Lời giải tóm tắt đề thi môn toán trờng chuyên hùng vơng Phú thọ năm học 2006-2007 Thi vào Chuyên Hùng Vơng Vòng 1 (Ngày 3 tháng 7 năm 2006) Bài 1 Cho biểu thức ; 2 4)( 2 ab abba ba abba M + + + = Với a>0;b>0 /aRút gọn M 22 22 2 2 )( )( 2 4)( 22 babababa baM ab baab ba ba ab abba ba abba M + = + = + += + + + = + + + = b/Tính giá trị M khi ;200622007 += a ;200622007 = b ta có 2 )12006(200622007 +=+= a ; 2 )12006(200622007 == b vậy 2006 2 1200612 006 = ++ = M Bài 2 Giải phơng trình 12 1 )1( 1 )2( 1 2 = + + x xx (*) ĐKXĐ : x0;x-1; x-2 đặt x 2 +2x=y 012)1(12)1(12 12 1 1 11 (*) 2 =++=+= + yyyyyy yy =49;y 1 =3;y 2 =-4 Với y=3 ta có x 2 +2x-3=0 nhẩm Vi-ét x 1 =1;x 2 =-3 ĐKXĐ Với y=-4 ta có x 2 +2x+4= 0 vô nghiệm vì / =-3 <0 Vậy phơng trình có 2 nghiệm x 1 =1;x 2 =-3 Bài 3 Gọi số xe của đội là x (xe) xN;x>2 Số tấn hàng mỗi xe phải chở theo kế hoạch là x 120 (tấn) Khi 2 xe bị hỏng mỗi xe phải chở 2 120 x (tấn) Vì mỗi xe phải chở thêm 16 tấn hàng nên ta có PT 16 120 2 120 = xx (*) Giải PT (*)120x-120(x-2)=16x(x-2)16x 2 -32x-240=0 x 2 -2x-15=0 ; / =16;x 1 =5>0 thoả mãn;x 2 =-3 <0 (loại) Trả lời :số xe của đội là 5 xe Bài 4 Cho hệ phơng trình )( 1 1 I ayx yax =+ = a/Tìm nghiệm của hệ GVHD: Nguyễn Minh Sang Trờng THCS Lâm Thao 1 Lời giải tóm tắt đề thi môn toán trờng chuyên hùng vơng Phú thọ năm học 2006-2007 +=+ = +=+ = =+ = =+ = )2(1)1( )1(1 1 1 1 1 1)1( 1 )( 222 aax axy axax axy axax axy axax axy I Vì a 2 +1 >0 mọi a từ (1) ta có 1 1 2 + + = a a x thay vào (2) 1 1 2 + = a a y Vậy hệ có nghiệm duy nhất 1 1 2 + + = a a x ; 1 1 2 + = a a y b/Tìm Min;Max của tổng x+y Ta có 11 1 )1( 1 112 1 2 2 2 2 22 2 + + = + ++ = + =+= a a a aaa a a yxT Min (T)=-1 khi a=-1;mặt khác áp dụng BĐT A 2 +B 2 2AB (dấu "=" xảy ra khi A=B) Ta có 1 2 2 = a a T ;Max(T)=1 khi a=1 Cách khác: (Sử dụng phơng pháp miền giá trị) Gọi T 0 là giá trị tuỳ ý của T ta có T 0 (a 2 +1)=2aT 0 a 2 -2a+T 0 =0(*) Với T 0 =0 thì a=0 Với T 0 0 ;PT(*) chỉ có nghiệm a khi / 0 ta có / =1-T 0 2 0-1T 0 1 Vậy giá trị lớn nhất của x+y=1 khi a=1;giá trị nhỏ nhất của x+y=-1 khi a=-1 Câu 5 Thi vào Chuyên Hùng Vơng Vòng 2 (Ngày 4 tháng 7 năm 2006) Bài 1Cho a,b,c ,x,y,z là các số thực a,b,c khác 0 a/Từ giả thiết 0 0 222222 222 = ++ = ++ ++ = = = = = = cbacba bcxacyabzbcxacyabz c cbxcay b bazbcx a acyabz c bxay b azcx a cybz GVHD: Nguyễn Minh Sang Trờng THCS Lâm Thao 2 A B O M H I K a/Chứng minh OI=OM xét 2Tam giác AOM;BOI có OAM=OBI (cạnh tơng ứng ) OA=OB(gt); AOM=BOI=90 0 Nên AOM=BOI (c.g.c)OI=OM( ) b/Ta có tứ giác AOHB nội tiếp nên OHA=OBA=45 0 nên OHK=45 0 vậyOHK vuông cân tại K OK=KH( ) c/*Phần thuận: Ta có OKB=90 0 không đổi OB cố định theo quỹ tích cung chứa góc K thuộc đờng tròn đờng kính OB Giới hạn MO thì KO;khi MB thì KC (C là trung điểm cung OKB) *Phần đảo lấy K / cung OC ,nối OK / trên K / B lấy H / sao cho OK / =K / H / ta phải chứng minh AH / K / B.Ta có OH / A=OBA=45 0 nên tứ giác AOH / B nội tiếp suy ra AH / K / B *Kết luận : tập hợp K là cung OC của đờng tròn Đờng kính OB CK / H / Lời giải tóm tắt đề thi môn toán trờng chuyên hùng vơng Phú thọ năm học 2006-2007 Vì a,b,c khác 0 nên bz-cy=0;cx-az=0;ay-bx=0 Suy ra c z b y a x == ( ) b/ (*) 222 333333 222 cba baaccb c ab b ca a bc M ++ =++= Mặt khác ab+bc+ac=0 ab+bc=-ac(ab+bc) 3 =(-ac) 3 a 3 b 3 +b 3 c 3 +3ab 2 c(ab+bc)=-a 3 c 3 a 3 b 3 +b 3 c 3 + a 3 c 3 =3a 2 b 2 c 2 thay vào (*) ta có M=3 Bài 2 a/ Chữ số trăm nghìn có 3 cách chọn sau khi chọn chữ số hàng trăm nghìn chữ số hàng chục nghìn còn 2 cách chọn chữ số hàng nghìn còn 1 cách chọn. Chữ số trăm có 3 cách chọn, sau khi chọn chữ số hàng trăm chữ số hàng chục có 2 cách chọn chữ số đv còn 1 cách chọn vì chọn 3 chữ số một cặp Vậy có tất cả 3.2.1.3.2.1.3= 108 số thoả mãn bài toán b/Tìm nghiệm nguyên thoả mãn hệ ++ =++ = ++ =++ = )3(01242 )2(0)3(4)3(2 )1(01526 01242 0)3(2)3( 1526 22 2 2 22 2 2 zyyx zyxx yxx zyyx zyxx yxx PT(1) cộng PT(2)+PT(3) ta có x 2 -6x-2y-15+2x 2 y-6xy+4z+12+x 2 y 2 +2y-4z+120 (x 2 y 2 +2x 2 y+x 2 )-6(xy+x)+90(xy+x) 2 -6(xy+x)+90(xy+x-3) 2 0 vì x,y,z nguyên nên (xy+x-3) 2 =0xy+x=3x(y+1)=3 ta có các hệ sau =+ = =+ = =+ = =+ = 11 3 ; 11 3 ; 31 1 ; 31 1 y x hoac y x hoac y x hoac y x suy ra = = = = = = = = 2 3 ; 0 3 ; 4 1 ; 2 1 y x hoac y x hoac y x hoac y x thay các cặp (x;y) vào PT(3) tìm z sau đó thay vào PT(3) chỉ có cặp x=-1;y=-4;z=5 thoả mãn Vậy hệ có nghiệm (x;y;z)=(-1;-4;5) Bài 3 Giải phơng trình 1612244 2 +=++ xxxx (*) ĐKXĐ: x4 (*) 12)44(12)4)(4(4444 2 ++=++++=++ xxxxxxxx Đặt 0:;44 >=++ yDKyxx Ta có PT: y=y 2 -12y 2 -y-12=0(y-4)(y+3)=0 y=4 vì y+3>0 Với y=4 ta có DKXDxxx xxxxxxx === +=+=+=++ 514848 448164444444 Vậy phơng trình có nghiệm x=5 Bài 4 GVHD: Nguyễn Minh Sang Trờng THCS Lâm Thao 3 A B P a/Tâm đờng tròn ngoại tiếp MNP là giao trung trực MN &MP vì BMN CMP cân tại B&C nên trung trực MN;MP chính là phân giác ABC; ACB giao 2 phân giác này chính là tâm đờng tròn nội tiếp ABC ( ) b/Tìm vị trí N;P để độ dài NP nhỏ nhất Lời giải tóm tắt đề thi môn toán trờng chuyên hùng vơng Phú thọ năm học 2006-2007 Bài 5 Tìm số nguyên lớn nhất không vợt quá 7 )154( + Đặt nn nn n baS +=++= )154()154( ta có nnnnnn baSbaS .)154(.)154(;)154()154( 22 21 ++=++= ++ [ ] )()154()154(8 ).11532().115832( 2 2 nnnnn nnn babaS baS +++= ++= + + Vậy S n+2 =8.S n+1 -S n Ta có S 1 =8 S 2 =62 ;S 3 =8.62-8=488 ;S 4 =8.488-62=3842 ; S 5 =8.3842-488=30248 S 6 =8.30248-3842=238142; S 7 =8.238142-30248=1874888 Vì 1)154(0 7 << nên 1874887< 7 )154( + <1874888 Vậy số nguyên lớn nhất không vợt quá 7 )154( + là 1874887 GVHD: Nguyễn Minh Sang Trờng THCS Lâm Thao 4 C N M O Xét tứ giác ANOP có A;O cố định NAO không đổi;NOP=2.NMP NMP=180 0 -M 1 -M 2 =180 0 - 2 90 2 180 2 180 0 00 NAPACBABC = NOP=180 0 -NAP nên NOP +NAP=180 0 -NAP+NAP=180 0 do vậy tứ giác ANOP nội tiếp NAP không đổi AO cố định dây NP nhỏ nhất khi đờng kính của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác này nhỏ nhất khi đó AO là đờng kính suy ra N;P;M là chân đờng vuông góc kẻ từ O tới AB,AC,BC 1 2 Ngời gửi ; Nguyễn Minh Sang GV trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ DD 0917370141 gmail: minhsang5260@gmail.com.vn Tôi có đề thi và HD giải các đề thi vào chuyên NN ; Chuyên ĐHSP; ĐHKHTN ,Chuyên Hùng Vơng Phú thọ từ năm học 2004-2005 đến nay rất mong đợc trao đổi đề thi và đáp án HSG Toán 9 cấp huyện và cấp tỉnh và đề thi vào lớp 10 các trờng THPT chuyên trong cả nớc với các bạn đồng nghiệp mọi liên hệ gửi về minhsang5260@gmail.com.vn . minhsang5260@gmail.com.vn Tôi có đề thi và HD giải các đề thi vào chuyên NN ; Chuyên ĐHSP; ĐHKHTN ,Chuyên Hùng Vơng Phú thọ từ năm học 2004-2005 đến nay rất mong đợc trao đổi đề thi và đáp án HSG Toán 9. Lời giải tóm tắt đề thi môn toán trờng chuyên hùng vơng Phú thọ năm học 200 6-2007 Thi vào Chuyên Hùng Vơng Vòng 1 (Ngày 3 tháng 7 năm 2006) Bài 1 Cho. hệ GVHD: Nguyễn Minh Sang Trờng THCS Lâm Thao 1 Lời giải tóm tắt đề thi môn toán trờng chuyên hùng vơng Phú thọ năm học 200 6-2007 +=+ = +=+ = =+ = =+ = )2(1)1( )1(1 1 1 1 1 1)1( 1 )( 222 aax axy axax axy axax axy axax axy I Vì