Thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên hùng vơng Năm học 2008-2009 Môn Toán (dành cho mọi thí sinh) Ngày thi 25 tháng 6 năm 2008 Câu 1: a) Giải hệ phơng trình: 2 5 1 x y x y + = = b) Giải phơng trình : x 4 -10 x 2 + 9 =0 Giải a) 2 5 3 6 2 1 1 1 x y x x x y y x y + = = = = = = Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) =(2;1) b) đặt x 2 =t (t 0) ta có x 4 -10 x 2 + 9 =0 t 2 -10t+9=0 Nhẩm Vi-ét a+b+c=1+(-10)+9 =0 ta có t 1 =1; t 2 =9 Vậy phơng trình x 4 -10 x 2 + 9 =0 có 4 nghiệm x 1 =-1;x 2 =1;x 3 =-3;x 4 =3 Câu 2: Cho phơng trình bậc 2 : x 2 -2(m+1)x+m 2 -1=0 (1) m là tham số a) Giải phơng trình (1) khi m=7 b) Tìm tất cả các giá trị m để phơng trình (1) có nghiệm c) Gọi x 1 ,x 2 là nghiệm (1) tìm hệ thức liên hệ x 1 ;x 2 không phụ rhuộc m Giải a) Thay m=7 ta có x 2 -2(m+1)x+m 2 -1=0 x 2 -16x+ 48=0 / =16>0 ; x 1 =12;x 2 =4 b)Để phơng trình (1) có nghiệm / 0 ; / =(m+1) 2 -(m 2 -1)=m 2 +2m+1-m 2 +1=2m+2 0 1m vậy 1m thì phơng trình (1) có nghiệm c)Với 1m theo Vi-ét ta có 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 1) 2 1 1 1(*) 2 x x m x x m x x x x m x x + = + = + + = = ữ 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (*) 4 ( 2) 4 ( ) 4( ) 0x x x x x x x x m = + + = Câu3 d K I N M D A O B C a)Chứng minh tứ giác CDNM nội tiếp b)Gọi I là trung điểm MN chứng minh AI vuông góc với CD c)Xác định vị trí C sao cho MN nhỏ nhất Giải a) 1 1 1 ; ( ) ; 2 2 2 ACD SdcungCD DNM sd cungAB cungBD sdcungCD = = = vậy ACD DNM = mà 0 0 180 180ACD DCM DNM DCM + = + = Nên tứ giác CDNM nội tiếp ( theo định lý đảo) b)Vì tứ giác CDNM nội tiếp nên ADK AMN = mà do I là trung điểm MN nên AIN cân suy ra AND DAK = mà 0 0 90 90ANM AMN DAK ADK + = + = trong ADK có 0 90DAK KDA + = nên 0 90AKD = hay AI CD (đpcm) c)Ta có AMN vuông tại A có AI là trung tuyến MN=2AI MN nhỏ nhất khi AI nhỏ nhất ta có 2 2MN AI AB = Vậy MN nhỏ nhất khi MN=2AB khi I B khi CD vuông góc với AB Câu 4:Cho x,y thoả mãn x>0,y>0. x+y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 1 1 P xy x y xy = + + + Ta cã 2 2 2 2 1 1 1 1 1 8 7 2 2 P xy xy xy x y xy x y xy xy = + + = + + + − ÷ ÷ + + ¸p dông c¸c bÊt ®¼ng thøc 2 1 1 4 ; 2 ; 2 A B A B AB AB A B A B + + ≥ + ≥ ≤ ÷ + 2 2 4 1 7 25 2 .8 7 4 4 ( ) 2 2 4 4 x y P xy x y xy + ≥ + − ≥ + − = ÷ + VËy 25 ( ) 4 Min P = Khi 1 1 2 1 8 2 x y x y x y xy xy = + = ⇔ = = = C¸ch kh¸c 2 2 2 2 1 1 1 1 1 15 2 16 16 P xy xy x y xy x y xy xy xy = + + = + + + + ÷ ÷ + + 2 2 4 1 15 1 15 2 5 2 . 4 ( ) 16 4( ) 2 4 4 P xy x y xy x y ≥ + + ≥ + + = + + Thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên hùng vơng Năm học 2008-2009 Môn Toán (dành cho thí sinh thi chuyên Toán) Ngày thi 26 tháng 6 năm 2007 Câu 1 Cho phơng trình bậc 2 : x 2 +2(m+1))x+m 2 +m+2 =0 (1) ( x là ẩn) a)Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình (1) có 2 nghiệm b) Gọi x 1 ,x 2 là nghiệm của (1) tìm m để P= x 1 x 2 + 2(x 1 +x 2 )có giá trị nhỏ nhấ Giải a) Xét phơng trình (1): Điều kiện có nghiệm / 0 ( ) 2 ' 2 1 ( 2) 1 0 1m m m m m = + + + = Vậy với 1m thì PT ( 1) có nghiệm b) với 1m Gọi các nghiệm là 21 , xx Theo Viét ta có ( ) 1 2 2 1 2 2 1 . 2 x x m x x m m + = + = + + ( ) 2 2 1 2 1 2 3 17 17 2 3 2 2 4 4 P x x x x m m m = + + = = ữ Vậy Min (P) = 17 3 ; : 4 2 khi m = thoả mãn / 0 Câu 2: Giải phơng trình 2 2 4 1x x x+ = ĐKXĐ : 1x Giải 2 2 2 2 4 1 2 1 3 3 4 1 ( 1) 3( 1) 4 1 0(*) x x x x x x x x x x + = + + = + = đặt 1 ( 0)x t t = (*) t 4 +3t 2 -4t =0 t(t-1)(t 2 +t+4)=0 t=0 hoặc t=1 Vì t 2 +t+4 >0 mọi t *Với t=0 thì x=1(t/m) * Với t=1 thì x=2 (t/m) Vậy PT có 2 nghiệm x 1 =1;x 2 =2 Câu3: Giải hệ phơng trình 3 3 3 2 (1) 3 2 (2) x x y y y x = + = + Giải Lấy PT(1) trừ PT 2 ta đợc PT : 3(x 3 -y 3 )=y-x (x-y)(3x 2 +3xy+3y 2 +1)=0(*) Ta có 3x 2 +3xy+3y 2 +1= 2 2 2 2 2 3 3 3 2 1 3 1 0, : , 2 4 4 2 4 y y y y y x x x voi x y + + + + = + + + > ữ (*) 0x y x y = = thay vào (1) ta đợc 3x 3 =x+2x 3x(x-1)(x+1)=0 vậy PT có 3 nghiệm (x;y)=(0;0);(1;1);(-1;-1) Câu 4 R/ R I' 2 2 1 1 Q P H C A J F E N I B O M a)MN//NF và MF,NE,OI đồng quy do MBN=90 0 nên EBF =90 0 suy ra E,I,F thẳng hàng ta có OMB= OBM= IBE= IEB nên MN//EF ( đpcm) gọi giao điểm MF,NE là J nối JO cắt EF tại I áp dụng hệ quả định lý Ta- lét ta có: , , . OM JO ON I F JI I E = = mà OM=ON suy ra I / F=I / E mà I EF nên I / I hay MF,NE,OI đồng quy mặt khác do JO OM OB JI IF IB = = không đổi mà B,O,I cố định nên J cố điịnh (đpcm) b) Chứng minh tổng ME 2 +NF 2 không đổi Đặt OB=R,BI=R / Ta có ME 2 +NF 2 =(MB+BE) 2 +(NB+BF) 2 =MB 2 +2MB.BE+BE 2 +NB 2 +2NB.BF+BF 2 =( MB 2 +NB 2 )+( BE 2 + BF 2 )+2( 2 2 . . ) MB NB BE BF BE BF + (*) Mà: MB 2 +NB 2 = MN 2 =4R 2 ; BE 2 + BF 2 =EF 2 =4R /2 ; / MB NB OB R BE BF BI R = = = thay vào (*) ME 2 +NF 2 =4R 2 +4R /2 + / 2. R R .4R /2 =4R 2 +4R /2 +8RR / =4(R+R / ) 2 không đổi (đpcm) c)Gọi H là hình chiếu của B trên MF chứng minh HB là phân giác góc OHI qua O và I kẻ hai đờng thẳng vuông góc với AC cắt MF tại P và Q ta có tứ giác POBH,QIBH nội tiếp nên H 1 = B 1 ; H 2 = B 2 (1) mặt khác ta có OP JO OM OB IQ JI IF BI = = = nên POB đồng dạng với QIB (c.gc.c) nên B 1 = B 2 (2) từ (1) và (2) ta có H 1 = H 2 ;suy ra OHB= IHB Hay HB là phân giác góc OHI ( đpcm) Câu 5: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác .Chứng minh bất đẳng thức 3 2 2 2 2 2 2 a b c b c a a c b a b c + + + + + Giải Ta có 2 2 2 3 3 3 3 (2 2 ) 3 (2 2 ) 3 (2 2 ) 3 3 3 (*) 3 (2 2 ) 3 (2 2 ) 3 (2 2 ) a b c VT a b c a b a c b c a b c a b c VT a b c a b a c b c a b c = + + + + + = + + + + + áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dơng A,B 2 A B AB + Ta có 3 2 2 3 3 3 (2 2 ) (1) 2 3 (2 2 ) a b c a a a a b c a a b c a b c a b c a + + + = + + + + + Tơng tự 3 2 2 3 3 3 (2 2 ) (2) 2 3 (2 2 ) b a c b b b b a c b a b c a b c b a c b + + + = + + + + + 3 2 2 3 3 3 (2 2 ) (3) 2 3 ( 2 2 ) c a b c c c c a b c a b c a b c c a b c + + + = + + + + + Từ (1),(2),(3) ta có 3 2 2 2 2 2 2 a b c b c a a c b a b c + + + + + Dấu = xảy ra khi 3 2 2 3 2 2 3 2 2 a b c a b a c b a b c c a b c = + = + = = = + Hay tam giác đó đều Thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên hùng vơng Năm học 2008-2009 Môn Toán (dành cho thí sinh thi chuyên Tin) Ngày thi 26 tháng 6 năm 2008 Câu 1,2,3 Nh đề thi vào chuyênToán Câu 4: a) Chứng minh K thuộc (O) và K thuộc đờng thẳng cố định 2 1 2 1 2 1 Q P I K N M D B C A O xét tứ giác KMDN có KMD+ KND=90 0 +90 0 =180 0 nên tứ giác KMDN nên K thuộc đờng tròn đi qua MDNA ta có KMD=90 0 nên KD là đờng kính của (O) suy KAD=90 0 ,AD cố định nên KA vuông góc với AD vậy K thuộc tia AK cố định b)Gọi I là trung điểm MN chứng minh I thuộc đờng thẳng cố định Kẻ DP AB, DQ AC thì PQ cố định ta chứng minh I PQ Ta có K,O,I,D thẳng hàng nên DI MN. Ta chứng minh đợc 2 tứ giác MPDI,NQID nội tiếp suy ra I 1 = D 1 ; I 2 = D 2 (1) Mà PDQ+ BAC=180 0 = MDN+ BAC suy ra PDQ= MDN Suy ra D 1 = D 2 (2) .Từ (1) &(2) ta có I 1 = I 2 mà I 1 + PIN=180 0 Suy ra I 2 + PIN=180 0 hay P.I,Q thẳng hàng hay I PQ cố định c)Xác định (O) để MN nhỏ nhất Ta có PDQ= MDN , NMD= QPD suy MDN đồng dạng với PDQ nên 1 MN MD MN PQ PQ PD = ( không đổi) Giá trị nhỏ nhất MN=PQ khi ;M P N Q Khi đó AMN cân tại A và I AD Vậy O AD hay đờng tròn (O) nhận AD là đờng kính Câu 5: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác .Chứng minh bất đẳng thức 3 a b c b c a a c b a b c + + + + + Giải Ta có 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b c VT a b c a b a c b c a b c a b c VT a b c a b a c b c a b c = + + + + + = + + + + + áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dơng A,B 2 A B AB + Ta có 2 ( ) (1) 2 2 ( ) a b c a b c a a a b c a b c a b c a + + + + = + + Tơng tự ( ) (2) 2 2 ( ) b a c b a c b b b a c b a c b a c b + + + + = + + ( ) (3) 2 2 ( ) c a b c a b c c c a b c a b c a b c + + + + = + + Từ (1),(2),(3) ta có 2 a b c a b c b c a a c b a b c b c a c a b + + + + ữ + + + + + + Ta chứng minh đợc 3 2 a b c b c a c a b + + ữ + + + nên 3 a b c b c a a c b a b c + + + + + Dấu - xảy ra khi a b c a b a c b a b c c a b c = + = + = = = + Hay tam giác đó đều Cách khác đặt b+c-a=x;c+a-b=y;a+b-c=z thì x+y=2c;y+z=2a;x+z=2b Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với 3 2 2 2 y z x z x y x y z + + + + + áp dụng bất đẳng thức 3 3 ; 2A B C ABC A B AB + + + 6 3 2 .2 .2 ( )( )( ) 3 3 3 2 2 2 8 8 yz xz xy y z x z x y y z x z x y x y z xyz xyz + + + + + + + + = Dấu = xảy ra khi x=y=z hay a=b=c Ngời gửi ; Nguyễn Minh Sang GV trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ DD 0917370141 gmail: minhsang5260@gmail.com.vn Tôi có đề thi và HD giải các đề thi vào chuyên NN ; Chuyên ĐHSP; ĐHKHTN ,Chuyên Hùng Vơng Phú thọ từ năm học 2004-2005 đến nay rất mong đợc trao đổi đề thi và đáp án HSG Toán 9 cấp huyện và cấp tỉnh và đề thi vào lớp 10 các trờng THPT chuyên trong cả nớc với các bạn đồng nghiệp mọi liên hệ gửi về minhsang5260@gmail.com.vn . có 2 2MN AI AB = Vậy MN nhỏ nhất khi MN=2AB khi I B khi CD vuông góc với AB Câu 4:Cho x,y tho mãn x>0,y>0. x+y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 1 1 P xy x y xy = + + + Ta. 2 3 17 17 2 3 2 2 4 4 P x x x x m m m = + + = = ữ Vậy Min (P) = 17 3 ; : 4 2 khi m = tho mãn / 0 Câu 2: Giải phơng trình 2 2 4 1x x x+ = ĐKXĐ : 1x Giải 2 2 2 2 4 1 2 1 3 3. Sang GV trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ DD 0917370141 gmail: minhsang5260@gmail.com.vn Tôi có đề thi và HD giải các đề thi vào chuyên NN ; Chuyên ĐHSP; ĐHKHTN ,Chuyên Hùng Vơng Phú thọ từ năm học 2004-2005