đề thi học sinh giỏi huyện lớp 9 năm học 2008-2009 Môn: Toán - lớp 9 (Thời gian làm bài 120') Câu 1: Cho biểu thức P= 2 2 5 5 2( 5) x x x x x + với x 5 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm các giá trị x để P 1 2 Câu 2: Giải phơng trình: a) 2 (3 1) ( 1) 2x x x x x + = b) (x-1) 2008 + (x-2) 2008 =1 Câu 3: Cho đa thức: P=(x+y+z) 3 -x 3 -y 3 -z 3 . Hãy chứng tỏ: a) P = 0 thì (x 2007 +y 2007 )(y 2009 +z 2009 )(z 2011 +x 2011 ) = 0 b) Nếu x,y,z là các số nguyên cùng tính chẵn, lẽ thì P M 24 Câu 4: Cho 8x 2 +y 2 + 2 1 4x = 4 . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của A = xy Câu 5: Cho hình thang ABCD (AB//CD), E là giao điểm của DA và CB, F là giao điểm của hai đờng chéo. Chứng minh rằng EF đi qua trung điểm của các cạnh AB và CD Câu 6: Cho tam giác ABC gọi độ dài ba cạnh AB, AC, BC theo thứ tự là c, b, a các đờng cao hạ từ A, B, C tơng ứng là h a , h b , h c . Chứng minh rằng: a) 1 1 1 a b c h h h + + = 1 r với r là bán kính đuờng tròn nội tiếp tam giác ABC b) (a+b+c) 2 4( 2 2 2 a b c h h h + + ) Câu 7: Tìm các số nguyên x,y thoã mãn: (y+2)x 2 +1 = y 2 Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi huyện lớp 9 năm học 2008-2009 Môn: Toán - lớp 9 Đáp án Câu 1. (3 điểm) Cho biểu thức P= 2 2 5 5 2( 5) x x x x x + với x 5 a/ Rút gọn biểu thức P Ta có P 2 = 5 2 ( 5)( 5) 5 5 2 ( 5)( 5) 5 2( 5) x x x x x x x x x + + + + + + + = 2 2 5 5 5 5x x x x + + + : 2( 5)x = 5 5 5 5 2( 5) x x x x x + + + + = 2 5 2 2( 5) 5 x x x = P= 1 5x b/ Tìm các giá trị x để P 1 2 Ta có P 1 2 1 5x 1 2 5x 2 0 x- 5 4 0 x 4+ 5 kết hợp với x 5 ta đợc: 5 x 4+ 5 Câu 2: ( 3 điểm) a/ Giải phơng trình: 2 (3 1) ( 1) 2x x x x x + = ĐK: (3 1) 0 ( 1) 0 (3 1) ( 1) x x x x x x x x + + Với điều kiện trên bình phơng hai vế ta đợc PT :x(3x+1)+x(x-1)-2 2 2 (3 1)( 1) 4x x x x + = 2 2 (3 1)( 1) 0x x x + = 0 1 3 1 x x x = = = Kết hợp với điều kiện đợc tập nghiệm của PT là: S= { } 0;1; b/ (x-1) 2008 + (x-2) 2008 =1 2008 2008 1 1 2x x + = -Ta nhận thấy x= 2 là một nghiệm của PT - Nừu x 2 thì vế trái 1 nên x 2 không phải là nghiệm của PT - Nếu x 1 thì vế trái 1 nên x 1 không phải là mhgiệm của PT - Nếu 1 x 2 thì 1 1x và 2 1x khi đó 2008 2008 1 2x x + = 2008 2008 1 2x x + x-1+2-x = 1 nên 1 x 2 không phải là nghiệm của PT Vậy PT đã cho có nghiệm là x=2 Câu 3:( 3 điểm) Biến đổi rút gọn P ta đợc: P=3(x+y)(y+z)(x+z) a/ P=3(x+y)(y+z)(x+z)=0 x y y z x z = = = (x 2007 +y 2007 )(y 2009 +z 2009 )(z 2011 +x 2011 )=0 b/ x,y, z cùng tính chẵn, lẽ thì x+y, y+z, x+z là các số chẵn (x+y)(y+z) (x+z) M 8 P=3(x+y)(y+z)(x+z) M 24 Câu 4: (3 điểm)Trớc hết ta có: (a-b) 2 0 với mọi a,b a 2 +b 2 2ab (a+b) 2 4ab a+b 2 ab với a,b không âm dấu bằng xẩy ra khi a=b. Do đó ta có: 1 2 xy Vậy: A Max = 1 2 đạt đợc khi 2 2 2 2 1 2 1 4 4 4 xy x x y x = = = 1 2 1 x y = = và A Min = - 1 2 đạt đợc khi 2 2 2 2 1 2 1 4 4 4 xy x x y x = = = 1 2 1 x y = = Câu 5: ( 3 điểm) Qua F ta vẽ đờng thẳng song song với DC cắt AD,BC tại M và N áp dụng định lý ta lét trong các tam giác ADC và BDC có: AF FM AC DC = và BF FN BD DC = mà do AB//DC nên AF BF AC BD = MF FN DC DC = FM=FN KA=KB, QD=QC Q K N M F E D C B A Câu 6: (3 điểm) a/Ta có . a a a h = 2 a S . . . a b c a b c a b c h h h + + = 2 a b c S + + =r 1 1 1 a b c h h h + + = 1 r (đpcm) b/ Qua A vẽ đờng thẳng d//BC, lấy M đối xứng với B qua d khi đó MB = 2 a h Theo định lý Pi ta go trong tam giác vuông MBC ta có: BM 2 +BC 2 = MC 2 (MA+AC) 2 BM 2 (b+c) 2 -a 2 Tức là: 4 2 a h (b+c) 2 -a 2 Tơng tự ta có: 4 2 b h (a+c) 2 -b 2 4 2 c h (a+b) 2 -c 2 Suy ra: 4( 2 a h + 2 b h + 2 c h ) (a+b+c) 2 (đpcm) B h a A C M Câu 7: ( 2 điểm) Ta có: (y+2)x 2 +1=y 2 (y+2)x 2 =y 2 -1 (1) Dễ thấy y -2 Nên (1) x 2 = 2 1 0 2y y + nên 2 1 1 y y (I) Mà với y Z thì ( y 2 -4) M (y+2) nên -3 M ( y+2) để x 2 = 2 1 2 Z y y + y { } 1, 3,1, 5 kết hợp với (I) ta đợc: Vậy: (x,y) = (0,-1) . đề thi học sinh giỏi huyện lớp 9 năm học 2008-2009 Môn: Toán - lớp 9 (Thời gian làm bài 120') Câu 1: Cho biểu thức P= 2. các số nguyên x,y thoã mãn: (y+2)x 2 +1 = y 2 Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi huyện lớp 9 năm học 2008-2009 Môn: Toán - lớp 9 Đáp án Câu 1. (3 điểm) Cho biểu thức P= 2 2 5 5 2( 5) x