Sở Giáo dục - Đào tạo thái bình Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên Năm học 2010 - 2011 Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (2,5 điểm) 1. Giải phơng trình: (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) 3 = 0 2. Tính giá trị của biểu thức A = (x 3 3x 3) 2011 với 1 + 3 3 2 - 3 2 - 3 x = Bài 2. (2,0 điểm) Cho hệ phơng trình: ax + by = c bx + cy = a cx + ay = b (a, b, c là tham số) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hệ phơng trình trên có nghiệm là: a 3 + b 3 + c 3 = 3abc Bài 3. (2,0 điểm) 1. Tìm các số nguyên dơng x, y thoả mãn: ( ) x = 2x x - y + 2y - x + 2 2. Cho đa thức P(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a 0). Biết rằng P(m) = P(n) (m n). Chứng minh: mn 2 2 4ac- b 4a Bài 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O. Gọi I là điểm trên cung nhỏ AB (I không trùng với A và B). Gọi M, N, P theo thứ tự là hình chiếu của I trên các đờng thẳng BC, CA và AB. 1. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng. 2. Xác định vị trí của I để đoạn MN có độ dài lớn nhất. 3. Gọi E, F, G theo thứ tự là tiếp điểm của đờng tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh BC, CA và AB. Kẻ EQ vuông góc với GF. Chứng minh rằng QE là phân giác của góc BQC. Bài 5. (0,5 điểm) Giải bất phơng trình: + + + + + 3 3 2 3 2 4 3 2x 4x 4x 16x 12x 6x 3 4x 2x 2x 1 Hết Họ và tên thí sinh:. Số báo danh:. Sở Giáo dục - Đào tạo thái bình Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên Năm học 2010 - 2011 Đáp án - biểu điểm môn Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin) (Đáp án gồm 05 trang) Bài ý Nội dung điểm đề chính thức Bài 1 1. Giải phơng trình: (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) 3 = 0 2.Tính giá trị của biểu thức A = (x 3 3x 3) 2011 với 1 + 3 3 2 - 3 2 - 3 x = (2.5đ) 1) (1.5đ ) 2 2 ( 5 4)( 5 6) 3 0PT x x x x + + + + = 0.25 Đặt 2 2 5 9 9 5 4 ( ) 2 4 4 t x x x= + + = + Ta có PT: ( 2) 3 0t t + = 0.5 { } 2 2 3 0 3;1t t t + = . Vì 9 4 t nên 1t = 0.5 Do đó 2 5 13 5 4 1 2 x x x + + = = Vậy PT đã cho có hai nghiệm 5 13 2 x = 0.25 2) (1.0đ ) Đặt 3 3 3 3 1 2 3 2 3 4 2 3 1 1 2 3 a a b b ab = + = + = = = 0.5 Ta có 3 3 3 3 ( ) 3 ( ) 4 3x a b a b ab a b x= + = + + + = + 3 3 2011 3 4 ( 3 3) 1x x A x x = = = 0.5 Bài 2 Cho hệ phơng trình: ax + by = c bx + cy = a cx + ay = b (a, b, c là tham số) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hệ phơng trình trên có nghiệm là: a 3 + b 3 + c 3 = 3abc (2.0đ) Điều kiện cần : Giả sử HPT đã cho có nghiệm (x ; y) . Khi đó 3 3 3 2 2 2 . . .a b c a a b b c c+ + = + + 0.5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) bx cy a cx ay b ax by c a bx ab y ac x ca y b cx bc y = + + + + + = + + + + + 0.5 ( ) ( ) ( ) 3 ab ax by ca cx ay bc bx cy abc cab bca abc = + + + + + = + + = 0.5 Điều kiện đủ: Giả sử 3 3 3 3 3 3 ( ) 3 ( ) 3 0 a b c a bc a b c ab a b abc + + = + + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 a b c a b c a b c ab a b c a b c a b b c c a a b c a b c a b c a b b c c a + + + + + + + = + + + + = + + = + + = = = + + = 0.25 a+b+c=0 , nhận thấy HPT có nghịêm : x = y = -1 a=b=c , nhận thấy HPT có nghiệm : x = 0 ; y=1 (hoặc x = 1 ; y = 0) Vậy nếu 3 3 3 3a b c a bc+ + = thì HPT đã cho có nghiệm 0.25 Bài 3 1. Tìm các số nguyên dơng x, y thoả mãn: ( ) x = 2x x - y + 2y - x + 2 2. Cho đa thức P(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a 0). Biết rằng P(m) = P(n) (m n). Chứng minh: mn 2 2 4ac - b 4a (2.0đ) 1) Vì x > 0 nên ( ) x = 2x x - y + 2y - x +2 ( ) 2 x = 2x x - y + 2y - x + 2 0.25 2 2 ( 1) 2 (1)y x x x = + x = 1 , (1) không đợc thoả mãn 0.25 1x , 2 (1) 2 1 y x x = + Vì x, y * + Z { } * * 1 1; 2 2 ( 1) x x x x + + M Z Z 0.25 { } 2;3x .Hai giá trị này của x thay vào (1) đều cho y = 2 Vậy các giá trị nguyên dơng x, y cần tìm là 2x y= = và 3 2 x y = = 0.25 2) Do P(m) = P(n) nên 3 2 3 2 am bm cm d an bn cn d+ + + = + + + 0.5 3 3 2 2 ( ) ( ) ( ) 0a m n b m n c m n + + = 2 ( ) ( ) ( ) 0m n a m n b m n amn c + + + + = ( Do m n ) 2 ( ) ( ) 0a m n b m n amn c + + + + = (vì m n ) 0.25 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 0 4 2 2 4 ( ) 4 b c mn m n m n a a ac b b c c b b mn m n m n m n a a a a a a ac b mn dpcm a = + + + + = + + + + + = + + ữ ữ 0.25 Bài 4 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O. Gọi I là điểm trên cung nhỏ AB (I không trùng với A và B). Gọi M, N, P theo thứ tự là hình chiếu của I trên các đờng thẳng BC, CA và AB. 1. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng. 2. Xác định vị trí của I để đoạn MN có độ dài lớn nhất. 3. Gọi E, F, G theo thứ tự là tiếp điểm của đờng tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh BC, CA và AB. Kẻ EQ vuông góc với GF. Chứng minh rằng QE là phân giác của góc BQC. 3.0 1) Từ giả thiết có ã ã 180IPA INA+ = o Tứ giác IPAN nội tiếp ã ã (1)IPN IAN = (cùng chắn cung IN) 0.75 Lại do ã ã 90IPB IMB = = o Bốn điểm I , P , M , B nằm trên đờng tròn đ- ờng kính BI ã ã 180 (2)MPI IBM + = o 0.5 Vì ( ) ã ã 180 (3)I O CAI IBM + = o Từ (2) và (3) ã ã (4)MPI CAI = 0.25 Từ (4) và (1) ã ã ã ã 180MPI IPN CAI IAN + = + = o Vậy M , P , N thẳng hàng . 0.25 2) Theo chứng minh trên ta có ã ã (5)IBA IMN= (góc nội tiếp cùng chắn cung IP của đờng tròn qua 4 điểm I , B , M , P) ã ã (6)INM IAB= (góc nội tiếp cùng chắn cung IP của đờng tròpn qua 4 điểm I , N , A , P) Từ (5) và (6) IMN IBA : 0.25 1 MN IM IN MN AB BA IB IA = = 0.25 N M P O B C A I Bài 5 Dấu "=" xảy ra ã ã 90 M B IAC IBC CI N A = = o là đờng kính của ( ) O .Vậy MN nhỏ nhất bằng AB I đối xứng với C qua O . 0.25 3 ) Gọi B' , C' lần lợt là hình chiếu của B và C trên GF . Chứng minh đợc ã ã ' ' (7)B GB C FC= , suy ra ' ' ( . )BB G CC F g g : ' (8) ' BB BG CC CF = 0.25 Lại có ' (9) ' BG BE B Q CF CE QC = = Từ (8) và (9) suy ra ' ' ' ' BB B Q CC QC = (10) Từ (7) và (10) ã ã ã ã ' ' ( . . ) ' 'BB Q CC Q c g c BQB CQC BQE CQE = =: Vậy QE là phân giác của góc BQC . 0.25 Giải bất phơng trình: 3 2 3 2 4 33 2 4 4 16 12 6 3 4 2 2 1x x x x x x x x x+ + + + + 0.5 ĐKXĐ: 2x 3 +4x 2 +4x=x(x 2 +(x+2) 2 ) 0 x 0 BPT ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 2 1 2 1 2 1x x x x x x x x+ + + + + + + + Đặt A = 3 2 2 4 4 2 1x x x x+ + + + B = ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 3 23 3 2 1 2 1 16 12 6 3 16 12 6 3x x x x x x x x+ + + + + + + + Với x 0, ta có A 1,B > 0.Vì vậy BPT ( ) ( ) ( ) 3 3 3 4 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x A B + 0.25 C' B' Q B C A G F E ( ) 3 1 4 2 1 2 0 A x x A B ữ Vì 1 4 1 0; 0 2 0 A A B x A B > < . Do đó 1 4 2 0 A x A B < . Thành thử . BPT 3 3 1 2 1 0 2 x x Kết hợp ĐKXĐ ta đợc nghiệm của BPT là 3 1 0 2 x 0.25 Chú ý : +) Tổ chấm thảo luận để thống nhất biểu điểm chi tiết +) Khi chấm yêu cầu bám sát biểu điểm +) Mọi cách giải khác đúng vẫn cho tối đa theo thang điểm +) Điểm toàn bài không làm tròn ( lấy đến 0.25