HD giai de thi HV Phu Tho -2009

Lời giải tóm tắt đề thi môn toán vào tr ờng chuyên hùng v ơng phú tho năm học 2009-2010 kì thi tuyển sinh THPTchuyên hùng vơng Năm học 2009-2010 Môn Toán ( không chuyên) Thời gianl àm bài 120 phút-ngày thi 25 tháng 6 năm 2009 Câu 1(2 điểm): Cho biểu thức 2 1 1 1 23 2 2 + + + = xx xx x P ĐKXĐ: x 2; a)Rút gọn P b)Tìm x để P+x=7 ta có H ớng dẫn a) 2 3 )1)(2( )1)(3( )1)(2( 32 )1)(2( 12 2 1 1 1 )1)(2( 222 + = + = + = ++ = + + = x x xx xx xx xx xx xxx xxxx x P b)Tìm x để P+x=7 ta có HD: = = = =+=+= + =+ + =+ )(2 5 0)5)(2( 01077733 1 3 1 3 22 2 loaix x xx xxxx x x x x x xP Vậy x=5 thì P+x=7 Câu 2(2 điểm): Cho PT bậc 2: x 2 +2(m-1)x+m 2 -m+1=0 (1) a)Giải phơng trình với m=-1 b)Tìm m để phơng trình(1) có 2 nghiệm x 1 ;x 2 thoả mãn 4 21 =+ xx H ớng dẫn a)ta có x 2 +2(m-1)x+m 2 -m+1=0 x 2 -4x+3=0 Nhẩm Vi-ét a+b+c=1+(-4)+3=0 PT có 2 nghiệm phân biệt x 1 =1;x 2 =3 b) ta có / =(m-1) 2 -( m 2 -m+1)=m 2 -2m+1-m 2 +m-1=-m 0 khi m 0 với m 0 Theo Vi-ét ta có += =+ 1. )1(2 2 21 21 mmxx mxx từ GT ta có 16.216)( 21 2 2 2 1 2 21 =++=+ xxxxxx (*) vì 0 4 3 ) 2 1 (1. 22 21 >+=+= mmmxx nên 2121 xxxx = ( ) 03216)12(416(*) 22 2 21 ==+=+ mmmmxx Nhẩm Vi-ét a-b+c= 1-(-2)+(-3)=0; m 1 =-1;m 2 =3 >0 loại vậy m=-1 thì 4 21 =+ xx GVHD: Nguyễn Minh Sang trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ; gmail minhsang5260@gmail.com.vn 1 Lời giải tóm tắt đề thi môn toán vào tr ờng chuyên hùng v ơng phú tho năm học 2009-2010 Câu 3(2 điểm):a) Vẽ đồ thị y=2x+3; y=x 2 trên cùng hệ trục toạ độ b) Toạ độ giao điểm 2 đồ thị trên là nghiệm của hệ sau H ớng dẫn Câu 4 (3 điểm):Cho tam giác nhọn ABC trực tâm H;góc BAC=60 0 gọi D; E là chân đ- ờng cao kẻ từ B;C tới AC;AB;I là trung điểm BC a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp b)Chứng minh tam giác IDE đều c) Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC .Chứng minh AHO cân GVHD: Nguyễn Minh Sang trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ; gmail minhsang5260@gmail.com.vn 2 b) Toạ độ giao điểm 2 đồ thị trên là nghiệm của hệ sau = = = = += = += = 9 3 1 1 32 032 32 22 y x y x xy xx xy xy Tọa độ A(-1;1); B(3;9) c) )(204).91( 2 1 ).( 2 1 DVDTCDBCADS ABCD =+=+= K I H E D C O B A Lời giải tóm tắt đề thi môn toán vào tr ờng chuyên hùng v ơng phú tho năm học 2009-2010 a)Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp ta có BEC= BDC=90 0 theo quy tích cung chứa góc tứ giác BEDC nội tiêp đờng tròn tâm I đờng kính BC b)Chứng minh tam giác DIE đều Ta có tam giác BEC,BDC vuông tại E ;D có EI;DI là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên DI=EI ( cùng bằng nửa BC) mặt khác AED= ACB (cùng bù BED) ; BAC chung nên AED đ d với ACB suy ra 2 1 60sin 0 === Co AB AD BC DE nên DE= 2 1 BC vậy DE=DI=EI nên DIE đều c)Chứng minh tam giác AHO cân Kẻ đờng kính AK ta có tứ giác BHCK là hình bình hành nên H;I;K thẳng hàng Trong tam giác AHK có OI là đờng trung bình nên AH=2.OI Trong tam giác vuông IOC (vuông tại I ) có IOC= 2 1 BOC= BAC=60 0 nên OC=2.OI mà OC=OA nên AH=AO suy ra tam giác AHO cân tại A (đpcm) Câu 5(1 điểm) : Cho x;y;z là các số thực dơng sao cho xyz=x+y+z+2 Chứng minh rằng: 2 3111 ++= zxyzxy P H ớng dẫn Từ giả thiết ta có (1+x)(1+y)+(1+y)(1+z)+(1+z)(1+x)=(1+x)(1+y)(1+z) 1 1 1 1 1 1 1 = + + + + + zyx Đặt )1:(; 1 1 1 1 1 =++ + = === + cbavi a cb a a a xa x Tơng tự c ba yc zb ca yb y + == + + == + 1 1 ; 1 1 Nên ))(())(())(( bacb ac caba bc cacb ab P ++ + ++ + ++ = áp dụng Bất đẳng thức Cô-Si cho 2 số dơng ta có + + + ++ ca a cb b cacb ab 2 1 ))(( ; ; 2 1 ))(( + + + ++ ca c ab b caba bc + + + ++ ba a cb c bacb ac 2 1 ))(( Vậy 2 3 2 1 = + + + + + + + + + + + ca c ca a ba b ba a cb c cb b P Dờu = xảy ra khi a=b=c hay x=y=z=2 GVHD: Nguyễn Minh Sang trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ; gmail minhsang5260@gmail.com.vn 3 Lời giải tóm tắt đề thi môn toán vào tr ờng chuyên hùng v ơng phú tho năm học 2009-2010 Thi tuyển sinh THPT chuyên hùng Vơng Môn Toán (Chuyên Toán) Thời gianl àm bài 150 phút-ngày thi 26 tháng 6 năm 2009 Câu 1(2 điểm): Cho hệ phơng trình =+ = )2(;5 )1(;2 myx ymx (m là tham số) a) Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất với mọi m b) Tìm m để hệ có nghiệm(x;y) thoả mãn x+y=5 H ớng dẫn a) +=+ = =+ = =+ = )2(;52)1( )1(;2 ;5)2( ;2 ;5 ;2 2 mxm mxy mxmx mxy myx ymx Ta có 01 2 >+m với mọi m nên PT(2) có nghiệm duy nhất với mọi míuy ra hệ có nghiệm duy nhất với mọi m b)Từ (2) 1 52 2 + + = m m x thay vào (1) ta đợc 1 25 2 + = m m y Vì x+y=5 nên 02755 1 37 2 2 =+= + + mm m m Nhẩm Vi-ét a+b+c=5+(-7)+2=0 5 2 ;1 21 == mm Câu 2(1 điểm): Tìm các số nguyên dơng x;y;z thoả mãn x 3 -y 3 =z 2 trong đó y nguyên tố (z;3)=(z;y)=1 H ớng dẫn từ GT ta có ( ) ( ) [ ] 2 2 3 zx yyxyx =+ Ta có (x;y)=1 vì nếu (x;y) khác 1 Thì ( ) ( ) [ ] yzyxyyxyx 2 2 3 + trái GT (z;y)=1 Ta cũng có (x-y) không chia hết cho 3 Vì x-y chia hết cho 3 thì z chia hết cho 3 trái GT đặt x-y=k 2 ;x 2 +xy+y 2 =t 2 ( k;t Z) thì z=k.t Ta có 4t 2 =4x 2 +4xy+4y 2 3y 2 =4t 2 -4x 2 -4xy -y 2 =(2t+2x+y)(2t-2x-y) vì y nguyên tố nên = =++ = =++ )2( 322 122 )1( 122 322 2 2 yyxt yxt yxt yyxt (1) 3y 2 -1=2(2x-y)=2(k 2 +3y) k 2 +1=3(y 2 -k 2 +2y) 3 suy ra k 2 +1 3 vô lý vì k 2 +1 không chia hết cho 3 (2) y 2 -3=2(2x+y)=2(2k 2 +3y) (y-3) 2 -4k 2 =12 (y-3+2k)(y-3-2k)=12 Từ đó tìm đợc y=7 thay vào ta có x=8;z=13 Câu 3 (3điểm): GVHD: Nguyễn Minh Sang trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ; gmail minhsang5260@gmail.com.vn 4 Lời giải tóm tắt đề thi môn toán vào tr ờng chuyên hùng v ơng phú tho năm học 2009-2010 a)Gải phơng trình : (x+1) 2009 +(x+1) 2008 (x+2)+(x+1) 2007 (x+2) 2 ++(x+1)(x+2) 2008 +(x+2) 2009 =0 b)Cho x;y là các số thực thoả mãn điều kiện 4 5 =+ yx Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức yx A 4 14 += H ớng dẫn a)Đặt x+1=a;x+2=b ta có a 2009 +a 2008. .b+a 2007 .b 2 ++a.b 2008 +b 2009 =0 (a-b)( a 2009 +a 2008. .b+a 2007 .b 2 ++a.b 2008 +b 2009 )=0 a 2010 -b 2010 =0 a 2010 =b 2010 a=b hoặc a=-b Với a= b ta có x+1=x+2 vô nghiệm Với a=-b ta có x+1=-x-2 2x=-3 2 3 =x b)áp dụng bất đẳng thức Bunhicôpsky cho 2 dãy yx; và yx 2 1 ; 2 ta có ( ) 5 4 14 4 25 2 1 2 4 14 2 += + ++ yxyx yx Min(A)=5 khi = = = =+ 4 1 1 2 2 4 5 y x y x yx Cách khác : áp dụng BĐT Cô-Si ta có ;24. 4 1 24 4 1 ;84. 4 24 4 =+=+ y y y y x x x x Ta có 5)(41010)(4 =+++ yxAyxA Min (A)=5 khi = = =+> = = 4 1 1 4 5 ;0; 4 4 1 4 4 y x yxyx y y x x Câu 4: (3 điểm) Cho nhọn ABC nội tiếp (O) điểm P nằm trong sao cho BAP= PBC; CAP= PCB.AP cắt BC tại M a)Chứng minh M là trung điểm BC b)Gọi H là trực tâm ABC .Chứng minh tứ giác BHPC nội tiếp )( c)Đờng trung trực AP cắt BC tại Q.Chứng minh rằng QA tiếp xúc với (O);QP tiếp xúc với )( a)Ta có ABM đd BPM (gg) nên )1(. 2 PMAMBM BM AM PM BM == GVHD: Nguyễn Minh Sang trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ; gmail minhsang5260@gmail.com.vn 5 Lời giải tóm tắt đề thi môn toán vào tr ờng chuyên hùng v ơng phú tho năm học 2009-2010 Ta có ACM đd CPM (gg) nên )2(. 2 PMAMCM CM AM PM CM == Từ (1) và 2 ta có BM=CM hay M là trung điểm của BC b)Chứng minh tứ giác BHPC nội tiếp đờng tròn )( Theo tính chất trực tâm BHC+ BAC =180 0 (3) theo tính chất tổng ba góc trong tam giác BPC+ PBC+ PCB=180 0 mà PBC= BAP; PCB= CAP nên BPC+ PBC+ PCB= BPC+ PAB+ PAC= BPC+BAC=180 0 (4) Từ (3) và (4) ta có BPC= BHC theo QT cung chứa góc thì minh tứ giác BHPC nội tiếp đờng tròn )( (đpcm) c)Gọi trung trực AP cắt AP tại I Ta có QB.QC=(QM-BM)(QM+BM)=QM 2 -BM 2 Ta có ABM đd BPM (gg) nên 222 ))((. IPMIIPMIIPMIPMAMBM BM AM PM BM =+=== áp dụng định lý Pi ta go cho cho tam giác vuông QMI ta có QM 2 =QI 2 +IM 2 Vậy QB.QC= QI 2 +IM 2 -MI 2 +IP 2 = QI 2 +IP 2 = QI 2 +IA 2 mà theo Pitago cho tam giác vuông QIA ta có QI 2 +IA 2 =QA 2 nên AQ 2 =QB.QC hay QA là tiếp tuyến của (O) Ta có QA=QP nên AQ 2 =QB.QC suy QP là tiếp tuyến của đờng tròn )( (đpcm) Cách khác: kẻ tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại Q 1 ;kẻ tiếp tuyến tại P của )( cắt BC tại Q 2 Q 1 AB đ d Q 1 CA (gg) nên )1( 2 2 1 1 1 1 1 1 AC AB CQ BQ AC AB CQ AQ AQ BQ === GVHD: Nguyễn Minh Sang trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ; gmail minhsang5260@gmail.com.vn Q1 Q2 Q I H M O B C A P 6 Lời giải tóm tắt đề thi môn toán vào tr ờng chuyên hùng v ơng phú tho năm học 2009-2010 Q 2 PB đ d Q 2 CP (gg) nên )2( 2 2 2 2 2 2 2 2 PC PB CQ BQ PC PB CQ PQ PQ BQ === Ta có ABM đd BPM (gg) nên )3( BP AB PM BM = Ta có ACM đd CPM (gg) nên )4( CP AC PM CM = Mà BM=CM (5) Từ (3);(4);(5) ta có )6( PC PB AC AB = Từ (1);(2);(6) ta có CQ BQ CQ BQ 2 2 1 1 = mà Q 1 ;Q 2 thuộc tia CB nên Q 1 trùng Q 2 Măt khác từ (1) ta có Q 1 A 2 =Q 1 B.Q 1 C; từ (2) ta có Q 2 P 2 =Q 2 B.Q 2 C; Nên Q 1 A=Q 1 P nên Q 1 thuộc trung trực của AP hay QQQ 21 Câu 5(1 điểm): Cho các số thực không âm a;b;c sao cho ab+bc+ca=3 .Chứng minh rằng 1 2 1 2 1 2 1 222 + + + + + = cba P HD: 222 23 2 2 2 2 2 2 + + + + + = c c b b a a P áp dụng BĐT Bunhiacôpsky cho 2 dãy 2;2;2 222 +++ cba Và 2 ; 2 ; 2 222 +++ c c b b a a Ta có ( ) 2 2 2 2 2 2 2 222 )( 222 6 cba c c b b a a cba ++ + + + + + +++ Thay 6=2(ab+bc+ca) ta có a 2 +b 2 +c 2 +6=(a+b+c) 2 nên 11 )( )( 23 2 2 = ++ ++ P cba cba P Dấu = xảy ra khi a=b=c=1 Thi tuyển sinh THPT chuyên hùng Vơng Môn Toán (Chuyên Tin học) Thời gianl àm bài 150 phút-ngày thi 27 tháng 6 năm 2009 Câu 1(2 điểm): Cho phơng trình bậc 2: x 2 -2(m-1)x+2m-4=0 ( trong đó m là tham số) a)Chứng minh phơng trình có 2 nghiệm phân biệt GVHD: Nguyễn Minh Sang trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ; gmail minhsang5260@gmail.com.vn 7 Lời giải tóm tắt đề thi môn toán vào tr ờng chuyên hùng v ơng phú tho năm học 2009-2010 b)Gọi x 1 ,x 2 là 2 nghiệm của phơng trình .Tìm m để 2 2 2 1 xxP += đạt min H ớng dẫn a) Để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m thì m > ;0 / Ta có mvoimmmmm >+=+== 01)2(54)42()1( 222/ ( đpcm) b)Vì m > ;0 / theo Vi-ét ta có = =+ 42. )1(2 21 21 mxx mxx ta có 33)32(12124 )42(2)1(42)( 22 2 21 2 21 2 2 2 1 +=+= =+=+= mmmP mmxxxxxxP Vậy Min(P)=3 khi 2 3 =m Câu 2(2 điểm): a)Giải phơng trình: xxxxxxx 223233 2223 +++=++++ b)Giải hệ phơng trình: =+ =+ 134 144 22 22 yxyx yxx H ớng dẫn a) TXĐ : 0x ( ) ( ) ( ) ( ) =+ = =+ =+ =+ =+ =++=+++ +++=++++++=++++ )(;032 ;0 23 11 023 011 02311023231 )1(232)3)(1(223233 2 22 222 222223 vonghiemxx Thoamanx xx x xx x xxxxxxxx xxxxxxxxxxxxx Vậy phơng trình có nghiệm x=0 b) =+ = =+ += =+ =+ =+ =++ =+ =+ 134 12 134 12 134 )12( 134 144 134 144 22 22 22 22 22 22 22 22 yxyx xy yxyx xy yxyx yx yxyx yxx yxyx yxx Với y=2x+1 thay vào phơng trình 2 ta có 4x 2 -3x(2x+1)+(2x+1) 2 =1 4x 2 -6x 2 -3x+4x 2 +4x+1=1 2x 2 +x=0 x(2x+1)=0 x=0 hoặc x= 2 1 với x=0 thì y=1;với x= 2 1 thì y=0 Với y=-(2x+1) thay vào phơng trình 2 ta có 4x 2 +3x(2x+1)+(2x+1) 2 =1 4x 2 +6x 2 +3x+4x 2 +4x+1=1 14x 2 +7x=0 7x(2x+1)=0 x=0 hoặc x= 2 1 với x=0 thì y=-1;với x= 2 1 thì y=0 Hệ có 3 nghiệm (x;y)=(0;1);( )0; 2 1 ;(0;-1); Cách khác: GVHD: Nguyễn Minh Sang trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ; gmail minhsang5260@gmail.com.vn 8 Lời giải tóm tắt đề thi môn toán vào tr ờng chuyên hùng v ơng phú tho năm học 2009-2010 (1) 0144 22 =++ yxx (*) coi PT(*) là phơng trình bậc 2 ẩn x tham số y GPT theo CT nghiệm 04444 22/ =+= yy PT(*) có 2 nghiệm = += = + = = + = = + = 12 12 2 1 2 1 2 1 2 1 4 42 4 42 2 2 xy xy y x y x y x y x y x y x sau đó giải nh trên Câu 3(2 điểm): a)Chứng minh rằng với mọi số a.b.c đôi một phân biệt thì 1 ))(())(())(( = + + bcac ab abcb ca caba bc b) Cho ba số a.b.c đôi một phân biệt .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2 )()()( ba c ac b cb a P + + = H ớng dẫn a) 1 ))()(( ))()(( ))()(( ))(( ))()(( ))(()()( ))()(( )( ))()(( )()()( ))(())(())(())(())(())(( 22 2222 = = + = ++ = ++ = + = + = + + cacbba cacbba cacbba acababccb cacbba cbcbacbacbbc cacbba abbaaccacbbc cacbba baabcacacbbc cbca ab bacb ca caba bc bcac ab abcb ca caba bc b) 02)(;2 )()()( 0 ))(())(())(( 2 )()()( 0 ))(())(())(( 2 )()()( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + = + + + + + + + + + + + = + + ba c ac b cb a PMin ba c ac b cb a abcb ac baca bc acbc ab ba c ac b cb a bacb ac baac bc accb ab ba c ac b cb a ba c ac b cb a Câu 4(3 điểm):Cho 2 đờng tròn (O 1 ) và (O 2 ) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B đờng thẳng vuuông góc với AB tại B cắt (O 1 ) tại C cắt (O 2 ) tại D một đờng thẳng quay quanh B cắt (O 1 ) và (O 2 ) tại E và F a)Chứng minh tỉ số AF AE không đổi b)Các đờng thẳng EC ;DF cắt nhau tại G .Chứng minh tứ giác AEGF nội tiếp c) Chứng minh rằng khi EF quay quanh B thì tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ gíac AEGF luôn thuộc đờng tròn cố định GVHD: Nguyễn Minh Sang trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ; gmail minhsang5260@gmail.com.vn 9 Lời giải tóm tắt đề thi môn toán vào tr ờng chuyên hùng v ơng phú tho năm học 2009-2010 H ớng dẫn a)Chứng minh tỉ số AF AE không đổi xét 2 tam giác EAFCAD ; có ACD= AEF; ADC= AFE nên CAD đồng dạng EAF (g.g) nên AD AC AF AE AF AD AE AC == ( không đổi) a) Vì CD AB nên A;O 1 C thẳng hàng A;O 2;; D thẳng hàng nên AEG= AFG=90 0 vậy AEG+ AFG=180 0 nên tứ giác AEGF nội tiếp đờng tròn tâm I đờng kính AG c)Tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AEGF thuộc trung trực của AE;AF mà AE;AF là 2 day của (O 1 );(O 2 ) nên trung trực của AE;AF đi qua O 1 ;O 2 gọi trung trực AE;à cát nhau tại I thì I là trung điểm AG ta có O 1 IO 2 + EAF=180 0 mà EAF= CAD suy ra O 1 IO 2 =180 0 - CAD (không đổi) O 1 O 2 cố định nên I chuyển động trên cung chứa góc 180 0 - CAD dựng trên O 1 O 2 GVHD: Nguyễn Minh Sang trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ; gmail minhsang5260@gmail.com.vn 10 I G F D C B A O1 O2 E [...]...Lời giải tóm tắt đề thi môn toán vào tr ờng chuyên hùng v ơng phú tho năm học 2009-2010 Câu 5(1 điểm):Trên mặt phẳng cho 2009 điểm sao cho 3 điểm bất kỳ trong chúng là đỉnh của một tam giác có diện tích không vợt quá 1 Chứng minh rằng 2009 điểm... điểm trên luôn nằm trong tam giác MNP giả sử có diểm Q nằm bên ngoài MNP ta có SACQ >SABC > 1 vô lý vì SABC Max Vậy Chứng minh rằng 2009 điểm đã cho nằm trong một tam giác có diện tích không lớn hơn 4 GVHD: Nguyễn Minh Sang trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ; gmail minhsang5260@gmail.com.vn 11 . tắt đề thi môn toán vào tr ờng chuyên hùng v ơng phú tho năm học 2009-2010 kì thi tuyển sinh THPTchuyên hùng vơng Năm học 2009-2010 Môn Toán ( không chuyên) Thời gianl àm bài 120 phút-ngày thi. x=y=z=2 GVHD: Nguyễn Minh Sang trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ; gmail minhsang5260@gmail.com.vn 3 Lời giải tóm tắt đề thi môn toán vào tr ờng chuyên hùng v ơng phú tho năm học 2009-2010 Thi tuyển. bù BED) ; BAC chung nên AED đ d với ACB suy ra 2 1 60sin 0 === Co AB AD BC DE nên DE= 2 1 BC vậy DE= DI=EI nên DIE đều c)Chứng minh tam giác AHO cân Kẻ đờng kính AK ta có tứ giác BHCK