ĐỀ THI HSG HOÀI NHƠN. 2009-2010

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO HSG TOÁN 8 ĐỀ ÔN TẬP 1 Câu 1: ( 3 ñieåm): Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC lần lượt tại M và N . Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC bằng 75 (cm) Đáp án: Ta có : Do MN // AC nên         + − +−         + + − + − 2 10 2: 2 1 36 6 4 2 3 2 x x x xxxx x Mà         + − +−         + + − + − 2 10 2: 2 1 36 6 4 2 3 2 x x x xxxx x vì AM + NC = 16 (cm) và AB + BC = 75 – AC Do đó :         + − +−         + + − + − 2 10 2: 2 1 36 6 4 2 3 2 x x x xxxx x ⇒ AC = 27 (cm) Ta lại có :         + − +−         + + − + − 2 10 2: 2 1 36 6 4 2 3 2 x x x xxxx x (cm) Câu 2: ( 4 ñieåm ) Cho tam giác đều ABC . M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai cạnh BC và AC sao cho BM = CN xác định vị trí của M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất . Đáp án: Gọi P và Q là chân đường vuông góc kẻ từ M và N xuống AB . Ta có tam giác ANQ vuông ở Q có góc A = 60 0 ⇒ ANQ = 30 0 ⇒ AQ = AN Tương tự đối với tam giác MPB ta có PB = 2 1 BM Do đó : AQ + PB = 2 1 2 1 2 1 =+ BMAN (AN + NC ) = AC 2 1 Kẻ MH ⊥ QN . Tứ giác MPQH là hình chữ nhật Ta có MN ≥ MH = AB – ( AQ + Bp ) = AB - ABAC 2 1 2 1 = Vậy đọan MN có độ dài nhỏ nhất bằng 2 1 AB . Khi M,N lần lượt là trung điểm của BC và AC b) Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài cạnh là số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi. Bải giải Điểm Gọi a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác vuông cần tìm. Giả sử 1 a b c≤ ≤ < . Ta có hệ phương trình : 2 2 2 a b c ab 2(a b c)  + =  = + +  (1) (2) Từ (1) ⇒ c 2 = (a + b) 2 − 2ab ⇒ c 2 = (a + b) 2 − 4(a + b + c) (theo (2)) ⇔ (a + b) 2 − 4(a + b) = c 2 + 4c ⇔ (a + b) 2 − 4(a + b) + 4 = c 2 + 4c + 4. ⇔ (a + b − 2) 2 = (c + 2) 2 ⇔ a + b − 2 = c + 2 (do a + b ≥ 2) ⇔ c = a + b − 4. 0,5 điểm 0,5 điểm Thay vào (2) ta được: ab = 2(a + b + a + b − 4) ⇔ ab −4a−4b + 8 = 0 ⇔ b(a −4) −4(a−4) = 8 ⇔ (a −4)(b−4) = 8 Phân tích 8 = 1.8 = 2.4 nên ta có: a 4 1 ho ho b 4 8  − =    ⇔     − =     a - 4 = 2 a = 5 a =6 Æc Æc b - 4 = 4 b = 12 b=8 Từ đó ta có 2 tam giác vuông có các cạnh (5 ; 12 ; 13) và (6 ; 8 ; 10) thỏa mãn yêu cầu của bài toán. 0,5 điểm 0,5 điểm b) Chứng minh rằng không có các số nguyên x và y nào thỏa mãn hệ thức: 2008x 2009 + 2009y 2010 = 2011. Bải giải Điểm - Nếu y chẵn thì với mọi x ∈ Z có 2008x 2009 + 2009y 2010 là số chẵn; mà 2011 là số lẻ, (vô lý) - Nếu y lẻ thì y 1005 là số lẻ. Đặt y 1005 = 2k + 1 ( k ∈ Z ) ⇒ 2009y 2010 = 2009(y 1005 ) 2 = 2009(2k + 1) 2 = 2009(4k 2 + 4k + 1) = 4[2009(k 2 + k)] + 2009. Ta có 2009y 2010 chia cho 4 dư 1 ⇒ 2008x 2009 + 2009y 2010 chia cho 4 dư 1; mà 2011 chia cho 4 dư 3, (vô lý) Vậy không có các số nguyên x, y nào thỏa mãn hệ thức : 2008x 2009 + 2009y 2010 = 2011. 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Bài 4 : ( 2,0 điểm ) Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao kẻ từ B và C cắt nhau tại O. Chứng minh rằng nếu đường tròn nội tiếp tam giác OAB và đường tròn nội tiếp tam giác OAC có bán kính bằng nhau thì tam giác ABC là tam giác cân. Bải giải Điểm Gọi O 1 và O 2 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AOB và AOC. Kẻ O 1 H ⊥ AB tại H và O 2 K ⊥ AC tại K ⇒ O 1 H = O 2 K (gt) Điểm O là trực tâm của ∆ ABC ˆ ˆ ABO ACO⇒ = (cùng phụ ˆ BAC ) 1 2 1 2 ˆ ˆ OBH OCK BO H CO K (O H O K; ) 2 2 ∆ = ∆ = = BH CK⇒ = . ∗ Nếu AB > AC thì AH > AK (AB = AH + HB và AC = AK + KC) 1 2 1 2 O H O K ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ O AH O AK OAB OAC ABC ACB AC AB AH AK ⇒ < ⇒ < ⇒ < ⇒ > ⇒ > Mâu thuẫn ∗ Nếu AB < AC, lập luận tương tự ta có AB > AC Mâu thuẫn ∗ Vậy AB = AC. Tam giác ABC cân tại A. Hình 0,25 đ 0,25 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm A B C O H K O 1 O 2 Bài 5 : ( 5,0 điểm ) Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Trên đường tròn (O; R) vẽ dây AB = R. Trên cung lớn AB lấy điểm M, đường thẳng MA cắt đường tròn (O’; r) tại N (N khác A). Đường thẳng qua N và song song với AB cắt đường thẳng MB tại E. a) Chứng minh rằng độ dài đoạn thẳng NE không phụ thuộc vị trí điểm M trên cung lớn AB. b) Tìm vị trí của điểm M trên cung lớn AB để tam giác MNE có diện tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó. Bải giải Điểm a) Ta có NE MN OO` R r AB AM AO R + = = = R r NE .AB R r. R + ⇒ = = + Độ dài đoạn NE không đổi. b) MNE ∆ 2 2 MNE MNE MAB MAB S NE R r MAB S .S S AB R +     ∆ ⇒ = ⇒ =  ÷  ÷     Diện tích tam giác MNE lớn nhất ⇔ Diện tích tam giác AMB lớn nhất. Gọi M o là điểm chính giữa của cung lớn AB ⇒ Tam giác AM o B cân tại M o . Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại M o cắt BM tại K. o ˆ ˆ ˆ AM B AMB AKB= > (góc ngoài của tam giác AMK), do đó M nằm giữa hai điểm B và K. suy ra khoảng cách từ M đến AB không lớn hơn khoảng cách từ K đến AB. M o K // AB o M O AB⇒ ⊥ tại H và khoảng cách từ K đến AB bằng M o H. Vậy khi M là điểm chính giữa của cung lớn AB thì diện tích ∆ AMB có giá trị lớn nhất. o 2 o AM B R 3 R(2 3) (2 3)R M H R MaxS 2 2 4 + + = + = ⇒ = Diện tích ∆ MNE có giá trị lớn nhất bằng 2 2 2 2 (R r) (2 3)R 2 3 . (R r) R 4 4 + + + = + Hình 0,25 đ (0,75 điểm) (0,75 điểm) (0,25 điểm) 0,5 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Chú ý : O O’ M B A N E K M 0 H + Mỗi bài tốn có thể có nhiều cách giải khác nhau, nếu học sinh có cách giải khác, hợp lý và đúng chính xác vẫn cho điểm tối đa. + Đối với bài tốn hình, nếu khơng có hình vẽ thì khơng chấm. + Đề nghị tổ giám khảo cần thảo luận thống nhất quan điểm và chấm chung ít nhất 05 bài để rút kinh nghiệm, sao cho đảm bảo sự cơng bằng cho tất cả các bài thi. SỞ GD & Đ T BÌNH PHƯỚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 9 Năm học : 2008 - 2009 Môn : Toán Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 20 /3 /2009 Câu 1 ( 2 điểm) Cho phương trình (m + 2)x 2 – 2(m – 1 )x + m - 2 = 0 . Với m là tham số, tìm m để phương trình có đúng một nghiệm dương. Câu 2 : (2 điểm) Cho a, b, c là các số dương, chứng minh rằng: T = 3 a a b c+ + + 3 b b a c+ + + 3 c c b a+ + ≤ 3 5 Câu 3 :(2 điểm) Giải phương trình : 2 x + 2 2 ( 1) x x + = 3 Câu 4 : (1 điểm) Viết các số tự nhiên từ 1 đến 10 thành một hàng ngang theo thứ tự tùy ý, tiếp đó cộng mỗi số đã viết với số thứ tự chỉ vị trí mà nó đứng. Chứng minh rằng ít nhất cũng có hai tổng mà chữ số tận cùng của tổng đó là như nhau. Câu 5 : (3 điểm) Cho tam gíac ABC vng tại A. Đường tròn (O) đường kính AB cắt đường tròn (O’) đường kính AC tại D, M là điểm chính giữa cung nhỏ DC, AM cắt đường tròn (O) tại N, cắt BC tại E. a . Chứng minh O, N, O’ thẳng hàng. b . Gọi I là trung điểm MN, chứng minh góc OIO’ vng. SỞ GD & Đ T BÌNH PHƯỚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 9 Năm học : 2008 - 2009 ĐÁP ÁN MƠN TỐN(Đề thi chính thức) Câu 1 ( 2 điểm) Cho phương trình (m + 2)x 2 – 2(m – 1 )x + m - 2 = 0 . Với m là tham số . Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm dương. * Xét m = - 2 => 6x = 4 => x = 2 3 ( nhận m = - 2) * Xét m ≠ - 2 => ' ∆ = - 2m + 5 0.5 ĐỀ THI CHÍNH THỨC ' ∆ = 0 => m = 5 2 khi đó PT có nghiệm kép x = 1 3 => (nhận m = 5 2 ) * Phương trình có đúng một nghiệm dương khi P < 0 ⇔ -2 < m < 2 . * Xét p = 0 =>m = 2 => 4x 2 - 2x = 0 => x = 0 , x = 1 2 => m = 2 nhận. KL : -2 ≤ m ≤ 2 , m = 5 2 0.5 0.5 0.25 0.25 Câu 2 : (2 điểm) Cho a,b,c là các số dương, chứng minh rằng : T = 3 a a b c+ + + 3 b b a c+ + + 3 c c b a+ + ≤ 3 5 đặt x = 3a + b + c ; y = 3b + a + c ; z = 3c + b + a => x + y + z = 5( a + b + c) =5(x – 2a ) = 5(y – 2b) =5(z – 2c => 4x –(y +z) =10a; 4y –(x +z) =10b ; 4z –(y +x) =10c ; => 10T = 4 ( )x y z x − + + 4 ( )y x z y − + + 4 ( )z x y z − + = = 12 – ( y x + z x + x y + z y + x z + y z ) ≤ 12 -6 =6 => T ≤ 3 5 Dấu bằng xẩy ra khi a = b = c 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 0.25 Câu 3 :(2 điểm) Giải phương trình : x 2 + 2 2 ( 1) x x + = 3 ĐK: x ≠ - 1 ⇔ ( x - 1 x x + ) 2 = 3 – 2 2 1 x x + ⇔ ( 2 1 x x + ) 2 + 2 2 1 x x + - 3 = 0 => 2 1 x x + = 1 => x 1,2 = 1 5 2 ± Hoặc 2 1 x x + = -3 vơ nghiệm 0.25 1.0 0.5 0.25 Câu 4 : (1 điểm) Viết các số tự nhiên từ 1 đến 10 thành một hàng ngang theo thứ tự tùy ý, tiếp đó cộng mỗi số đã viết với số thứ tự chỉ vị trí mà nó đứng. Chứng minh rằng ít nhất cũng có hai tổng mà chữ số tận cùng của tổng đó là như nhau. Gỉa sử các số từ 1 đến 10 được viết thành : a 1 , a 2 , a 3 ,…….a 10 . Lập dãy mới theo yêu cầu bài toán: A 1 = a 1 +1; A 2 = a 2 +2;… , A 10 = a 10 +10 => A 1 +A 2 +A 3 +…….+A 10 = 2(1+2+3+… +10)=110 110 là số chẵn nên không có trường hợp 5 số A i nào đó là lẽ và 5 số A j nào đó là chẵn mà chỉ xẫy ra : số A i >5 hoặc A j >5. Từ 1 đến 10 chỉ có 5 vò trí chẵn , 5 vò trí là lẽ p dụng nguyên tắc Đêriclê=> hoặc có ít nhất hai số A i lẽ tận cùng như nhau hoặc ít nhất hai số A j có chữ số tận cùng như nhau. 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 5 : (3 điểm) Cho tam gíac ABC vng tại A , đường tròn (O) đường kính AB, cắt đường tròn(O’) đường kính AC tại D . M là điểm chính giữa cung nhỏ DC, AM cắt đường tròn(O) tại N, cắt BC tại E. a . Chứng minh O, N,O’ thẳng hàng. b . Gọi I là trung điểm MN , chứng minh góc OIO’ vng. * Giám khảo tự vẽ hình a . CM tam giác ABE cân đỉnh B => BN vừa là đường cao vừa là trung tuyến => NA = NE Có OA=OB, O’A =O’C => O,N,O’ thẳng hàng b. O’M ⊥ BC => O’M ⊥ OO’ => Tam giác NO’M vng => NI =IO’ = IM => · 'IO N = · 'O NI = · ANO = · NAO => Tứ giác OAO’I nội tiếp=> góc OIO’ vng 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Trên đây là lời giải tốn tắt khi chấm giám khảo xem các bước cụ thể của bài làm. Nếu học sinh giải theo cách khác cho kết qủa đúng giám khảo thống nhất các bước chấm điểm. điểm tồn bài làm tròn đến 0.5. PHÒNG GIÁO DỤC KRƠNG NĂNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC:2007- 2008 KHỐ NGÀY: 27-02- 2008 MÔN: TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút ( khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ 1 Bài1: (3điểm) a). Chứng minh rằng: Với a > b > 0, ta có: 2008 2008 2007 2007 2008 2008 2007 2007 a b a b a b a b − − > + + . b). Tìm các số ngun x, y thỏa mãn đẳng thức: 2y 2 x + x + y + 1 =x 2 + 2y 2 + xy . Bài2: (3điểm)Cho hệ phương trình :    =−+ +=−+ 2)1( 1)1( ymx myxm với m là tham số. a) Giải hệ phương trình với m = 2 b) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm c) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm (x,y) sao cho tổng x+ y đạt giá trị nhỏ nhất. Bài3: (3điểm) Cho ba số x,y,z ≠ 0 thỗ mãn đẳng thức : zyzxyx +++=+ . Chứng minh rằng: zyx 111 ++ = 0 Bài4: (2điểm) Cho A = a 2 + b 2 + c 2 ; trong đó a,b là hai số tự nhiên liên tiếp và c = a.b. Chứng minh rằng: A là một số tự nhiên lẻ. Bài5: (3điểm) a) Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương. b) Tìm nghiệm ngun dương của phương trình: x( y – 2) + 3y = 27. Bài6:(3điểm) Hãy tìm trong tam giác ABC một điểm M sao cho tích các khoảng cách từ đó đến ba cạnh của tam giác có giá trị lớn nhất. Bài7: (3điểm) Cho đường tròn tâm O và điểm M ở trên đ ường tròn đó. Đường tròn tâm M cắt đường tròn tâm O tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi C là điểm ở trên đường tròn tâm M và ở miền ngoài đ ường tròn tâm O. Đường thẳng AC cắt đường tròn tâm O ở D. Chứng minh: MD vuông góc với BC. Hết PHÒNG GIÁO DỤC KRÔNG NĂNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM _ MÔN TOÁN( ĐỀ 1) Bài1: (3điểm) a). Chứng minh bài toán trung gian sau:” Nếu a> b> 0 và m, n là hai số tự nhiên sao cho m > n thì: m m n n m m n n a b a b a b a b − − > + + 2 2 m m m n n n m m n n a b b a b b a b a b + − + − ⇔ > + + 2 2 1 1 m n m m n n b b a b a b ⇔ − > − + + (0,5đ) 2 2 m n m m n n b b a b a b ⇔ − > − + + m n m m n n b b a b a b ⇔ < + + (0,25đ) 1 1 m m n n m n a b a b b b ⇔ < + + 1 1 1 1 m n m n a a b b ⇔ < + + 1 1 m n m n a a b b ⇔ + > + m n a a b b     ⇔ >  ÷  ÷     (*) (0,5đ) V ới a > b > 0; m > n thì BĐT (*) luôn đúng. Vậy với m = 2008, n = 2007 ta luôn có BĐT: 2008 2008 2007 2007 2008 2008 2007 2007 a b a b a b a b − − > + + (0,25đ) b). Ta có: 2y 2 + x + y + 1 = x 2 + 2y 2 + xy ⇔ 2y 2 (x - 1) – x(x - 1) – y(x - 1) + 1 = 0 (1) (0,5đ) -Vì x = 1 không là nghiệm của (1). Khi đó chia hai vế của (1) cho x – 1, ta có: 2 1 2 0 1 y x y x − − + = − (2) (0,25đ) -Với x, y nguyên. Suy ra: 1 1x − nguyên nên x – 1 = 1 hoặc x – 1 = -1 2 0 x x =  ⇔  =  (0,5đ) -Thay x = 2 và x = 0 vào (2), ta có: y = 1 hoặc y = 1 2 và y ∈ Z. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên là (2;1) và (0;1). (0,25đ) Bài2: (3điểm) a) Khi m=2 thì hệ phương trình đã cho trở thành:    =+ =− 2 33 yx yx (0,25đ) Hệ phương trình có nghiệm:        = = 4 3 4 5 y x (0,75đ) b) Ta có: y = (m+ 1)x – (m –1) Do đó: x + (m 2 – 1)x – (m 2 –1 ) = 2 ⇔ m 2 x = m 2 + 1 (*) (0,5đ) Nếu m ≠ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất: 22 2 1 ; 1 m m y m m x + = + = (0,25đ) Nếu m = 0 thì hệ vô nghiệm (0,25đ) Vậy với m≠ 0 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất c) Ta có: 2 2 21 1 2 m mm mm yx ++= ++ =+ (0,25đ) Đặt m a 1 = thì: 8 7 8 7 4 1 2 8 7 16 1 2 221 2 22 ≥+       +=+       ++=++=+ a a aaayx (0,5đ) Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng x + y là 8 7 khi 4 1 −=a tức là khi m = - 4 (0,25đ) Bài3: (3điểm) Điều kiện: x+y; y + z ; x + z ≥ 0 (0.5đ) Xét: zyzxyx +++=+ (1) Bình phương hai vế của(1) ta được: ( ) )( zyzx ++ = - z (2) (0.75đ) Do đó: z < 0 => x, y > 0 (0.5đ) Bình phương hai vế của (2) ta được: (x + z)(y + z) = z 2 (0.5đ)  xy + xz + yz = 0 (0.25đ)  zyx 111 ++ = 0 (0.5đ) Bài4: (2điểm) Ta có: A = a 2 + b 2 + c 2 = a 2 + (a+1) 2 + a 2 (a+1) 2 (0.75đ) = 2a 2 +2a + 1+ a 2 (a+1) 2 =2a(a+1) + 1 + a 2 (a+1) 2 = ( ) 2 1 1a a + +    (0.75đ) Vậy: ( 1) 1A a a= + + là số tự nhiên lẻ (0.5đ) Bài5: (3điểm) a)Ta có:      =− =+ 2 2 65 24 hn kn 6524 22 +=−⇔ hk ( )( ) 89.189 ==+−⇔ hkhk (0,75đ)    = = ⇒    =− =+ ⇔ 44 45 1 89 h k hk hk (0,5đ) Vậy: n = 45 2 – 24 = 2001 (0,25) b)Ta có: x(y-2)+3y = 27 ⇔ x(y-2)+3(y-2) = 21 ⇔ (y-2)(x+3) = 21 (0,75đ) 3 7 2 3 x y + =  ⇔  − =  hoặc : 3 21 2 1 x y + =   − =  4 5 x y =  ⇔  =  hoặc : 18 3 x y =   =  (0,5đ) Vậy : Nghiệm nguyên dương của phương trình là : (4 ;5) ; (18 ;3) (0,25đ) Bài6:(3 điểm) Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ M đến ba cạnh BC, CA, AB;h a , h b , h c là các đường cao tương ứng. (0,5đ) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b c S MBC x S ABC h S AMC y S ABC h S AMB z S ABC h = = = (0,75đ) Suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) a b c x y z S MBC S MAC S MAB S ABC h h h S ABC S ABC + + + + = = = (0,5đ) Vì ba số : , , a b c x y z h h h có tổng không đổi .Nên: . . a b c x y z h h h lớn nhất , ,x y z ⇔ lớn nhất. (0,5đ) 1 3 a b c x y z h h h ⇔ = = = . Lúc đó: M là trọng tâm của ABC. (0,75đ) Bài7: (3điểm) a) Trường hợp1: M và D nằm cùng phía đối với đường thẳng AB Trong đường tròn tâm O ta có: DMBDAB ˆ ˆ = ( cùng chắn cung BD) (0,25đ) Trong đường tròn M ta có: CMBCAB ˆ 2 1 ˆ = (quan hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cùng chắn cung BD) (0,25đ) Suy ra: CMBDMB ˆ 2 1 ˆ = (0,25đ) Ta lại có: BMC cân tại M (MB =MC = bán kính) (0,25đ) Do đó: phân giác MD đồng thời là đường cao (0,25đ) Vậy: BCMD ⊥ Trường hợp2: M và D nằm khác phía với AB. Kẻ đường kính ME của đường tròn tâm O. Gọi H là giao điểm của MD và BC (0,25đ) Trong đường tròn tâm M ta có: EMABMABCA ˆˆ 2 1 ˆ == (0,25đ) Trong đường tròn tâm O ta có: MDAMEA ˆˆ = ( cùng chắncung AM ) (0,25đ) Do đó: AME đồng dạng với HCD (g-g) (0,25đ) Suy ra: 0 90 ˆ ˆ == MAECHD (0,25đ) a) b) (0,5đ) M C B A D C M O B A E H B D A C M O Vậy: MD ⊥ BC Chú ý: Các cách giải khác nếu đúng vẫn ghi điểm tối đa. PHÒNG GIÁO DỤC GIA VIỄN TRƯỜNG THCS GIA PHƯƠNG Mà KÍ HIỆU T-DH01-HSG9-09 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 2009-2010 Môn thi : TOÁN Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề (Đề này gồm 06 câu trên 01 trang) Câu 1 : 3,5điểm 1/ Tính : A = 5210452104 +−+++ 2/ Cho a, b, c thoả mãn: a b c b c a c a b c a b + − + − + − = = Tính giá trị biểu thức: P = 1 1 1 b c a a b c     + + +  ÷ ÷ ÷     Câu 2: 3,5điểm 1/ Cho ba số x, y, z tuỳ ý. Chứng minh rằng 2 2 2 2 3 3 x y z x y z+ + + +   ≥  ÷   2/ Chứng minh rằng nếu 1 1 1 2 a b c + + = và a + b + c = abc thì ta có 2 2 2 1 1 1 2 a b c + + = Câu 3: 4điểm 1/ / Giải phương trình : 12428 1 4 2 36 −−−−= − + − yx yx 2/ Tìm giá trị cuả m để hệ phương trình 2 3 5 mx y x my − =   + =  có nghiệm thoả mãn hệ thức : 2 2 1 3 m x y m + = − + Câu 4: 5điểm 1/ Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác AD a) Chứng minh hệ thức: 2 1 1 AD AB AC = + b) Hệ thức trên thay đổi như thế nào nếu đường phân giác trong AD bằng đường phân giác ngoài AE 2/ Cho tam giác ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác.Biết IA =2 5 cm, và IB = 3cm. Tính độ dài AB. Câu 5: 2điểm Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Chứng minh rằng: sin 2 2 A a bc ≤ Câu 6: 2điểm Tìm các giá trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: ( y + 2 ). x 2 + 1 = y 2 Hết [...]...PHỊNG GIÁO DỤC GIA VIỄN TRƯỜNG THCS GIA PHƯƠNG -Mà KÍ HIỆU T-DH01 -HSG9 -09 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 2009-2010 Mơn thi : TỐN Thời gian: 150phút khơng kể thời gian giao đề (Hướng dẫn chấm này gồm 5 trang) - Câu Đáp án 1 (2điểm) Vì 4 + 10 + 2 5 > 0; 4 − 10 + 2 5 > 0 ⇒ A > 0 Điể m (1) A2... trường hợp ta đều có : ANP = · · · · · » ACP (chắn AP ) và ACP = NMC ⇒ ANP = NMC , chúng ở vị trí so le nên AN // BC Do ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) cho trước và AN // BC với N ∈ (O) nên điểm N cố định Vậy PM đi qua điểm N cố định PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯƠNG THỦY ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2008 – 2009 MƠN TỐN 9 Thời gian làm bài : 150 phút (khơng kể thời gian phát đề) Câu 1... là đường tròn có bán kính nhỏ nhất thở điều kiện bài tốn Người gửi: Lương Quang Dương Phòng phổ thơng- Sở Giáo Dục Đồng Nai PHỊNG GD&ĐT HƯƠNG THỦY KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN 2008 - 2009 Mơn thi: Tốn – Lớp 9 Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Câu 1: (4điểm) a/ Chứng minh rằng: 2+ 3 2 + 2+ 3 + 2− 3 2 − 2− 3 = 2 b/ Giải hệ phương trình gồm hai phương trình sau: 1 1 + 2 = 1 (1) và x 2 − 1... CHÚ Ý : - Nếu học sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm của ý đó - Khi học sinh làm phải lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa theo ý đó HẾT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2006-2007 Câu 1 (3,0 điểm) Tìm các nghiệm của đa thức: P ( x) = x 4 − x 3 − 7 x 2 + 6 x + 6 Câu 2 (3,5 điểm) So sánh 123 − 22 2 + 3 77 2 − 155... + ≥5 xy xy x = y 1 ⇔x=y= DÊu b»ng x¶y ra khi  2 x + y = 1 0,25 0,25 -HÕt Phßng gi¸o dơc vµ ®µo t¹o §Ị thi häc sinh giái hun CÈm Giµng n¨m häc 2009 – 2010 M«n: To¸n líp 9 Thêi gian lµm bµi: 150 phót Ngµy thi: 30 th¸ng 9 n¨m 2009 C©u 1: (3 ®iĨm) a) Rót gän c¸c biĨu thøc sau: A= 2 4 + 5 − 21 − 80 10 + 2 ; B = 5 − 7 − 5 + 7 + 10 − 6 2 b) T×m n ∈ ¥ * tho¶... sau: 1 1 + 2 = 1 (1) và x 2 − 1 + y 2 − 1 = xy + 2 (2) 2 x y Câu 2: (6 điểm) a/ Tìm nghiệm tự nhiên (x; y) của phương trình: (x2 + 4y2 + 28)2 = 17(x4 + y4 + 14y2 + 49) b/ Tìm n ∈ Z để n + 26 và n – 11 đều là lập phương của số ngun dương c/ Cho biểu thức A = x2 + xy + y2 – 3x – 3y + 3002 Tìm giá trị x và y để A đạt min Câu 3: (2điểm)  x+3 + y−2 =5 Giải hệ phương trình:  (x + 3)(y − 2) = −6 Câu 4:... tròn đi qua M và tiếp xúc với AC tại C, hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là P Chứng minh rằng: P ∈ (O) và đường thẳng PM ln đi qua một điểm cố định khi M di động trên BC - Hết - ĐÁP ÁN TỐN HSG HUYỆN 2008 - 2009 Câu 1: a/ (2 đ) Để ý rằng 2 + 3 = Vế trái: 2( 2+ 3 2 + 2+ 3 + 4 + 2 3 ( 3 + 1)2 ( 3 − 1)2 = Tương tự thì 2 – 3 = 2 2 2 2− 3 2 − 2− 3 = 2+ 3 + 2 + ( 3 + 1) : 2 2− 3 = 2 − ( 3 − 1)... thay vào (3) ta có được: x 2 + y2 = 4 ⇔ (x + y)2 – 2xy = 4 ⇔ (x x = 2 x = − 2 x + y = ± 2 2   + y)2 = 8 ⇔ x + y = ± 2 2 Giải hệ  ⇔  hoặc  Các giá trị x; y y = 2 y = − 2  xy = 2   tìm được đều thỏa điều kiện nên được chọn * Nếu xy + 1 = 0 hay xy = – 1 thì thay vào (3) ta có được x 2 + y2 = 1 ⇔ (x + y)2 – 2xy = 1 ⇔ (x + y)2 = – 1 < 0: Vơ lý Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là: (x;... + 7) + 16(y2 + 7)2 = 17x4 + 17(y2 + 7)2 ⇔ 16x4 – 8x2(y2 + 7) + (y2 + 7)2 = 0 ⇔ [4x2 – (y2 + 7)]2 = 0 ⇔ 4x2 – y2 – 7 = 0 ⇔ (2x – y)(2x + y) = 7 (1) Vì x; y ∈ N nên 2x – y ≤ 2x + y và 2x + y ≥ 0, chúng đều có giá trị ngun nên suy được  2x + y = 7 x = 2 ⇔  Vậy phương trình có một nghiệm tự nhiên là: (2; 3)   2x − y = 1 y = 3 Cách khác: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacovski để có: [1x2 + 4(y2 + 7)]2... + 3 = −3 *Giải hệ (II): Hệ (II) ⇔  hoặc  ⇔  y − 2 = −2 y − 2 = 2 x = 0  x = −6 hoặc   y = 0 y = 4 Vậy hệ PT đã cho có 4 nghiệm là: (–1; –1); (– 5; 5); (0; 0); (– 6; 4) · · Câu 4 a/ Theo giả thi t: AEC = ADC = 900 Tứ giác AEDC có hai đỉnh kề D và E cùng nhìn đoạn · · · · AC dưới một góc 900 nên nội tiếp đường tròn ⇒ BAC = BDE (cùng bù với EDC ), mà BAC = · » BMC (góc nội tiếp cùng chắn BC . THCS GIA PHƯƠNG Mà KÍ HIỆU T-DH01 -HSG9 -09 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 2009-2010 Môn thi : TOÁN Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề (Đề này gồm 06 câu trên 01 trang) . PHƯƠNG Mà KÍ HIỆU T-DH01 -HSG9 -09 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 2009-2010 Môn thi : TOÁN Thời gian: 150phút không kể thời gian giao đề (Hướng dẫn chấm này gồm 5. GIÁO DỤC KRƠNG NĂNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC:2007- 2008 KHỐ NGÀY: 27-02- 2008 MÔN: TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút ( khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ 1 Bài1: (3điểm) a). Chứng