S GD&T BC NINH TRNG THPT LNG TI 2 THI TH I HC LN III NM HC 2009 2010 Mụn Toỏn Ngy thi: 01/5/2010 Thi gian lm bi 180 phỳt (khụng k thi gian phỏt ) Phần chung cho tất cả các thí sinh. Câu I (2 điểm) Cho hàm số : 1 2 + = x x y (1) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1). 2.Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị (1) đều lập với hai đờng tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi. Câu II (2 điểm) 1.Tìm );0( x thoả mãn phơng trình: Cotx 1 = xx x x 2sin 2 1 sin tan1 2cos 2 + + . 2.Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: mxxxx =+++ 11 22 Câu III (2 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0. 1. Tính khoảng cách từ O đến mp (ABC) 2. Tính thể tích khối đa diện OIBC trong đó I là chân đờng cao kẻ từ C của ABC . Câu IV (2 điểm) 1. Tính tích phân: I = 2 1 10 1 dx x xx 2. Cho x, y, z là các số thực dơng thoả mãn: x + y + z = xyz. Tìm GTNN của A = )1()1()1( zxy zx yzx yz xyz xy + + + + + . Phần riêng. Thí sinh chỉ đợc làm 1 trong 2 câu: V. a hoặc V.b Câu V. a. Dành cho ban Cơ Bản (2 điểm). 1. Giải phơng trình: 25lg)20.155.10lg( +=+ x xx 2.Tính thể tích lăng trụ đều ABC.A ' B ' C ' biết mp(ABC ' ) hợp với đáy góc 60 0 và diện tích tam giác ABC ' bằng 2 3a Câu V. b. Dành cho ban KHTN (2 điểm). 1.Giải bất phơng trình: 32 4 )32()32( 1212 22 ++ + xxxx 2.Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành có AB = a, góc ABC = 30 0 ; hai mặt bên SAD và SBC vuông tại A, C cùng hợp với đáy góc . CMR: (SAC) (ABCD) và tính thể tích khối chóp S.ABCD. Hết Hớng dẫn chấm môn toán Câu ý Nội dung Điểm I 2 1 Khảo sát- vẽ đồ thị (1 điểm) Ta có: 1 3 1 += x y TXĐ: D = R\ {1} Sự biến thiên: + Giới hạn Tiệm cận: += + y x 1 lim = y x 1 lim ĐTHS có tiệm cận đứng: x = 1 1lim = +x y ĐTHS có tiệm cận ngang: y = 1 0,25 + Bảng biến thiên: 'y = 0 )1( 3 2 < x , Dx HS nghịch biến trên các khoảng (- ; 1) và (1; + ) HS không có cực trị 0,5 Đồ thị: KL: Đồ thị hàm số nhận giao hai tiệm cận làm tâm đối xứng. 0,25 2 CMR: Mọi tiếp tuyến diện tích không đổi (1 điểm) Giả sử M + 1 2 ; a a a thuộc đồ thị (1) Tiếp tuyến của (1) tại M: 1 2 ))(( ' + += a a axayy = 2 2 2 )1( 24 )1( 3 + + a aa x a 0,25 TCĐ: x = 1 ( 1 ) ; TCN: y = 1( 1 ) Gọi I là giao 2 tiệm cận I(1; 1) A = d 1 A(1; 1 5 + a a ) ; B = d 2 B(2a-1; 1) 0,25 = 1 6 ;0 a IA IA = 1 6 a ; ( ) 0;22 = aIB IB = 2 1a 0,25 Diện tích IAB : S IAB = IBIA. 2 1 = 6 (đvdt) ĐPCM 0,25 II 2 1 Tìm x );0( thoả mãn pt (1 điểm) §K: −≠ ≠ ⇔ ≠+ ≠ 1tan 02sin 0cossin 02sin x x xx x Khi ®ã pt xxx xx xx x xx cossinsin sincos cos.2cos sin sincos 2 −+ + = − ⇔ xxxxxx x xx cossinsincossincos sin sincos 22 −+−= − ⇔ 0,25 ⇔ )2sin1(sinsincos xxxx −=− ⇔ 0)1sincos)(sinsin(cos 2 =−−− xxxxx 0,25 ⇔ 0)32cos2)(sinsin(cos =−+− xxxx ⇔ 0sincos =− xx ⇔ tanx = 1 )( 4 Zkkx ∈+=⇔ π π (tm) 0,25 ( ) 4 0;0 π π =⇒=⇒∈ xkx KL: 0,25 2 T×m m ®Ó pt cã nghiÖm (1 ®iÓm) XÐt hs: 11)( 22 +−−++= xxxxxf 12 12 12 12 )(' 22 +− − − ++ + = xx x xx x xf ++−=+−+ ≥−+ ⇔= )1()12()1()12( 0)12)(12( 0)(' 2222 xxxxxx xx xf 0,25 = − ≤∨≥ ⇔ )(0 2 1 2 1 lx xx Rxf ∈∀>= ,01)0(' ⇒ HS )(xf ®ång biÕn trªn R. 0,25 1)(lim;1)(lim −== −∞→+∞→ xx xfxf 0,25 PT cã nghiÖm khi: -1 < m < 1. 0,25 III 2 1 TÝnh kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn (ABC) (1 ®iÓm) PT mp(ABC): 1=++ c z b y a x 0,5 0=−++⇔ abcabzcaybcx O,25 ( ) 222222 )(, accbba abc ABCOd ++ = 0,25 2 TÝnh thÓ tÝch khèi ®a diÖn OIBC (1 ®iÓm) → AB = ( ) 0;;ba− PTTS cña AB: = = −= 0z bty atax 0,25 )0;;( btataIABI −⇒∈ ⇒ → IC = ( ) cbtaat ;;−− → IC ⊥ → AB → ⇔ IC . → AB = 0 22 2 222 0)( ba a ttbaa + =⇔=+−⇔ ⇒ ++ 0;; 22 2 22 2 ba ba ba ab I ( ) 0;0; 00 0 ; 0 00 ; 0 0 , bc b cc b OCOB = = →→ 22 3 ., ba cab OIOCOB + = ⇒ →→→ ( ) 22 3 6 ., 6 1 ba cab OIOCOB V OIBC + = = →→→ (®vtt) 0,25 0,25 0,25 IV 2 1 Tính tích phân (1 điểm) Đặt tdtdxxtxt 211 2 === Đổi cận: x = 1 0= t x = 2 1= t 0,25 Khi đó: dt t t t dttt I ++= + = 1 0 2 2 1 0 2 22 9 90 102 9 2)1( 0,25 = 1 0 1 0 3 3 3 ln3010 3 2 + + + t t t t = 2ln30 3 62 2 1 ln30 3 62 =+ 0,5 2 Tìm GTNN (1 điểm) Cách 1: CM: Với mọi a, b > 0 thì + + baba 11 4 11 (1) Dấu = xảy ra ba = A = + + + + + ++ xyzzxyzyxyzxzyx 111111 A = ++ + ++ + ++ ++ yxzxzyzyxzyx 2 1 2 1 2 1111 áp dụng (1) ta có: A + + + + + +++++ yxxzzyzyxzyx 111 2 1 2 1 2 1 4 1111 ++= ++++ zyxzyxzyx 111 4 3111 4 1111 CM: Với mọi a, b, c thì: ( ) ( ) cabcabcba ++++ 3 2 (2) Dấu = xảy ra cba == áp dụng (2) ta có: 3.3 111 3 111 2 = ++ = ++ ++ xyz zyx zxyzxyzyx Do x, y, z > 0 nên 3 111 ++ zyx A 4 33 KL: 4 33 min = A đạt đợc khi 3=== zyx 0,25 0,25 0,25 0,25 Cách 2: A = ++ + ++ + ++ ++ yxzxzyzyxzyx 2 1 2 1 2 1111 Theo CôSi: A ++++ 444 4 1 4 1 4 1111 xyzzxyyzxxyz zyx A ++++++++++ zyxzyxzyxzyx 211121112 16 1111 A ++ zyx 111 4 3 (Cách 1) V.a Dành cho ban Cơ Bản 2 1 Giải phơng trình (1 điểm) PT ( ) ( ) xxx 10.25lg20.155.10lg =+ 0,25 xxx 10.2520.155.10 =+ 0102.254.15 =+ xx 0,25 Đặt )0(2 >= tt x , ta đợc: 15t 2 - 25t +10 = 0 = = )( 3 2 )(1 tmt tmt 0,25 1=t 012 == x x === 3 2 log 3 2 2 3 2 2 xt x KL: 0,25 2 Tính thể tích lăng trụ (1 điểm) Gọi H là trung điểm AB ABHC ABCH ' ( ) 0 60')',()(),'( === CHCHCCHABCABC 22 ' 32'.3 aABHCa S ABC == (1) Xét 'HCC vuông tại C: 3 60cos ' 0 AB HC HC == (2) Từ (1),(2) 6';2 aHCaAB == aHCCC 2 23 60sin'.' 0 == 202 2 3 60sin 2 1 aAB S ABC == 3 '''. 4 63 '. aCC SV ABCCBAABC == (đvtt) 0,25 0,25 0,25 0,25 V.b Dành cho ban KHTN 2 1 Giải bất phơng trình (1 điểm) Bpt ( ) ( ) 43232 22 22 ++ xxxx Đặt ( ) )0(32 2 2 >+= tt xx , ta đợc: 4 1 + t t 014 2 + tt 3232 + t (tm) 0,5 Khi đó: ( ) 323232 2 2 ++ xx 121 2 xx 2121012 2 + xxx KL: 0,5 2 CM: (SAC) (ABCD) và tính thể tích S.ABCD (1 điểm) S CM: (SAC) ⊥ (ABCD): BCSA BCAD ADSA ⊥⇒ ⊥ // )()()( ABCDSACSACBC BCSC ⊥⇒⊥ → ⊥ TÝnh thÓ tÝch: ( ) ( ) α == → ⊥ ⊥ =∩ ACSCABCDSBC ACBC SCBC BCABCDSBC ,)(),( )()( (1) T¬ng tù ( ) ( ) α ==⇒ ACSAABCDSAD ,)(),( (2) Tõ (1), (2) α ==⇒ SCASAC SAC∆ c©n t¹i S )(ABCDSOACSO SOBC ⊥ →⊥⇒ ⊥ ABC∆ vu«ng t¹i C : AC = AB.sin30 0 = 2 a 20 4 3 60sin 2 1 .22 aACAB SS ABCABCD === SOA∆ vu«ng t¹i O: AO = 42 1 a AC = SO = AO.tan αα tan 4 1 4 a= α tan 48 3 . 3 1 3 . aSO SV ABCDABCDS == (®vtt). 0,25 0,25 0,25 0,25 TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM 2010 TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐHSP Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ========================================= Câu 1. ( 2,0 điểm ) Cho hàm số y = 2x 3 + 9mx 2 + 12m 2 x + 1, trong đó m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = - 1. 2. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại x CĐ , cực tiểu tại x CT thỏa mãn: x 2 CĐ = x CT . Câu 2. ( 2,0 điểm ) 1. Giải phương trình: 1+x + 1 = 4x 2 + x3 . 2. Giải phương trình: 5cos(2x + 3 π ) = 4sin( 6 5 π - x) – 9 . Câu 3. ( 2,0 điểm ) 1. Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f(x) = 1 )1ln( 2 32 + ++ x xxx . 2. Cho hình chóp S.ABCD có SA =x và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a. Chứng minh rằng đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC). Tìm x theo a để thể tích của khối chóp S.ABCD bằng 6 2 3 a . Câu 4. ( 2,0 điểm ) 1. Giải bất phương trình: (4 x – 2.2 x – 3). log 2 x – 3 > 2 1 4 +x - 4 x . 2. Cho các số thực không âm a, b.Chứng minh rằng: ( a 2 + b + 4 3 ) ( b 2 + a + 4 3 ) ≥ ( 2a + 2 1 ) ( 2b + 2 1 ). Câu 5. ( 2,0 điểm ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng : d 1 : 2x + y – 3 = 0, d 2 : 3x + 4y + 5 = 0 và d 3 : 4x + 3y + 2 = 0. 1. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d 1 và tiếp xúc với d 2 và d 3 . 2. Tìm tọa độ điểm M thuộc d 1 và điểm N thuộc d 2 sao cho OM + 4 ON = 0 . ……………………………… Hết………………………………… [...]...Đợt thi thử Đại học lần 2 sẽ được tổ chức vào ngày 06 – 07 /03/ 2010 TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II NĂM 2010 TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐHSP _ Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề ==========================================... 1/ Biến đổi : 2log3 ( x2 – 4) = log3 (x2 – 4)2 làm mở rộng tập xác định nên xuất hiện nghiệm ngoại lai x = -2 + 3 2/ Nếu biến đổi: log3( x – 2)2 = 2log3 ( x – 2) hoặc log3( x+2)2 = 2log3(x+2) sẽ làm thu hẹp tập xác định dẫn đến mất nghiệm ( Lỗi phổ biến của học sinh!) Câu 3 1 Tính tích phân: I = π 3 ∫ cos x 0 sin x 3 + sin 2 x dx Đặt t = 3 + sin 2 x = 4 − cos 2 x Ta có: cos2x = 4 – t2 và dt = Đổi . ngày 06 – 07 /03/ 2010