a a b x y a b x y y b  = =   − = + =     ⇔ ⇒ ⇔     + = − = − =     = −    Câu IV (3,5đ) (Tự vẽ hình) 1) Xét tam giác ABE và tam giác IBE có: AB=IB; gócBAE= gócBIE = 90 0 ; BE chung suy ra tam giác ABE = tam giácIBE (cạnh huyền -cạnh góc vuông) suy ra AE = IE (1) vì ABCD là hình vuông nên góc EDI = 45 0 suy ra góc DEI = 45 0 (vì tam giácDEI vuông ở I) suy ra tam giác DEI cân tại I suy ra IE =ID (2) từ (1) và (2) suy ra AE = DI 2) Vì EA = EI nên đường tròn (E;EA) đi qua I mà EI vuông góc với DI suy ra DI là tiếp tuyến của đường tròn (E;EA) suy ra gócDAI = gócDIF (cùng chắn cung IF) suy ra tam giácDAI đồng dạng với tam giácDIF (G-G) suy ra DA/DI =DI/DF do đó DF.DA = DI 2 mà DI = IE suy ra DF.DA =IE 2 (3) vì AI là dây chung của đương tròn (E;EA) và đường tròn (B;BA=BI) nên AI vuông góc với BE tại H Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông BEI có : IE 2 = EH.EB (4) Từ (3) và (4) suy ra DF.DA =EH.EB Câu V (1đ) Trước hết ta chưng minh: với a,b >0 ta có: 1 1 4 (*) a b a b + ≥ + Thật vậy(*) ( ) ( ) 2 2 4 0a b ab a b⇔ + ≥ ⇔ − ≥ (đúng).Dấu “=” xảy ra a b⇔ = Áp dụng (*) ta có: 4 4p p p p p a p b p a p b c + ≥ = − − − + − tương tự ta có: 4 4p p p p p b p c p b p c a + ≥ = − − − + − 4 4p p p p p c p a p c p a b + ≥ = − − − + − suy ra 2 2 2p p p p p p p a p b p c a b c + + ≥ + + − − − Hay 3 ( ) ( ) ( ) p p p a b b c c a p a p b p c b a c b a c + + ≥ + + + + + + − − − mà ( ) 2;( ) 2;( ) 2 a b b c c a b a c b a c + ≥ + ≥ + ≥ (BĐT Cauchy) Do đó 9 p p p p a p b p c + + ≥ − − − (đpcm) Dấu “=” xảy ra ⇔ a=b=c tức là ABC là tam giác đều (lời giải của thầy Nguyễn Cưòng THCS Nghi sơn Tĩnhgia-Thanh Hóa) . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HOÁ NĂM HỌC 2010-2011 ( Dành cho tất cả thí sinh thi vào PTTH chuyên Lam Sơn) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian. kiến lời giải môn toán chung KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2010-2011 ( Dành cho tất cả thí sinh thi vào PTTH chuyên Lam Sơn) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao