Đề Thi Tốt NGhiệp CDSP Toán Tin 2010

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO GIA LAI TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM ĐỀ THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010 (1) Hệ :Cao đẳng Sư phạm Ngành :Toán- Tin Môn : Toán và Phương pháp giảng dạy Toán Thời gian : 150 phút(không kể thời gian phát đề) 0O0 Câu 1: (3 điểm) Cho ánh xạ f: 3 3 R R→ xác định như sau: 3 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 ( , , ) : ( ) (2 ; 2 3 ;3 2 2 )x x x x R f x x a x x x x x x∀ = ∈ = + − + − − + 1. Xác định a để f là một ánh xạ tuyến tính trên R 3 . 2. Với a vừa tìm được ở trên tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc trong R 3 . Câu 2: (1 điểm) Tìm điều kiện của a để hệ phương trình sau có nghiệm: 1 1 1 ax y z x ay z x y az + + =   + + =   + + =  Câu 3: (3 điểm) 1. Cho n là số nguyên tố, n>3. Chứng minh rằng 2 1 24n − M . 2. Cho X là vành giao hoán có đơn vị, a,b thuộc X. Chứng minh A={xa+yb|x,y ∈ X} là một iđêan của X và nó là iđêan bé nhất chứa B={a,b}. Câu 4: (3 điểm) 1. Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AH,BI,CK. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 os os os HIK ABC S C A C B C C S ∆ ∆ = − − − . 2. Trình bày các bước cần thiết khi giải một bài toán. Hết ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1 Câu1 1.Đặt x=(x 1 ,x 2 ,x 3 ) ; y=(y 1 ,y 2 ,y 3 ) để f là một ánh xạ tuyến tính thì f(x+y)=f(x)+f(y) 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 2( ) 2 2 2( ) 3( ) ( ) 2 3 3( ) 2( ) 2( ) 3 2 2 3 2 2 x y a x a y a x y x y x y x x x x y x y x y x x x y y y + + = + + +   ⇔ − + + + − + = − + −   + − + + + = − + + − +   2a=a  a=0 0,5 0,5 0,5 2.Ta có f(1,0,0)=(2,-2,3); f(0,1,0)=(0,3,-2); f(0,0,1)=(0,-1,2) 2 0 0 2 3 1 3 2 2 A    ÷ = − −  ÷  ÷ −   1 0,5 Câu2 Ma trận 1 1 1 1 1 1 1 , 1 1 1 1 1 1 1 1 a a A a B a a a      ÷  ÷ = =  ÷  ÷  ÷  ÷     Xét định thức D= 1 1 1 1 1 1 a a a =a 3 -3a+2=(a-1) 2 (a+2) + Nếu a#1, a#-2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất. + Nếu a=1 ta có hạng(A) = hạng(B) = 1. Vậy với a = 1 hệ đã cho có nghiệm. + Nếu a = -2, ta có: D = 0 và ⇒≠= − − = 03 2 1 1 2 1 D hạng(A) = 2. Xét định thức cấp 3 của ma trận B: ⇒≠=− − = 09 1 1 1 1 2 1 1 1 2 3 D hạng(B) = 3 => hạng(A) ≠ hạng(B). Vậy với a = -2 hệ đã cho vô nghiệm * Vậy để hệ trên có nghiệm thì a ≠ -2. 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu3 1.Ta có n 2 -1=(n-1)(n+1) 0,25 Vì n là số nguyên tố lớn hơn 3 nên n-1 và n+1 là hai số chẵn liên tiếp, suy ra (n-1)(n+1) M 8 (1) Ta có ( 1)( 1) 3 ( 1)( 1) 3 (2) ( ;3) 1 n n n n n n + −  ⇒ − +  =  M M Từ (1) và (2) suy ra n 2 -1 M 3.8 => n 2 -1 M 24 0,25 0,25 0,25 0,5 2. , ' , ' ' ' , , ', 'z z A z xa yb z x a y b voi x y x y X∀ ∈ ⇒ = + = + ∈ Ta có z-z’=(x-x’)a+(y-y’)b ∈ A (1) vì x-x’,y-y’ ∈ X 1 1 1 1 1 1 , ( ) ( ) ( ) (2)x X z A x z zx x xa yb x x a x y b A∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ = = + = + ∈ Từ (1) và (2) ta có A là idean của X. Gọi 1 là phần tử đơn vị của vành X. Ta có 1. 0 0 1 a b A a A a b A b A B A + ∈ ⇒ ∈ + ∈ ⇒ ∈ ⇒ ⊂ Gọi A’ là một idean của X và B ⊂ A’. z A z xa yb∀ ∈ ⇒ = + Ta có xa,yb ∈ A’ suy ra ' ' 'xa yb A z A A A+ ∈ ⇒ ∈ ⇒ ⊂ . Vậy A là idean bé nhất của X chứa B. 0,5 0,5 0,25 0,25 Câu4 1.Ta có S HIK =S ABC -S AKI -S BHK -S CHI 1 HIK AKI BHK CHI ABC ABC ABC ABC S S S S S S S S ⇒ = − − − Mà hai tam giác AKI và ABC có góc chung A nên 2 . cos . AKI ABC S AK AI AK AI A S AB AC AC AB = = = Tương tự ta có 2 2 cos , cos BHK CHI ABC ABC S S B C S S = = Vậy 2 2 2 1 os os os HIK ABC S C A C B C C S = − − − 2.Các bước giải bài toán -Tìm hiểu nội dung -Thiết lập chương trình giải -Trình bày bài giải -Kiểm tra, nghiên cứu bài giải. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO GIA LAI TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM ĐỀ THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010 (2) Hệ :Cao đẳng Sư phạm Ngành :Toán- Tin Môn : Toán và Phương pháp giảng dạy Toán Thời gian : 150 phút(không kể thời gian phát đề) 0O0 Câu 1: (3,5 điểm) Cho ánh xạ f: R 3 → R 3 xác định như sau: f(x;y;z)=(x-y;0;z) a) Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính. b) Tìm Imf; kerf. c) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc. Câu 2: (2 điểm) Cho tập hợp { } ( ; ) | , , 0G a b a b R a= ∈ ≠ .Trên G xác định phép toán * như sau : (a;b)*(a’;b’)=(aa’;ab’+b) 1. Chứng tỏ (G;*) là một nhóm không giao hoán. 2. Cho f: G→R\{0} xác định bởi f(a;b)=a. Chứng minh rằng ,x y G∀ ∈ , ta có f(x*y)=f(x).f(y). Câu 3: (2 điểm) 1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 5x+7y=112. 2. Chứng minh rằng A=5 n (5 n +1)-6 n (3 n +2 n ) M 91 n N∀ ∈ . Câu 4: (2,5 điểm) 1. Cho tam giác ABC đều, M là điểm di động trên cạnh BC. Qua M vẽ các đường thẳng song song với AB, AC và cắt AC, AB lần lượt tại I,J. Tìm quỹ tích điểm N là trung điểm của đoạn IJ. 2. Nêu các yêu cầu của việc dạy học định lý. Hết ĐÁP ÁN Câu 1 Cho ánh xạ f: R 3 → R 3 xác định như sau: f(x;y;z)=(x-y;0;z) a) 3 , R∈∀ βα );;();;;( 222111 zyxzyx == βα ta có : )()( βα ff + (1) )()( ββ kfkf = (2). Từ (1) và (2) ta có f là axtt. b) Imf=Rx{0}xR Kerf = {(a;a;0) 3 R∈ } c)f(e 1 )=(1;0;0); f(e 2 ) = (-1;0;0); f(e 3 ) = (0;0;1). Ma trận của f đối với cơ sở chính tắc {e 1 ;e 2 ;e 3 } là A =           − 100 000 011 . 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu2 1. Tính chất kết hợp Phần tử đơn vị (1;0) ∈ G Phần tử đối của (a;b) là 1 ; b a a −    ÷   Vậy (G,*) là một nhóm. Nhóm này không giao hoán vì có (1;2)*(3;4)=(3;6) # (3;4)*(1;2)=(3;10) 2. ( , ), ( ', ')x a b y a b G∀ = = ∈ ta có +f(x)f(y)=a.a’ +f(x*y)=f(aa’;ab’+b)=aa’ => f(x*y)=f(x).f(y) 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 Câu3 1.Ta có 5x+7y=112 => 2(1 ) 22 5 y x y − = − + (1) Để x là số nguyên thì 2(1-y) M 5, mà (2;5)=1 nên 1-y M 5 => y có tận cùng bằng 1 hoặc 6 (2) Vì x,y là các số nguyên dương nên 5x>0 => 0<7x<112  0<y<16 (3) Từ (2) và (3) suy ra y=1,y=6 hoặc y=11 Thay y vào (1) ta có : y= 1 => x=21; y=6 =>x=14; y=11 =>x=7. Vậy phương trình có các nghiệm nguyên dương là (21;1), 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (14;6),(7,11). 2.Ta có A=25 n +5 n -18 n -12 n và 91=7.13 Do (7,13)=1 nên ta cần chứng minh A chia hết cho 7 và cho 13. +A=(25 n -18 n )-(12 n -5 n ) Do 25 n -18 n M 25-18=7 và 12 n -5 n M 12-5=7 nên A M 7 + A=(25 n -12 n )-(18 n -5 n ) Do 25 n -12 n M 25-12=13 và 18 n -5 n M 18-5=13 nên A M 13 Vậy A M 91 với mọi n là số tự nhiên. Câu4 1.Ta có tứ giác AIMJ là hbh N là trung điểm của IJ nên N là trung điểm của AM NMV A =∃⇒ )( 2/1 M [ ] [ ] ''CBNBC ∈⇒∈ là ảnh của [BC] qua 2/1 A V Vậy quỹ tích điểm N là đoạn B’C’ với B’,C’ là trung điểm của AB, AC. 0,5 0,5 0,5 2. - Nắm được nội dung định lý. - Nhận dạng và thể hiện được định lý. - Biết vận dụng định lý trong giải toán và ứng dụng thực tiễn. - Phát triển năng lực CMĐL. 0.25 0.25 0.25 0.25 . CAO ĐẲNG SƯ PHẠM ĐỀ THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010 (1) Hệ :Cao đẳng Sư phạm Ngành :Toán- Tin Môn : Toán và Phương pháp giảng dạy Toán Thời gian : 150 phút(không kể thời gian phát đề) 0O0 Câu 1:. CAO ĐẲNG SƯ PHẠM ĐỀ THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010 (2) Hệ :Cao đẳng Sư phạm Ngành :Toán- Tin Môn : Toán và Phương pháp giảng dạy Toán Thời gian : 150 phút(không kể thời gian phát đề) 0O0 Câu 1:. 2 1 os os os HIK ABC S C A C B C C S ∆ ∆ = − − − . 2. Trình bày các bước cần thi t khi giải một bài toán. Hết ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1 Câu1 1.Đặt x=(x 1 ,x 2 ,x 3 ) ; y=(y 1 ,y 2 ,y 3 ) để f là một ánh