Đề thi vào 10 Chuyên HÀ NAM - Môn TOÁN ( Đề Chung )

Từ điểm chính giữa D của cung BC lớn vẽ đờng kính DE, DE cắt cát tuyến tại K, ET cắt BC tại I a Chứng minh : AT2 = AB.AC b Chứng minh DT là đờng phân giác góc ngoài của đỉnh T của tam gi

Trang 1

Sở giáo dục - đào tạo

hà nam Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam Năm học : 1999-2000

Môn : Toán chung

(Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2,0 đ): Cho biểu thức: M =

1

1 : 1

1

















x

x x

x x x x

x x

a) Rút gọn biểu thức M

b) Tìm số chính phơng x để biểu thức M nhận giá trị nguyên

Bài 2: (2,0 đ) : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 3 điểm A(3; 5), B(-1; 3), C(1; 1).

a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua A, B Điểm C có thuộc đờng thẳng (d) không?

b) Tìm tọa độ của điểm M trên (d) sao cho đoạn MC ngắn nhất

Bài 3: (2,0 đ): Cho 2 phơng trình: ax2 + bx + c = 0 (1)

và cx2 + bx + a = 0 (2), ( với ac < 0)

Gọi ,  tơng ứng là nghiệm lớn nhất của (1) và (2)

CMR:  +   2

Bài 4 (4,0 đ) : Từ một điểm A nằm ngoài đờng tròn (O), kẻ 1 cát tuyến ABC không qua

tâm O (B, C nằm trên đờng tròn) và tiếp tuyến AT với đờng tròn (T là tiếp điểm), cát tuyến và tiếp tuyến khác phía nhau đối với O Từ điểm chính giữa D của cung BC lớn vẽ

đờng kính DE, DE cắt cát tuyến tại K, ET cắt BC tại I

a) Chứng minh : AT2 = AB.AC

b) Chứng minh DT là đờng phân giác góc ngoài của đỉnh T của tam giác BCT

c) Giả sử A, B, C cố định, đờng tròn tâm O thay đổi nhng luôn đi qua BC CM: TE luôn đi qua một điểm cố định

d) Trên tia AC lấy điểm J sao cho AJ = AB + AC, giả sử đờng tròn (O) cố định, cát tuyến ABC thay đổi nhng vẫn qua A cố định Hỏi điểm J chuyển động trên đờng nào?

x

x x

8 ) 2 ( 12

) 3

2

2 2 2







Trang 2

a) Rút gọn A.

b) Tìm những giá trị nguyên của x để A nguyên

Bài 2 (2,0 đ)

Cho phơng trình bậc hai ẩn x: mx2 - 2(m+1)x +m + 3 = 0 (m là tham số)

a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt

b) Trong trờng hợp phơng trình có 2 nghiệm phân biệt, hãy tính:

B =

2 1

2

1

3

x x

x





 theo tham số m ; (với điề kiện B có nghĩa)

Bài 3 (2,0 đ) : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 điểm A(0; -3), B(4; 2) và đờng thẳng

() có phơng trình y = 2x - 1

a) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua B và vuông góc với ()

b) Xác định tọa độ điểm B’ đối xứng với B qua ()

c) Tìm trên (D) điểm M sao cho MA + MB nhỏ nhất

Bài 4 (4,0 đ) Cho 2 đờng tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc trong tại M (R’ > R) Kẻ 2

cát tuyến MEB, MDA sao cho D, E thuộc (O); B, A thuộc (O’); góc BMA = 1200 Vẽ tiếp tuyến chung Mx (x và B cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ OM)

a) Chứng minh: Góc xME = góc BDM và DE // AB

b) Lấy C trên đờng tròn (O’) sao cho tam giác ABC đều

Chứng minh: MA + MB = MC

c) Kẻ tiếp tuyến AI, BK tới đờng tròn (O) chứng minh:

BE

AD BK

AI































x x

1 : 1 4

1 2

a) Tìm những giá trị của x để biểu thức có nghĩa

b) Rút gọn biểu thức M

c) Tính số trị của M biết x =

2 2 1



Trang 3

Câu 2: (1,5 đ): Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A(1;2);

B(-1; 0), C(2; 0)

a) Tính diện tích tam giác

b) Tính độ dài đờng cao của tam giác hạ từ đỉnh B

c) Tìm phơng trình đờng trung tuyến qua đỉnh C của tam giác

Xét phơng trình x2 - 12x + m = 0 (x là ẩn số)

Câu 3: (2,5 đ) : Cho phơng trình ẩn x: x2 - mx - 2 = 0 (1), m  R

a) Chứng minh rằng phơng trinh luôn có 2 nghiệm phân biệt Tìm giá trị của m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 - x2 = 4

b) Gọi 2 nghiệm của phơng trình (1) là x1, x2 Tùy theo giá trị của m tính x1 +x23.

c) Tìm đa thức bậc ba f(x) có hệ số nguyên sao cho đa thức đạt giá trị bằng 0 khi

x = 3 3

3

8

3 

Câu 4(4,0 đ): Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn Các đờng cao AA’, BB’, CC’ cát nhau

tại H

a) Hãy viết tất cả các tứ giác nội tiếp có trong hình vẽ C/m một trong các tứ giác đó

là tứ giác nội tiếp

b) Gọi M là trung điểm của BC, P là điểm đối xứng của H qua M Chứng minh tứ giác HBPC là hình bình hành và P thuộc đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC c) Kéo dài AA’ cắt đg tròn ng.tiếp tam giác ABC tại điểm thứ 2 là D C/m DP // BC d) Từ M kẻ đờng thẳng vuông góc với đờng phân giác góc A của tam giác ABC, đ-ờng vuông góc này cắt AB, AC lần lợt tại I, J Chứng minh BI=CJ

Câu 1: (2,0 đ)

a) Tính : A = 3  5  3  5

b) Rút gọn: M =

ab

b a a ab

b b ab





 , với a, b > 0

Câu 2: (1,5 đ):

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y = 2x2 và đờng thẳng (d) có phơng trình y = mx + 2 - m

a) Chứng tỏ rằng (d) và (P) luôn có điểm chung với mọi m

b) Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác AOB vuông ở O

Câu 3: (1,5 đ):

Trang 4

Hai ngời cùng làm chung một công việc trong 3 giờ thì hoàn thành Nếu ngời thứ nhất làm trong 20’, ngời thứ 2 làm trong 1 giờ thì cả 2 ngời làm đợc 1/5 công việc Hỏi nếu làm một mình thì môĩ ngời hết bao nhiêu thời gian để hoàn thành công việc

Câu 4: (4,0 đ):

Cho đờng tròn (O; R), I là 1 điểm nằm trong đờng tròn, kẻ 2 dây bất kì MIN, EIF, gọi M’, N’, E’, F’ lần lợt là trung điểm của IM, IN, IE, IF

a) Chứng minh: IM.IN = IE.IF

b) Chứng minh: M’N’E’F’ là tứ giác nội tiếp

c) Xác định tâm và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác M’N’E’F’

d) Giả sử 2 dây MIN, EIF vuông góc với nhau Xác định vị trí của MIN, EIF sao cho diện tích M’N’E’F’ đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó biết OI = R/2

Bài 1: (2,0 đ):

1) Rút gọn:

y x y

x

xy y

x





: 4 )

, với x, y > 0 và x khác y 2) Cho 2 biểu thức: A = 4  x2  2  x2 ; B = 4  x2  2  x2

a Tìm x để A có nghĩa

b Biết B = 1 Tính A, tìm x với A vừa tìm đợc

Bài 2 (2,0đ ):

1) Cho 3 điểm A(-2; 5), B(1; 2), C(m; -2) Tìm m để 3 điểm A, B, C thẳng hàng 2) Biết Para bol (P) có phơng trình y = 4x2 và đờng thẳng (d) có phơng trình

y = x + 3

a) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) b) Tìm điểm M trên (P) cách đều 2 trục tọa độ

Bài 3 (2,0 đ):

Trang 5

1) Một ngời đi xe đạp từ A đến B mất 4h20’ và đi môtô từ B đến C mất 2h40’ Biết quãng đờng AB ngắn hơn quãng đờng BC là 55km và vận tốc khi đi bằng

xe đạp chậm hơn vận tốc khi đi môtô là 30km/h Tính vận tốc khi ngời đó đi bằng môtô

2) Biết a, b, c dơng và a + b + c = 4 Chứng minh rằng: a + b  abc

Bài 4 (4,0 đ): Cho hình thang cân ABCD (AD = BC, AB // CD, đáy nhỏ AB), hai đờng

chéo AC, BD cắt nhau tại O và góc AOB = 600, gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm của

OA, OB, OC, OD Chứng minh rằng:

1) BC = 2MP

2) Tam giác MNP đều

3) Góc NMC = góc BNP

4) O, Q, H thẳng hàng ( với H là trực tâm của tam giác MNP)

Bài 1 (2,0 đ) Cho x; y  R+

1) Rút gọn biểu thức: A =

y x

xy y

x x

y

y x y x

y x























2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = 2xy 2 xy 10 x 6 y 2017

Bài 2 (1,5 đ): Cho phơng trình: x2 - 2mx + m2 - 1 = 0 (x là ẩn, tham số m R)

1) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt

2) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu

3) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm thỏa mãn -2 < x < 4

Bài 3 (2,5 đ): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y =

2

1

x2, điểm I(0; 2) và

điểm M(m; 0) với m  0

1) Viết phơng trình đờng thẳng (D) đi qua 2 điểm M, I

2) Chứng minh đờng thẳng (D) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B với mọi

m  0

3) Gọi H, K thứ tự là hình chiếu của A, B lên trục hoành Chứng minh tam giác IHK là tam giác vuông

4) Chứng minh độ dài đoạn AB lớn hơn 4 đơn vị dài

Bài 4 (4,0 đ) Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh 2R Gọi O là tâm của hình vuông,

E là trung điểm của AB Trên cạnh BC, CD thứ tự lấy 2 điểm F, G sao cho EF // AG

Trang 6

1) Tính tích DG.BF theo R

2) Chứng minh tam giác DOG đồng dạng với tam giác BFO

3) Tính góc GOF

4) Chứng minh GF là tiếp tuyến đờng tròn nội tiếp hình vuông ABCD

Bài 1 (1,0 đ): Rút gọn biểu thức sau :

A =

9

27 3

6











x x

x x x

x x

, với x  0

Bài 2 (3,0 đ): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) có phơng trình y =

3

2

2 điểm A(1;

-3

2

), B(- 3; 2)

1) Các điểm A, B điểm nào thuộc (P), điểm nào không thuộc (P)? Tại sao?

2) Không dùng đồ thị, chứng minh đờng thẳng (d): y = 4x + 7 không có điểm chung với (P) Đờng thẳng AB có song song với (d) không ? Tại sao?

3) Tìm điểm trên (P) có khoảng cách đến trục Oy gấp 2 lần khoảng cách đến trục Ox

Bài 3 (2,0 đ).

1) Cho x, y, z là các số thỏa mãn: x + y + z = 3 Tìm giá trị bé nhất của biểu thức

P = x2 + y2 + z2 -3xy - 3yz - 3zx

2) Cho p là số nguyên, chứng minh phơng trình :

(p + 2)2-2x+p-p3=0 luôn có nghiệm là số hữu tỷ

Bài 4 (4,0 đ): Cho tam giác ABC đều nội tiếp đờng tròn tâm O bán kính R, M là điểm

thuộc cung BC không chứa điểm A Trên tia MA ta đặt đoạn thẳng MD = MB

1) Chứng minh : tam giác BDA = tam giác BMC

2) Chứng minh : MA = MB + MC

3) Chứng minh : MA2 + MB2 + MC2 = 6R2

4) Từ M hạ các đờng vuông góc xuống BC; AC; AB lần lợt ở H, I, K

Chứng minh:

MK MI MH

1 1 1





Trang 7

































1 3

2 3 1 : 1 9

8 1 3

1 1 3

1

a

a a

a

; với a  0, a 

9 1

1) Rút gọn biểu thức P

2) Tính giá trị của P khi a = 4  2 3

Bài 2 (2,0 đ): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đờng thẳng (d): 2x - y - a2 = 0 và parabol (P): y = ax2 (a là tham số dơng)

1)Tìm a để đờng thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B Chứng minh rằng khi

đó A, B nằm bên phải trục tung

2)Gọi u, v theo thứ tự là hoành độ của A, B Tìm giá trị nhỏ nhất của T=

uv v u

1 4



Bài 3 (1,5 đ):

1) Giải phơng trình: 5 1 2 2 1











2) Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: x2 + 2xy +7(x+y) + 2y2 + 10 = 0 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của S = x + y

Bài 4 (4,0 đ) Cho điểm A nằm ngoài đờng tròn tâm O bán kính R, biết OA = 2R Qua

A kẻ các tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (O) (B, C là các tiếp điểm) Từ điểm I bất kì trên cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến thứ 3 với đờng tròn cắt AB, AC theo thứ tự ở M, N Đ-ờng thẳng qua O vuông góc với AO cắt AB, AC theo thứ tự ở D, E

1) Chứng minh tam giác ABC và tam giác ADE là các tam giác đều

2) Tính tích DM.EN theo R

3) Gọi giao điểm của BC với OM, ON lần lợt là P, Q chứng minh 3 đờng thẳng

OI, MQ, NP đồng quy

4) Chứng minh từ 3 đoạn BP, PQ, QC có thể dựng đợc một tam giác Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác đó theo R

Trang 8

Bài 1 (2,0 điểm) : Cho hai biểu thức : M =a b b a

ab



; N = 4 ab  a b2



a, Tìm điều kiện của a và b để mỗi biểu thức đã cho có nghĩa

b, Rút gọn M và N

c, Tính tích M.N với a = 4 2 3  và b = 4 2 3 

Bài 2 (2điểm) : Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d) :

y = (m+1) x +2m +3 (m là tham số)

a, Tìm m để đờng thẳng (d) đi qua gốc toạ độ

b, Với hai diiểm A(-3; y1) và B(-1 ; y2) nằm trên đờng thẳng (d), tìm điều kiện của

m để y1> y2

c, Tìm m để đờng thẳng (d) cắt đờng thẳng   : y = 2x – 2 và giao điểm nằm trên trục Oy

Bài 3 (2điểm) : Cho phơng trình : x 3 x 2 k2  4k  4 0 (k là tham số)

a, Giải phơng trình khi k = 2

b, Tìm k để phơng trình đã cho có nghiệm

Bài 4 (3,0 điểm ) : Cho ABC nội tiếp trong đờng tròn(O) và đờng tròn (I) nội tiếp

ABC Các tia AI, CI cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M và N, gọi D là giao điểm của AI với BC

a,Chứng minh : AM AD = AB AC

b, Chứng minh BIMN

c,Với điều kiện hai điểm B,C cố định, tìm vị trí điểm A trên đờng tròn(O) cho

tr-ớc để đờng tròn ( I ) có bán kính lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất ấy

Bài 5 (1.0 điểm) : Cho x, y, z là các số tự nhiên khác không Chứng minh rằng :

3 2

`Bài 1 (2 điểm)

1 Rút gọn biểu thức ; P = 2 64  288  5 2 2  2  32.

Trang 9

2 Giải phơng trình :

2 2

2 0

Bài 2 (2,0 điểm) : Cho hai đờng thẳng  1

1 3 2

a, Chứng tỏ hai đờng thẳng (d1), (d2) cắt nhau và tìm toạ độ giao điểm

b, Tìm m để đờng thẳng y = (2m +1)x +6m +2 (d) và hai đờng thẳng (d1), (d2) đôi một cắt nhau

Bài 3 (2,0 điểm) : Cho phơng trình : (m + 1) x2 + (4 – m) x+ 3- 2m = o (m là tham số)

a, Giải phơng trình khi m = 3

b, Tìm m để phơng trình có nghiêm x thoả mãn : 0 < x < 2

Bài 4 (3.0 điểm) : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đờng tròn tâm (O)và điểm H

là trực tâm Các đờng thẳng AH, BH cắ đờng tròn (O) tại các điềm thứ hai lần lợt là D

và E

a, Chứng minh : AE + AH

b, Tìm tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác HDE

c, Trên cung DC ( không chứa điểm A) lấy điểm M khác Dvà C, gọi M1và M2lần lợt là hình chiếu của M trên các cạnh BC và AC Chứng minh đờng thẳng M1

M2 đi qua trung điểm của HM

Bài 5 (1.0 điểm ) : Chứng minh rằng : 1 31 31 13

2 3 2 4 3   1000 999 <

27 10

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	222,5 KB