Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà x hội chủ nghĩa việt namã Tr ờng đại học s phạm hà nội Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc Đề chính thức đề thi tuyển sinh Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010 Môn thi: Toán học (Dùng cho mọi thí sinh thi vào trờng chuyên) Thời gian làm bài :120 phút Câu 1: 4 3 2 4 2 7 6 2 3 1 (4 1) 4 29 78 2 1 6 6 3 12 36 x x x x x x A x x x x x x x + + + = ữ ữ ữ ữ + + + 1. Rút gọn biểu thức A 2. Tìm tất các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên Câu 2: Cho hai đờng thẳng (d1 ): y = (2m 2 + 1 )x + 2m 1 (d2): y = m 2 x + m 2 Với m là tham số 1. Tìm toạ độ giao điểm I của d1 và d2 theo m 2. Khi m thay đổi, hãy chứng minh điểm I luôn thuộc đờng thẳng cố định. Câu 3 : Giả sử cho bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn hệ =++ +=+ )2(0107 )1(1 2 zzxy zyx 1. Chứng minh x 2 + y 2 = -z 2 + 12z 19 2. Tìm tất cả bộ số x,y,z sao cho x 2 + y 2 = 17 Câu 4 : Cho hình vuông ABCD có độ dài bằng cạnh a. Trong hình vuông đo lấy điểm K sao cho tam giác ABK đều. Các đờng thẳng BK và AD cắt nhau ở P. 1. Tính độ dài KC theo a 2. Trên AD lấy I sao cho . 3 3 a DI = CI cắt BP ở H. Chứng minh CHDP là nội tiếp. 3. Gọi M và L lần lợt là trung điểm CP và KD. Chứng minh LM = 2 a Câu 5: Giải phơng trình : (x 2 -5x + 1)(x 2 - 4) = 6(x-1) 2 Hết Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh số báo danh Giải đề thi tuyển sinh Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010 Môn thi: Toán học (Dùng cho mọi thí sinh thi vào trờng chuyên) Câu 1: 4 3 2 4 2 7 6 2 3 1 (4 1) 4 29 78 2 1 6 6 3 12 36 x x x x x x A x x x x x x x + + + = ữ ữ ữ ữ + + + 1. Rút gọn biểu thức A 2. Tìm tất các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên H ớng dẫn 1. )3(2 )2(3 )26)(3( )6)(2(3 . )6(2 26 )26)(3( )6)(2(3 . )6(2 82183 )26)(3( )6)(2(3 . )6(2 82183 )26)(3( )6)(2(3 . 6 4 2 3 )6)(2(3 )26)(3( : )1)(6( )1)(4( . 1 1 2 3 )1262(3 78263 : )6()6( 44 . 1 1 2 3 6 2 2 6 2 2 6 23 2 446 + = ++ + + + = ++ + + ++ = ++ + + ++ = ++ + + = + ++ + + + = + +++ ++ + + + = x x xx xx x x xx xx x xx A xx xx x xx xx xx x x A xx xx xx xx x x A xxx xxx xxx xxx x xxx A 2. )3(2 )2(3 + = x x A Xét )15(3 3 15 3 3 15)3(3 3 )2(3 2 UxZ xx x x x A + + = + + = + = x+3 -15 -5 -3 -1 1 3 5 15 x -18 -8 -6 -4 -2 0 2 12 2A 4 6 8 18 -12 -2 0 2 A 2 3 4 9 -6 -1 0 1 Vậy }{ 12;2;0;2;4;6;8;18 x thì A nguyên Câu 2: Cho hai đờng thẳng (d1 ): y = (2m 2 + 1 )x + 2m 1 (d2): y = m 2 x + m - 2 Với m là tham số 1. Tìm toạ độ giao điểm I của d 1 và d 2 theo m 2. Khi m thay đổi, hãy chứng minh điểm I luôn thuộc đờng thẳng cố định. H ớng dẫn 1.Giải hệ + + = + + = + ++ = + + = + + + = + + = += +=+ += =+++ += ++= 1 23 1 )1( 1 22 1 )1( 2 1 )1( 1 )1( 2 )1()1( 2 0212)12( 2 12)12( 2 2 2 2 2323 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 m mm y m m x m mmmmm y m m x m m mm y m m x mxmy mxm mxmy mxmmxm mxmy mxmy ta đựợc + + + + 1 23 ; 1 )1( 2 2 2 m mm m m I 2.ta có x m mm y = + +++ = 3 1 )1()1(3 2 2 Vởy I thuộc đờng thẳng y=-x-3 cố định Câu 3 : Giả sử cho bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn hệ =++ +=+ )2(0107 )1(1 2 zzxy zyx 1. Chứng minh x 2 + y 2 = -z 2 + 12z 19 2. Tìm tất cả bộ số x,y,z sao cho x 2 + y 2 = 17 H ớng dẫn 1.Từ (1) ta có x-y=z-1 x 2 -2xy+y 2 =1-2z+z 2 x 2 +y 2 =2xy+1-2z+z 2 (*) Từ (2) ta có xy=-z 2 +7z-10 thay vào (*) ta có x 2 + y 2 =2(=-z 2 +7z-10 )+z 2 -2z -+1 x 2 + y 2 = -z 2 + 12z -19 (đpcm) 2. ta có -z 2 + 12z 19=17 z 2 -12z+36=0 0)6( 2 = z z=6 thay vào ta có hệ Hệ có 2 nghiệm (x,y,z)=(-1;4;6);(- 4;1;6) = = = = =++ += =++ += =++ += =+ = 1 4 4 1 0)1)(4( 5 08102 5 017)5( 5 17 5 22222 y x y x xx xy xx xy xx xy yx yx Câu 4 : Cho hình vuông ABCD có độ dài bằng cạnh a. Trong hình vuông đo lấy điểm K sao cho tam giác ABK đều. Các đờng thẳng BK và AD cắt nhau ở P. 1. Tính độ dài KC theo a 2. Trên AD lấy I sao cho . 3 3 a DI = CI cắt BP ở H. Chứng minh CHDP là nội tiếp. 3.Gọi M và L lần lợt là trung điểm CP và KD. Chứng minh LM = 2 a Q H E N L M I P K C B A D H ớng dẫn 1.Kẻ KQ BC trong tam gíac vuông BQK có BK=a; KBQ=30 0 nên 2 a KQ = áp dụng Pi-Ta-Go cho tam giác vuông BKQ ta có 2 3 4 2 222 aa aKQBKBQ === nên 2 )32( 2 3 === aa aBQBCCQ áp dụng Pi-Ta-Go cho tam giác vuông CKQ ta có 2 3410 4 3 4 )347( 2 2 22 =+ =+= aa a KQCQKC 2.Xét tam giácvuông DCI có DC=a; 3 3a DI = nên 3 3 == DC DI DCITg nên DCI=30 0 theo GT ta có KBC=30 0 suy ra DPH=30 0 (So le) Vởy DPH= DCH =30 0 nên theo QT cung chứa góc 2 điểm P ; C thuộc cung chứa góc 30 0 dựng trên DH hay tứ giác CHDP nội tiếp 3. Kẻ KE AB thì HA=HB và KE//AP xét tam giác ABP có HA=HB; KH//AP nên KP=KB=a gọi N là trung điểm KB thì LN//CD và 2 a LN = ; MN//KP; 2 a MN = Vởy tam giác MNL cân tại N có 0 60 == ABKMNL (cạnh tơng ứng //) Nên tam gíc MNL đều suy ra 2 a LM = ( đpcm) Câu 5: Giải phơng trình : (x 2 -5x + 1)(x 2 - 4) = 6(x-1) 2 (*) H ớng dẫn Đặt x 2 -5x + 1-=a; x 2 - 4=b thì a-b=-5(x-1) suy ra 25 )( )1( 2 2 ba x = = = ==+ =++= = ab ba bababababa babababaab ba ab 6 6 0)6)(6(06366 06376612625 25 )(6 (*) 22 2222 2 Nếu thì a=6b ta có PT = + = =+=+=+ 2 211 2 211 050255524615 2222 x x xxxxxxx Nếu b=6a ta có PT = += =+=+=+ 73 73 02601030546306 2222 x x xxxxxxx PT(*) có 4 nghiệm 73;73; 2 211 ; 2 211 43211 =+= = + = xxxx Ngời gửi ; Nguyễn Minh Sang GV trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ DD 0917370141 gmail: minhsang5260@gmail.com.vn Rất mong đợc trao đổi đề thi và đáp án HSG Toán 9 và các trờng THPT chuyên trong cả nớc . ớng dẫn 1. Giải hệ + + = + + = + ++ = + + = + + + = + + = += +=+ += =+++ += ++= 1 23 1 )1( 1 22 1 )1( 2 1 )1( 1 )1( 2 )1( )1( 2 0 212 )12 ( 2 12 )12 ( 2 2 2 2 2323 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 m mm y m m x m mmmmm y m m x m m mm y m m x mxmy mxm mxmy mxmmxm mxmy mxmy . Xét )15 (3 3 15 3 3 15 )3(3 3 )2(3 2 UxZ xx x x x A + + = + + = + = x+3 -15 -5 -3 -1 1 3 5 15 x -18 -8 -6 -4 -2 0 2 12 2A 4 6 8 18 -12 -2 0 2 A 2 3 4 9 -6 -1 0 1 Vậy }{ 12 ;2;0;2;4;6;8 ;18 x . =++ +=+ )2( 010 7 )1( 1 2 zzxy zyx 1. Chứng minh x 2 + y 2 = -z 2 + 12 z 19 2. Tìm tất cả bộ số x,y,z sao cho x 2 + y 2 = 17 H ớng dẫn 1. Từ (1) ta có x-y=z -1 x 2 -2xy+y 2 =1- 2z+z 2 x 2 +y 2 =2xy +1- 2z+z 2