ĐỀ THI THỬ ĐH TOÁN 2010+ĐA-5

. 2 . . ĐỀ SỐ 2 THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2010 Môn thi: TOÁN, khối A Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x 4 − 8x 2 + 7 (1). 1. Khảo sát sự biết thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Tìm các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = mx – 9 tiếp xúc với đồ thị của hàm số (1).  π   π  2 Câu II (2 điểm) 1.Giải phương trình sin  2x −  = sin  x −  +  4   4  2 2. Giải bất phương trình 1 1 − x + 1 > 3x 1 − x 2 Câu III (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + 3y – 3z + 1 = 0, đường thẳng d : x − 3 y z + 5 = = 2 9 1 và ba điểm A(4 ; 0 ; 3), B( - 1 ; - 1 ; 3), C(3 ; 2 ; 6). 1. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P). 2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính lớn nhất. π 2 Câu IV (2 điểm) 1. Tính tích phân I = ∫ 0 sin 2 xdx 3 + 4sin x − cos 2x 2. Chứng minh rằng phương trình 4 x ( 4x 2 + 1 ) = 1 có đúng 3 nghiệm thực phân biệt. PHẦN RIÊNG Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 câu: V.a hoặc V.b Câu V.a. Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 điểm) 1. Tìm hệ số của số hạng chứa x 5 trong khai triển nhị thức Niutơn của (1 + 3x) 2n , biết rằng 3 2 k A n + 2 A n = 100 (n là số nguyên dương, A n là số chỉnh hợp chập k của n phần tử). 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 = 1. Tìm các giá trị thực của m để trên đường thẳng y = m tồn tại đúng 2 điểm mà từ mỗi điểm có thể kẻ được hai tiếp tuyến với (C) sao cho góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 60 o . Câu V.b. Theo chương trình phân ban (2 điểm) 1. Giải phương trình 3 + 1 log 3 x  6  = log x  9x − .  x  2. Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông, SA = SB = SC = a. Gọi N, M, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC ; D là điểm đối xứng của S qua E ; I là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (SMN). Chứng minh rằng AD vuông góc với SI và tính theo a thể tích của khối tứ diện MBSI. 0,25 4x − 16x = m (2) 0,25  ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Môn: Toán (đề số 2), khối A Câu I Nội dung 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1,00 điểm) Tập xác định : D = R. Sự biến thiên : y ' = 4x 3 - 16x = 4x ( x 2 - 4 ) , y ' = 0 Û x = 0 hay x = ± 2 y CĐ = y(0) = 7; y CT = y( ± 2 ) = - 9. Bảng biến thiên : Điểm 2,00 0,25 x -∞ -2 0 2 +∞ y’ - 0 + 0 - 0 + 0,25 y +∞ -9 7 -9 +∞ Đồ thị : y 7 -2 -1 2 0,25 − 7 O 1 7 x -9 2 Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng … (1,00 điểm) Đường thẳng y = mx – 9 tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương x 4 − 8x 2 + 7 = mx − 9 (1) trình sau có nghiệm:  3  Thay (2) vào (1) ta được x 4 − 8x 2 + 7 = ( 4x 3 − 16x ) x − 9 ⇔ 3x 4 − 8x 2 − 16 = 0 ⇔ x = ±2. Thay x = ±2 vào (2) ta được m=0. Suy ra m = 0 là giá trị cần tìm. 0,50 0,25 2 2 p 4 • p p 2 2 2 1  2  . 2 x > 4 ( 1 − x ) .   5 ;1.  ∪  ;1.   2,00 II 1 Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm) 2,00 Phương trình tương với ( sin 2x − cos 2x ) = 2 ( sin x − cos x ) + 2 2 2 ⇔ ( cos x − sin x )( 2 cos x − 1 ) = 0. 0,50 • cos x - sin x = 0 Û tgx = 1 Û x = + k p, k Î Z . 0,50 1 p 2 cos x - 1 = 0 Û cos x = Û x = ± + k 2p, k Î Z . 2 3 Nghiệm của phương trình đã cho là: x = + k p hay x = ± + k 2p với k Î Z . 4 3 2 Giải bất phương trình… (1,00 điểm) Điều kiện: x < 1 . Bất phương trình đã cho tương đương với 0,25 1 − x2 + x 2 1 − x + 1 > 3x 1 − x ⇔ x 2 1 − x − 3x 1 − x 2 + 2 > 0 ( 1 ) . Đặt t = x 1 − x 2 , khi đó bất phương trình (1) trở thành: t 2 - 3t + 2 > 0 Û t < 1 hay t > 2. a. Với t<1 thì x 1 − x 2 < 1 ⇔ x < 1 − x 2 (2). 0,25 Nếu − 1 < x ≤ 0 thì bất phương trình (2) đúng. Nếu 0 < x < 1 thì bất phương trình (2) ⇔ x 2 < 1 − x 2 ⇔ 0 < x <  Tập nghiệm của bất phương trình (2) là S 1 =  − 1;  1 2 . b. Với t > 2 thì x 1 − x > 2 ⇔ x > 2 1 − x 2 (3). 0,25 ( Điều kiện: x < 1 ) x > 0 Bất phương trình (3) ⇔  2 2 ⇔ x > 2 5 5  2 5  Tập nghiệm của bất phương trình (3) là S 2 =    Nghiệm của bất phương trình là 0,25 III  S = S 1 ∪ S 2 =  − 1;  1   2 5  2   5  2,00 1 Viết phương trình mặt cầu… (1,00 điểm) 0,25  2 2 2 2 2 2 0,50    2 2 2 0,25 0,50 [ ] 1 0,25 Ta có: I = ∫ 2 0 0 ( t + 1 )  = −  t + 1  + ∫ 2 2 1 0 0 0 0,50 ] IA = IB  Tâm I(a ; b ; c) của (S) xác định bởi hệ IA = IC I ∈ ( P )  ( 4 − a ) 2 + ( 0 − b ) 2 + ( 3 − c ) 2 = ( − 1 − a ) 2 + ( − 1 − b ) 2 + ( 3 − c ) 2   ( 4 − a ) + ( 0 − b ) + ( 3 − c ) = ( 3 − a ) + ( 2 − b ) + ( 6 − c ) 2a + 3b − 3c + 1 = 0  a = 1  ⇔ b = 2 c = 3. IV Bán kính của (S) là R= 13 . Phương trình của (S) là: ( x − 1 ) + ( y − 2 ) + ( z − 3 ) = 13. 2 Viết phương trình mặt phẳng (Q)…(1,00 điểm) Mặt phẳng (Q) cần tìm chính là mặt phẳng chứa d và đi qua tâm I của (S). Đường thẳng d đi qua M(3 ; 0 ; - 5) có vectơ chỉ phương là u = ( 2;9;1 ) . Ta có IM = ( 2;−2;−8 ) = 2 ( 1;−1;−4 ) , do đó vectơ pháp tuyến của (Q) là IM , u = ( 35;−9;11 ) . 2 Mà (Q) đi qua I(1 ; 2 ; 3) nên phương trình của (Q) là: 35 ( x − 1 ) − 9 ( y − 2 ) + 11 ( z − 3 ) = 0 ⇔ 35x − 9 y + 11z − 50 = 0. 1 Tính tích phân…(1,00 điểm) π 2 sin x.cos xdx sin x + 2 sin x + 1 Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx. π Với x = 0 thì t= 0, với x = thì t = 1. 2 0,25 2,00 0,50 1 Suy ra I = ∫ 2 tdt 1  1  = − ∫ td  0 1 1 t dt t + 1 0 0 t + 1 0,50 1 1 1 = − + ln t + 1 0 = − + ln 2. Cách khác: I = 1 ò 0 t + 1 - 1 2 dt = ( t + 1 ) 1 dt ò t + 1 - 1 dt 1 ò (t + 1) 2 = (ln t + 1 + t + 1 ) 2 Chứng minh p t có đúng 3 nghiệm thực phân biệt (1,00 điểm) Phương trình đã cho tương đương với: 4 x ( 4x 2 + 1 ) − 1 = 0 Xét hàm số f ( x ) = 4 x ( 4x 2 + 1 ) − 1 với x ∈ R Có f ' ( x ) = 4 x ln 4 ( 4 x 2 + 1 ) + 8x.4 x = 4 x [ ln 4 ( 4x 2 + 1 ) + 8x  1  0,50 3 2 0 1 10 0,50 5 0,50 ˆ ˆ 2 3 0,50 . 2,00  f ' ( x ) = 0 ⇔ ln 4 ( 4x 2 + 1 ) + 8x = 0 ⇔ ( 4 ln 4 ) x 2 + 8x + ln 4 = 0 ( * ) Phương trình (*) có biệt thức ∆ > 0 nên có đúng hai nghiệm phân biệt. Từ bảng biến thiên của f(x) suy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 3 nghiệm phân biệt Mặt khác: f  −  = 0, f ( 0 ) = 0, f ( − 3 ) . f ( − 2 ) < 0  2  Do đó phương trình f(x) = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt: 1 x 1 = 0, x 2 = , x 3 ∈ ( − 3;−2 ) . 2 V.a 1 Tìm hệ số…(1,00 điểm) 2,00 Điều kiện: n ∈ N , n ≥ 3. 0,50 Ta có A n3 + 2A n2 = n ! ( n - 3 ) ! + 2 n ! ( n - 2 ) ! = n 2 ( n - 1 ) . Do đó A n + 2 A n = 100 ⇔ n 2 ( n − 1 ) = 100 ⇔ n = 5. 2 n 10 10 Do đó ( 1 + 3x ) = ( 1 + 3x ) = C 10 + C 10 ( 3x ) + + C 10 ( 3x ) . Hệ số của số hạng chứa x 5 là C 10 .3 5 = 61236. 2 Đường tròn có tâm O(0 ; 0) và bán kính R=1. Giả sử PA, PB là hai tiếp tuyến (A, B là các tiếp điểm). • Nếu APB = 60 o ⇒ OP = 2 ⇒ P thuộc đường tròn (C 1 ) tâm O bán kính R=2. • Nếu APB = 120 o ⇒ OP = ⇒ P thuộc đường tròn (C 2 ) tâm O bán kính R = 2 3 . Đường thẳng y = m thỏa mãn yêu cầu bài toán cắt đường tròn (C 1 ) và không có điểm chung với đường tròn (C 2 ). • Đường thẳng y = m cắt (C 1 ) ⇔ −2 < m < 2 . • Đường thẳng y = m không có điểm chung với (C 2 ) ⇔ m < − 2 3 hoặc m > 2 3 Suy ra các giá trị cần tìm của m là − 2 < m < − 2 3 va  2 3 < m < 2. V.b 1 Giải phương trình lôgarit (1,00 điểm) 2,00 0 < x ≠ 1  Điều kiện  6 9x − x > 0. 0,50 (đvtt). = . . 0,50 6 x  6  Phương trình đã cho tương đương với log x ( 3x 3 ) = log x  9x −   x  Û 3x 3 = 9x - Û x 4 - 3x 2 + 2 = 0 Û x = ± 1 hay x = ± 2. 0,50 Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = 2. 2 Tính thể tích … (1,00 điểm) Ta có SA ⊥ (SBC) ⇒ SA ⊥ BD. Mà BD ⊥ SB ⇒ BD ⊥ (SAB) ⇒ BD ⊥ SM. Mà SM ⊥ AB (do tam giác SAB vuông cân) ⇒ SM ⊥ (ABD) ⇒ SM ⊥ AD. Chứng minh tương tự ta có SN ⊥ AD ⇒ AD ⊥ (SMIN) ⇒ AD ⊥ SI. Ta có AD = SA 2 + SD 2 = a 3 0,50 SD 2 = DI .DA ⇒ DI = SD 2 2a 3 = DA 3 SM = MB = AB a 2 = 2 2 Kẻ IH ⊥ AB (H ∈ AB). A I S N C H M E D B Suy ra IH // BD. Do đó IH AI = BD AD AD − DI 1 = AD 3 1 a ⇒ IH = DB = . Mặt khác SM ⊥ (ABD) nên 3 3 1 1 1 a 2 a 2 a a 3 V MBSI = SM .S ∆MBI = SM .BM .IH = . . . = 3 6 6 2 2 3 36 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm từng phần như đáp án quy định. Hướng dẫn: Trung tâm Luyện thi Vĩnh Viễn. . . 2 . . ĐỀ SỐ 2 THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2010 Môn thi: TOÁN, khối A Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2. (2) 0,25  ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Môn: Toán (đề số 2), khối A Câu I Nội dung 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số (1,00 điểm) Tập xác định : D = R. Sự biến thi n : y ' = 4x 3 - 16x. CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x 4 − 8x 2 + 7 (1). 1. Khảo sát sự biết thi n và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Tìm các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = mx –