DAP AN DE THI HOC SINH GIOI 12 HA NOI Vong 2

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ Năm học 2010 - 2011 Môn thi: Toán Ngày thi 28 - 10 - 2010 Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang) Bài I.(3,5 điểm) Cho a,b,c,d là các số nguyên dương đôi một khác nhau và p là số nguyên tố thoả mãn điều kiện p p p p a b c d+ = + . Chứng minh rằng a c b d p− + − ≥ . Bài II.(3,5 điểm) Giải phương trình 2 3 3 5 2x sinx xcosx 2x 1 x x x 1+ + + = − + + . Bài III.(3,5 điểm) Cho phương trình 1 1 1 3 . x 1 2(x 2) n(x n) 4 + + + = + + + (với * n N∈ ) (1) . a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm dương duy nhất. b) Ứng với mỗi n phương trình (1) có nghiệm dương là x n . Tìm limx n . Bài IV.(3,5 điểm) Trên đường tròn tâm O lấy dây cung AM khác đường kính. Điểm I thuộc đoạn OA ( I không trùng với O, A). Đường tròn tâm I bán kính IA cắt đường tròn đường kính IM tại hai điểm B, C. Các tia MB, MI, MC cắt đường tròn tâm O lần lượt tại các điểm thứ hai là D, E, F. Đường thẳng DF cắt các đường thẳng ME, MA và AE tương ứng tại các điểm T, S và Q. Chứng minh rằng: 1) SD.SF = ST.SQ. 2) Ba điểm B, C, Q thẳng hàng. Bài V.(3 điểm) Cho dãy số (u n ) với u n = n 1 2 . Chứng minh rằng : 2011 1 2 2010 1 2 2010 1 2 2010 1 2 2010 (u 1)(u 1) .(u 1)(u u . u ) P 2010 1 (u u . u ) u u .u     − − − + + + = > − + + + . Bài VI.(3 điểm) Cho x,y,z là các số thực thoả mãn điều kiện: 2 2 2 2 x 4xy 6y 2 6y 8yz 3z 1      + + = + + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P xy yz zx= + + . -----------------------------Hết------------------------------- Họ và tên thí sinh: Số báo danh: . ĐỀ CHÍNH THỨC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI 1/ +) Ta có: p a a 0(modp)− ≡ ; p b b 0(modp)− ≡ ; p c c 0(mod p)− ≡ ; p d d 0(mod p)− ≡ ; vậy p p p p (a c ) (b d ) a c b d(modp)− + − ≡ − + − a b c d(mod p)⇒ + ≡ + +) TH1: a b c d+ ≠ + suy ra đpcm +)TH2: a b c d + = + . Không mất tính tổng quát, giả sử a c d b d a c d b > > ⇒ < ⇒ > > > Xét hàm số p f (t) t= . Vì f(t) có đạo hàm trên các khoảng ( ) ( ) c;a ; b;d ⇒ tồn tại 1 2 t (c;a); t (b;d)∈ ∈ sao cho: 1 f (a) f (c) f '(t ) a c − = − ; 2 f (d) f (b) f '(t ) d b − = − ⇒ 1 2 f '(t ) f '(t )= vô lý vì p nguyên tố 1 2 t ;t thuộc hai khoảng khác nhau. 2/ 2 3 5 3 2x sinx x cos x 2x 1 x x x 1+ + + = − + + 4 2 3 x(2xsinx cosx x x 1) 1 2x 1⇔ + + − − = − + Ta chứng minh :g(x) = 4 2 2xsinx cosx x x 1 0 x R+ + − − ≥ ∀ ∈ Vì g(x) là hàm chẵn nên ta chỉ xét x 0≥ . Ta có 3 4 2 x x sinx x xsinx x 6 6 ≥ − ⇒ ≥ − ; 2 x cosx 1 2 ≥ − Suy ra 4 2 2 4 3 x 2xsinx cosx x 1 x x 1 x R 2 3 + ≥ − + ≥ − + ∀ ∈ TH1: nếu x 0> : VT>0>VP pt vô nghiệm TH2: nếu x 0< : VT<0<VP pt vô nghiệm x 0= thoả mãn. Vậy phương trình có nghiệm x 0= To be cotin…………………………………… . KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ Năm học 20 10 - 20 11 Môn thi: Toán Ngày thi 28 - 10 - 20 10 Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang). ST.SQ. 2) Ba điểm B, C, Q thẳng hàng. Bài V.(3 điểm) Cho dãy số (u n ) với u n = n 1 2 . Chứng minh rằng : 20 11 1 2 2010 1 2 2010 1 2 2010 1 2 2010 (u