Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà x hội chủ nghĩa việt namã Tr ờng đại học s phạm hà nội Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc Đề chính thức đề thi tuyển sinh Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010 Môn thi: Toán học (Dùng cho mọi thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin) Thời gian làm bài :150 phút Câu 1: 1.Giả sử a và b là hai số dơng khác nhau và thoả mãn 22 11 abba = Chứng minh rằng 1 22 =+ ba 2.Chứng minh rằng số 2222 20102010.20092009 ++ là số nguyên dơng Câu 2: Giải sử 4 số thực a , b, c, c, d đôi 1 khác nhau và thoả mãn hai điều kiện sau i) Phơng trình 052 2 = dcxx có 2 nghiêm a và b ii) Phơng trình 052 2 = baxx có 2 nghiêm c và d Chứng minh rằng 1. a-c=c-b=d-a 2. a+b+c+d=30 Câu 3 Giả sử m và n là những số nguyên dơng với n>1 .Đặt nmnmS 44 22 += Chứng minh rằng: 1.Nếu m>n thì ( ) 422 2 2 2 nmSnmn << 2.Nếu S là số chính phơng thì m=n Câu 4 Cho tam gíac ABC với AB>AC ,AB >BC.Trên cạnh AB của tam giác lấy các điểm M và N sao cho BC=BM và AC=AN 1.Chứng minh điểm N thuộc đoạn thẳng BM 2.Qua M và N ta kẻ đờng thẳng MP song song với BC và NQ song song với CA );( CBQCAP .Chứng minh CP=CQ. 3.Cho góc ACB=90 0 , góc CAB=30 0 và AB= a . Tính diện tích tam giác MCN theo a. Câu 5 Trên bảng đen viết ba số 2 1 ;2;2 .Ta bắt đầu thực hiện trò chơi nh sau : Mỗi lần chơi ta xoá hai số nào đó trong ba số trên bảng ,giả sử là a và b rồi viết vào 2 vị trí vừa xoá hai số mới 2 ba + và 2 ba đồng thời giữ nguyên số còn lại .Nh vậy sau mỗi lần chơi trên bảng luôn có ba số .Chứng minh rằng dù ta có chơi bao nhiêu lần đi chăng nữa thì trên bảng không đồng thời có ba số 21;2; 22 1 + . Hết Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh số báo danh Giải đề thi tuyển sinh Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010 Môn thi: Toán học (Dùng cho mọi thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin) Câu 1: 1.Giả sử a và b là hai số dơng khác nhau và thoả mãn 22 11 abba = Chứng minh rằng 1 22 =+ ba 2.Chứng minh rằng số 2222 20102010.20092009 ++ là số nguyên dơng H ớng dẫn 1. từ GT )(; 11 ))(( 11 11 2222 22 22 ba ab baba ab ba abba + + = + == suy ra 22 11 abba +=+ ta có hệ 1 1 1 11 11 22 2 2 22 22 =+ = = = +=+ ba ab ba abba abba 2 Đặt a= 2009 ta có 2222 20102010.20092009 ++ = Zaaaaaaaaaaaa ++=++=++++=++++ 1)1(1)1(2)1.()1()1.( 222222222 Câu 2: Giải sử 4 số thực a , b, c, c, d đôi 1 khác nhau và thoả mãn hai điều kiện sau iii) Phơng trình 052 2 = dcxx có 2 nghiêm a và b iv) Phơng trình 052 2 = baxx có 2 nghiêm c và d Chứng minh rằng 1. a-c=c-b=d-a 2. a+b+c+d=30 H ớng dẫn 1. Vì a,b là nghiệm PT (1) theo Vi-ét ta có = =+ )2(5 )1(2 dab cba Vì a,b là nghiệm PT (1) theo Vi-ét ta có = =+ )4(5 )3(2 bcd adc Từ (1) ta có a-c=c-b từ (3) ta có c-a=a-d nên a-c=c-b=d-a 2.nhân (2) và (4) ta có abcd=25bd suy ra ac=25 Mặt khác a là nghiệm PT(1) nên )5(505052 22 == dadcaa c là nghiệm PT(1) nên )6(505052 22 == bcbcac từ (5) và (6) ta có )(30:;15 0150)(5)(100)(52)(100)(5 2222 dpcmdcbadacamaca cacacaa ccadbca =++++=+=+ =++=++=++ Câu 3 Giả sử m và n là những số nguyên dơng với n>1 .Đặt nmnmS 44 22 += Chứng minh rằng: 1.Nếu m>n thì ( ) 422 2 2 2 nmSnmn << 2.Nếu S là số chính phơng thì m=n H ớng dẫn 1.ta chứng minh ( ) 42222 2 2 )44(2 nmnmnmnmn <+< Bằng cách xét hiệu ( ) 1:;044444 )44(2 33242242 222 2 2 ><=++= += nvinnmnnmmnnmH nmnmnmnH Mặt khác 0)(4)44( 242222 >=+ nmnnmnmnmn vì n>1; m>n 2.Ta chứng minh ( ) ( ) 22 22 +<< mnSmn xét S=(mn-1) 2 thì 12441244 2222 =+=+ mnmnmnnmnmnm không tồn tại m,n vì vế phải chẵn Xét S=(mn+1) 2 thì 12441244 2222 =+++=+ mnmnmnnmnmnm không tồn tại m,n vì vế phải chẵn Từ đó ta có S=m 2 n 2 thì 04444 2222 ==+ mnnmnmnm suy ra m=n Câu 4 Cho tam gíac ABC với AB>AC ,AB >BC.Trên cạnh AB của tam giác lấy các điểm M và N sao cho BC=BM và AC=AN 1.Chứng minh điểm N thuộc đoạn thẳng BM 2.Qua M và N ta kẻ đờng thẳng MP song song với BC và NQ song song với CA );( CBQCAP .Chứng minh CP=CQ. 3.Cho góc ACB=90 0 , góc CAB=30 0 và AB= a . Tính diện tích tam giác MCN theo a. H ớng dẫn H P Q N M A B C 1. Ta có BN=AB-AN=AB-AC<BC=BM ( bđt tam giác) vậy N BM 2. Ta có )1( . AB MBAC PC MB AB PC AC == )2( . AB NABC QC NA AB QC BC == Mà MB=BC; NA=AC kết hợp với (1) và (2) ta có CP=CQ (đpcm) 3.Nếu ACB=90 0 , góc CAB=30 0 và AB= a .thì 2 3 ; 2 a AC a BC == ta có MN=AN-AM=AC-AM=AC-(AB-BM)=AC-AB+BC= 2 )13( a Kẻ CH AB thì 4 3 : 4 3. 2 a a a AB CBCA CHCBCACHAB ==== Vậy: 16 )33( 4 3 . 2 )13( . 2 1 . 2 1 2 aaa CHMNS CMN = == ( đvdt) Câu 5 Trên bảng đen viết ba số 2 1 ;2;2 .Ta bắt đầu thực hiện trò chơi nh sau : Mỗi lần chơi ta xoá hai số nào đó trong ba số trên bảng ,giả sử là a và b rồi viết vào 2 vị trí vừa xoá hai số mới 2 ba + và 2 ba đồng thời giữ nguyên số còn lại .Nh vậy sau mỗi lần chơi trên bảng luôn có ba số .Chứng minh rằng dù ta có chơi bao nhiêu lần đi chăng nữa thì trên bảng không đồng thời có ba số 21;2; 22 1 + . H ớng dẫn Ta có 22 2222 2 2 2 22 22 ba babababa ba ba += ++++ = + + Nh vậy sau khi xoá 2 số a; b thay bởi hai số mới 2 ba + và 2 ba thì tổng bình phơng hai số mới không đổi nên tổng bình phơng của ba số trên bảng không đổi bằng 2 13 2 1 42 =++ mà tổng bình phơng ba số 21;2; 22 1 + là 2 13 )2232 8 1 ( +++ ( đpcm) Hết Ngời gửi ; Nguyễn Minh Sang GV trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ DD 0917370141 gmail: minhsang5260@gmail.com.vn Rất mong đợc trao đổi đề thi và đáp án HSG Toán 9 và các trờng THPT chuyên trong cả nớc . nhau và thoả mãn 22 11 abba = Chứng minh rằng 1 22 =+ ba 2. Chứng minh rằng số 22 22 201 020 10 .20 0 920 09 ++ là số nguyên dơng H ớng dẫn 1. từ GT )(; 11 ))(( 11 11 22 22 22 22 ba ab baba ab ba abba. + + = + == suy ra 22 11 abba +=+ ta có hệ 1 1 1 11 11 22 2 2 22 22 =+ = = = +=+ ba ab ba abba abba 2 Đặt a= 20 09 ta có 22 22 201 020 10 .20 0 920 09 ++ = Zaaaaaaaaaaaa ++=++=++++=++++ 1)1(1)1 (2) 1.()1()1.( 22 222 222 2 Câu. thời có ba số 21 ;2; 22 1 + . H ớng dẫn Ta có 22 22 22 2 2 2 22 22 ba babababa ba ba += ++++ = + + Nh vậy sau khi xoá 2 số a; b thay bởi hai số mới 2 ba + và 2 ba thì tổng