Sở giáo dục - đào tạo hà nam Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam Năm học : 1999-2000 Môn : Toán chung (Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,0 đ): Cho biểu thức: M = 1 1 : 1 1 1 + + +++ + x x x xxxx xx a) Rút gọn biểu thức M b) Tìm số chính phơng x để biểu thức M nhận giá trị nguyên. Bài 2: (2,0 đ) : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 3 điểm A(3; 5), B(-1; 3), C(1; 1). a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua A, B. Điểm C có thuộc đờng thẳng (d) không? b) Tìm tọa độ của điểm M trên (d) sao cho đoạn MC ngắn nhất. Bài 3: (2,0 đ): Cho 2 phơng trình: ax 2 + bx + c = 0 (1) và cx 2 + bx + a = 0 (2), ( với ac < 0). Gọi , tơng ứng là nghiệm lớn nhất của (1) và (2). CMR: + 2 Bài 4 (4,0 đ) : Từ một điểm A nằm ngoài đờng tròn (O), kẻ 1 cát tuyến ABC không qua tâm O (B, C nằm trên đờng tròn) và tiếp tuyến AT với đờng tròn (T là tiếp điểm), cát tuyến và tiếp tuyến khác phía nhau đối với O. Từ điểm chính giữa D của cung BC lớn vẽ đờng kính DE, DE cắt cát tuyến tại K, ET cắt BC tại I a) Chứng minh : AT 2 = AB.AC b) Chứng minh DT là đờng phân giác góc ngoài của đỉnh T của tam giác BCT c) Giả sử A, B, C cố định, đờng tròn tâm O thay đổi nhng luôn đi qua BC. CM: TE luôn đi qua một điểm cố định. d) Trên tia AC lấy điểm J sao cho AJ = AB + AC, giả sử đờng tròn (O) cố định, cát tuyến ABC thay đổi nhng vẫn qua A cố định. Hỏi điểm J chuyển động trên đờng nào? Sở giáo dục - đào tạo hà nam Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam Năm học : 2000-2001 Môn : Toán chung (Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề) 1 Bài 1 (2,0 đ): Cho bt: A = xx x xx 8)2( 12)3( 2 2 222 ++ + a) Rút gọn A. b) Tìm những giá trị nguyên của x để A nguyên. Bài 2 (2,0 đ). Cho phơng trình bậc hai ẩn x: mx 2 - 2(m+1)x +m + 3 = 0 (m là tham số) a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt. b) Trong trờng hợp phơng trình có 2 nghiệm phân biệt, hãy tính: B = 21 2 12 1 33 xx x xx x + theo tham số m ; (với điề kiện B có nghĩa). Bài 3 (2,0 đ) : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 điểm A(0; -3), B(4; 2) và đờng thẳng ( V ) có phơng trình y = 2x - 1 a) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua B và vuông góc với ( V ) b) Xác định tọa độ điểm B đối xứng với B qua ( V ) c) Tìm trên (D) điểm M sao cho MA + MB nhỏ nhất. Bài 4 (4,0 đ). Cho 2 đờng tròn (O; R) và (O; R) tiếp xúc trong tại M (R > R). Kẻ 2 cát tuyến MEB, MDA sao cho D, E thuộc (O); B, A thuộc (O); góc BMA = 120 0 . Vẽ tiếp tuyến chung Mx (x và B cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ OM). a) Chứng minh: Góc xME = góc BDM và DE // AB b) Lấy C trên đờng tròn (O) sao cho tam giác ABC đều. Chứng minh: MA + MB = MC c) Kẻ tiếp tuyến AI, BK tới đờng tròn (O). chứng minh: BE AD BK AI = Sở giáo dục - đào tạo hà nam Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam Năm học : 2001-2002 Môn : Toán chung (Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2,0 đ): Cho biểu thức: M = + x x x 2 2 1 :1 4 1 2 2 a) Tìm những giá trị của x để biểu thức có nghĩa b) Rút gọn biểu thức M c) Tính số trị của M biết x = 22 1 + Câu 2: (1,5 đ): Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A(1;2); B(-1; 0), C(2; 0) a) Tính diện tích tam giác b) Tính độ dài đờng cao của tam giác hạ từ đỉnh B c) Tìm phơng trình đờng trung tuyến qua đỉnh C của tam giác Xét phơng trình x 2 - 12x + m = 0 (x là ẩn số) Câu 3: (2,5 đ) : Cho phơng trình ẩn x: x 2 - mx - 2 = 0 (1), m R a) Chứng minh rằng phơng trinh luôn có 2 nghiệm phân biệt. Tìm giá trị của m để phơng trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn x 1 - x 2 = 4 b) Gọi 2 nghiệm của phơng trình (1) là x 1 , x 2 . Tùy theo giá trị của m tính x 1 3 +x 2 3. c) Tìm đa thức bậc ba f(x) có hệ số nguyên sao cho đa thức đạt giá trị bằng 0 khi x = 3 3 3 8 3 Câu 4(4,0 đ): Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Các đờng cao AA, BB, CC cát nhau tại H. a) Hãy viết tất cả các tứ giác nội tiếp có trong hình vẽ. C/m một trong các tứ giác đó là tứ giác nội tiếp. b) Gọi M là trung điểm của BC, P là điểm đối xứng của H qua M. Chứng minh tứ giác HBPC là hình bình hành và P thuộc đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. c) Kéo dài AA cắt đg tròn ng.tiếp tam giác ABC tại điểm thứ 2 là D. C/m DP // BC d) Từ M kẻ đờng thẳng vuông góc với đờng phân giác góc A của tam giác ABC, đ- ờng vuông góc này cắt AB, AC lần lợt tại I, J. Chứng minh BI=CJ Sở giáo dục - đào tạo hà nam Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam Năm học : 2002-2003 Môn : Toán chung (Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2,0 đ) a) Tính : A = 5353 + b) Rút gọn: M = ab ba aab b bab a + + + + , với a, b > 0 Câu 2: (1,5 đ): 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y = 2x 2 và đờng thẳng (d) có phơng trình y = mx + 2 - m a) Chứng tỏ rằng (d) và (P) luôn có điểm chung với mọi m b) Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác AOB vuông ở O. Câu 3: (1,5 đ): Hai ngời cùng làm chung một công việc trong 3 giờ thì hoàn thành. Nếu ngời thứ nhất làm trong 20, ngời thứ 2 làm trong 1 giờ thì cả 2 ngời làm đợc 1/5 công việc. Hỏi nếu làm một mình thì môĩ ngời hết bao nhiêu thời gian để hoàn thành công việc. Câu 4: (4,0 đ): Cho đờng tròn (O; R), I là 1 điểm nằm trong đờng tròn, kẻ 2 dây bất kì MIN, EIF, gọi M, N, E, F lần lợt là trung điểm của IM, IN, IE, IF. a) Chứng minh: IM.IN = IE.IF b) Chứng minh: MNEF là tứ giác nội tiếp c) Xác định tâm và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MNEF d) Giả sử 2 dây MIN, EIF vuông góc với nhau. Xác định vị trí của MIN, EIF sao cho diện tích MNEF đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó biết OI = R/2 Sở giáo dục - đào tạo hà nam Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam Năm học : 2003-2004 Môn : Toán chung (Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,0 đ): 1) Rút gọn: yxyx xyyx + + 1 : 4)( 2 , với x, y > 0 và x khác y 2) Cho 2 biểu thức: A = 22 24 xx + ; B = 22 24 xx a. Tìm x để A có nghĩa b. Biết B = 1. Tính A, tìm x với A vừa tìm đợc Bài 2 (2,0đ ): 1) Cho 3 điểm A(-2; 5), B(1; 2), C(m; -2). Tìm m để 3 điểm A, B, C thẳng hàng. 2) Biết Para bol (P) có phơng trình y = 4x 2 và đờng thẳng (d) có phơng trình 4 y = x + 3. a) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) b) Tìm điểm M trên (P) cách đều 2 trục tọa độ Bài 3 (2,0 đ): 1) Một ngời đi xe đạp từ A đến B mất 4h20 và đi môtô từ B đến C mất 2h40. Biết quãng đờng AB ngắn hơn quãng đờng BC là 55km và vận tốc khi đi bằng xe đạp chậm hơn vận tốc khi đi môtô là 30km/h. Tính vận tốc khi ngời đó đi bằng môtô 2) Biết a, b, c dơng và a + b + c = 4. Chứng minh rằng: a + b abc Bài 4 (4,0 đ): Cho hình thang cân ABCD (AD = BC, AB // CD, đáy nhỏ AB), hai đờng chéo AC, BD cắt nhau tại O và góc AOB = 60 0 , gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm của OA, OB, OC, OD. Chứng minh rằng: 1) BC = 2MP 2) Tam giác MNP đều 3) Góc NMC = góc BNP 4) O, Q, H thẳng hàng ( với H là trực tâm của tam giác MNP). Sở giáo dục - đào tạo hà nam Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam Năm học : 2004-2005 Môn : Toán chung (Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1 (2,0 đ). Cho x; y R + 1) Rút gọn biểu thức: A = yx xyyx xy yx yx yx + + + 233 )( : , với xy 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 201761022 +++ yxxyyx Bài 2 (1,5 đ): Cho phơng trình: x 2 - 2mx + m 2 - 1 = 0 (x là ẩn, tham số m R). 1) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt 2) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu 3) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm thỏa mãn -2 < x < 4 Bài 3 (2,5 đ): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = 2 1 x 2 , điểm I(0; 2) và điểm M(m; 0) với m 0 1) Viết phơng trình đờng thẳng (D) đi qua 2 điểm M, I 5 2) Chứng minh đờng thẳng (D) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B với mọi m 0 3) Gọi H, K thứ tự là hình chiếu của A, B lên trục hoành. Chứng minh tam giác IHK là tam giác vuông 4) Chứng minh độ dài đoạn AB lớn hơn 4 đơn vị dài Bài 4 (4,0 đ). Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh 2R. Gọi O là tâm của hình vuông, E là trung điểm của AB. Trên cạnh BC, CD thứ tự lấy 2 điểm F, G sao cho EF // AG. 1) Tính tích DG.BF theo R 2) Chứng minh tam giác DOG đồng dạng với tam giác BFO 3) Tính góc GOF 4) Chứng minh GF là tiếp tuyến đờng tròn nội tiếp hình vuông ABCD Sở giáo dục - đào tạo hà nam Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam Năm học : 2005-2006 Môn : Toán chung (Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1 (1,0 đ): Rút gọn biểu thức sau : A = 9 27 3 6 ++ + + xx xx x xx , với x 0 Bài 2 (3,0 đ): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) có phơng trình y = 3 2 x 2 và 2 điểm A(-1; - 3 2 ), B(- 3 ; 2) 1) Các điểm A, B điểm nào thuộc (P), điểm nào không thuộc (P)? Tại sao? 2) Không dùng đồ thị, chứng minh đờng thẳng (d): y = 4x + 7 không có điểm chung với (P). Đờng thẳng AB có song song với (d) không ? Tại sao? 3) Tìm điểm trên (P) có khoảng cách đến trục Oy gấp 2 lần khoảng cách đến trục Ox Bài 3 (2,0 đ). 1) Cho x, y, z là các số thỏa mãn: x + y + z = 3. Tìm giá trị bé nhất của biểu thức P = x 2 + y 2 + z 2 -3xy - 3yz - 3zx 2) Cho p là số nguyên, chứng minh phơng trình : (p + 2) 2 -2x+p-p 3 =0 luôn có nghiệm là số hữu tỷ Bài 4 (4,0 đ): Cho tam giác ABC đều nội tiếp đờng tròn tâm O bán kính R, M là điểm thuộc cung BC không chứa điểm A. Trên tia MA ta đặt đoạn thẳng MD = MB 6 1) Chứng minh : tam giác BDA = tam giác BMC 2) Chứng minh : MA = MB + MC 3) Chứng minh : MA 2 + MB 2 + MC 2 = 6R 2 4) Từ M hạ các đờng vuông góc xuống BC; AC; AB lần lợt ở H, I, K. Chứng minh: MKMIMH 111 += Sở giáo dục - đào tạo hà nam Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam Năm học : 2006-2007 Môn : Toán chung (Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1 (2,5đ) : P = + + + 13 23 1: 19 8 13 1 13 1 a a a a aa a ; với a 0, a 9 1 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tính giá trị của P khi a = 324 Bài 2 (2,0 đ): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đờng thẳng (d): 2x - y - a 2 = 0 và parabol (P): y = ax 2 (a là tham số dơng) 1)Tìm a để đờng thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B. Chứng minh rằng khi đó A, B nằm bên phải trục tung. 2)Gọi u, v theo thứ tự là hoành độ của A, B. Tìm giá trị nhỏ nhất của T= uvvu 14 + + Bài 3 (1,5 đ): 1) Giải phơng trình: 1215 2 ++=+ xxxx 2) Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: x 2 + 2xy +7(x+y) + 2y 2 + 10 = 0. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của S = x + y. Bài 4 (4,0 đ). Cho điểm A nằm ngoài đờng tròn tâm O bán kính R, biết OA = 2R. Qua A kẻ các tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Từ điểm I bất kì trên cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến thứ 3 với đờng tròn cắt AB, AC theo thứ tự ở M, N. Đờng thẳng qua O vuông góc với AO cắt AB, AC theo thứ tự ở D, E. 1) Chứng minh tam giác ABC và tam giác ADE là các tam giác đều 2) Tính tích DM.EN theo R. 3) Gọi giao điểm của BC với OM, ON lần lợt là P, Q. chứng minh 3 đờng thẳng OI, MQ, NP đồng quy 4) Chứng minh từ 3 đoạn BP, PQ, QC có thể dựng đợc một tam giác. Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác đó theo R. 7 Sở giáo dục - đào tạo hà nam Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam Năm học : 2007-2008 Môn : Toán chung (Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1 (2,0 điểm) : Cho hai biểu thức : M = a b b a ab + ; N = ( ) 2 4 ab a b a b + a, Tìm điều kiện của a và b để mỗi biểu thức đã cho có nghĩa. b, Rút gọn M và N c, Tính tích M.N với a = 4 2 3 và b = 4 2 3+ Bài 2 (2điểm) : Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d) : y = (m+1) x +2m +3 (m là tham số) a, Tìm m để đờng thẳng (d) đi qua gốc toạ độ . b, Với hai diiểm A(-3; y 1 ) và B(-1 ; y 2 ) nằm trên đờng thẳng (d), tìm điều kiện của m để y 1 > y 2 c, Tìm m để đờng thẳng (d) cắt đờng thẳng ( ) : y = 2x 2 và giao điểm nằm trên trục Oy. Bài 3 (2điểm) : Cho phơng trình : 2 3 2 4 4 0x x k k + + = (k là tham số) a, Giải phơng trình khi k = 2 b, Tìm k để phơng trình đã cho có nghiệm. Bài 4 (3,0 điểm ) : Cho ABC nội tiếp trong đờng tròn(O) và đờng tròn (I) nội tiếp ABC. Các tia AI, CI cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M và N, gọi D là giao điểm của AI với BC. a,Chứng minh : AM . AD = AB. AC b, Chứng minh BI MN. c,Với điều kiện hai điểm B,C cố định, tìm vị trí điểm A trên đờng tròn(O) cho trớc để đờng tròn ( I ) có bán kính lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất ấy. 8 Bài 5 (1.0 điểm) : Cho x, y, z là các số tự nhiên khác không. Chứng minh rằng : 2 2 2 3 2 1 1 1 2 2 2 x y z x y z + + Sở giáo dục - đào tạo hà nam Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam Năm học : 2008-2009 Môn : Toán chung (Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề) `Bài 1 (2 điểm) 1. Rút gọn biểu thức ; P = ( ) ( ) 2 2 64 288 5 2 2 32. + 2. Giải phơng trình : 2 2 6 27 2 1 2 0 9 3 x x x x x + + + = Bài 2 (2,0 điểm) : Cho hai đờng thẳng ( ) 1 2 5 3 3 y x d= và ( ) 2 1 3 2 y x d= + a, Chứng tỏ hai đờng thẳng (d 1 ), (d 2 ) cắt nhau và tìm toạ độ giao điểm. b, Tìm m để đờng thẳng y = (2m +1)x +6m +2 (d) và hai đờng thẳng (d 1 ), (d 2 ) đôi một cắt nhau. Bài 3 (2,0 điểm) : Cho phơng trình : (m + 1) x 2 + (4 m) x+ 3- 2m = o (m là tham số) a, Giải phơng trình khi m = 3. b, Tìm m để phơng trình có nghiêm x thoả mãn : 0 < x < 2 Bài 4 (3.0 điểm) : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đờng tròn tâm (O)và điểm H là trực tâm. Các đờng thẳng AH, BH cắ đờng tròn (O) tại các điềm thứ hai lần lợt là D và E. a, Chứng minh : AE + AH. b, Tìm tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác HDE c, Trên cung DC ( không chứa điểm A) lấy điểm M khác Dvà C, gọi M 1 và M 2 lần lợt là hình chiếu của M trên các cạnh BC và AC. Chứng minh đờng thẳng M 1 M 2 đi qua trung điểm của HM. Bài 5 (1.0 điểm ) : Chứng minh rằng : 3 3 3 1 1 1 1 2 3 2 4 3 1000 999 + + + + < 27 10 9 . nam Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam Năm học : 200 0-2 001 Môn : Toán chung (Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đ ) 1 Bài 1 (2 ,0 ): Cho bt: A = xx x xx 8) 2( 1 2) 3( 2 2 222 ++ + a). giáo dục - đào tạo hà nam Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam Năm học : 200 3-2 004 Môn : Toán chung (Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đ ) Bài 1: (2 ,0 ): 1) Rút. giáo dục - đào tạo hà nam Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam Năm học : 199 9-2 000 Môn : Toán chung (Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đ ) Bài 1: (2 ,0 ): Cho biểu