Toán 11 - 1 - Hè 2010 Bài 1: CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ I. CÁC CUNG LIÊN KẾT 1) Hai cung(góc) phụ nhau: • sin 2 π α − ÷ =……………… • cos 2 π α − ÷ =……………… • tan 2 π α − ÷ =……………… • cot 2 π α − ÷ =……………… 2) Hai cung(góc) bù nhau • sin ( ) π α − =…………… • cos ( ) π α − =…………… • tan ( ) π α − =…………… • cot ( ) π α − =…………… • 3) Hai cung(góc) hơn kém π • sin ( ) π α + =…………… • cos ( ) π α + =…………… • tan ( ) π α + =…………… • cot ( ) π α + =…………… 4) Hai cung(góc) đối nhau • sin ( ) α − =………… • cos ( ) α − =………… • tan ( ) α − =………… • cot ( ) α − =………… II. CÁC CÔNG THỨC CỘNG • sin(a + b) = …………………………………………………………… • cos(a + b) = ……………………………………………………………. • tan(a + b) = …………………………………………………………… • cot(a + b) = …………………………………………………………… III. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI, HẠ BẬC • sin2a = ……………………………………………………………………… • cos2a = ……………………………………………………………………… • tan2a = ……………………………………………………………………… • 2 sin a = …………………… • 2 cos a = …………………… • 2 tan a = …………………… • sina.cosa = ……………… IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH • cosa + cosb = ………………………………………………………………… • cosa + cosb = ………………………………………………………………… Toán 11 - 2 - Hè 2010 • sina + sinb = ………………………………………………………………… • sina - sinb = ………………………………………………………………… • V. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG • cosa .cosb = ………………………………………………………………… • sina . cosb = ………………………………………………………………… • cosa . sinb = ………………………………………………………………… • sina .sinb = ………………………………………………………………… VI. CÁC CÔNG THỨC KHÁC • sina + cosa = …………………………………………………………………… • sina - cosa = …………………………………………………………………… • cosa - sina = …………………………………………………………………… Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Phương trình lượng giác cơ bản là các phương trình có dạng : sinu = m (1), cosu = m (2), tanu = m (3), cotu = m (4) Trong đó u là biểu thức chứa x. 1. Phương trình dạng sinu = m (1) Dạng phương trình Cách giải sinu = m (1) (1) có nghiệm 1m⇔ ≤ ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… sinu = sinv (1’) u, v là các biểu thức chứa x ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a) 3 sin 2 x = b) sin 2 sin 5 5 x π π − = ÷ ÷ c) ( ) 0 sin 3 sin 30x x= + ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… Toán 11 - 3 - Hè 2010 ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… Hãy đưa về dạng (1’) các phương trình sau: • sinu = cosv…………………………………………………………… • sinu = -sinv…………………………………………………………… • sinu = - cosv…………………………………………………………… Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: a) sin(2x + 10 0 ) + sin(x – 19 0 ) = 0 b) sin4x = cosx c) sin 2 cos 3 x x π − + ÷ = 0 ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… Toán 11 - 4 - Hè 2010 2. Phương trình dạng cosu = m (2) Dạng phương trình Cách giải cosu = m (2) (1) có nghiệm 1m ⇔ ≤ ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… cosu = cosv (2’) u, v là các biểu thức chứa x ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Ví dụ 3: Giải các phương trình sau: a) 2 cos 2 x = b) ( ) cos 2 1 cos 5 x π − = ÷ c) 2 cos3 5 x = ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… Hãy đưa về dạng (2’) phương trình sau: • cosu = - cosv…………………………………………………………… ĐẶC BIỆT: Sinu = 1 ⇔ ……………………………… cosu = 1 ⇔ ……………………………… Sinu = -1 ⇔ ………………………………. cosu = 1 ⇔ ……………………………… Sinu = 0 ⇔ ……………………………… cosu = 0 ⇔ ……………………………… Toán 11 - 5 - Hè 2010 3. Phương trình dạng tanu = m (3) Dạng phương trình Cách giải tanu = m (3) ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… tanu =tanv (3’) u, v là các biểu thức chứa x ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Ví dụ 4: Giải các phương trình sau: a) 1 t an4 3 x = b) t an3 tanx x= c) 0 tan(2 30 ) 3x + = ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… Hãy đưa về dạng (3’) các phương trình sau: • tanu = cotv…………………………………………………………… • tanu = -tanv…………………………………………………………… • tanu = - cotv…………………………………………………………… Ví dụ 5: Giải các phương trình sau: a) ( ) 0 t an4 tan 2 20 0x x+ − = b) t an3 cot 0x x + = c) tan(2 ) cot( 2) 3 x x π + = − ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… Toán 11 - 6 - Hè 2010 ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… 4. Phương trình dạng cotu = m (4) Dạng phương trình Cách giải cotu = m (4) ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… cotu = cotv (4’) u, v là các biểu thức chứa x ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Ví dụ 6: Giải các phương trình sau: a) cot(2 ) 3 4 x π + = − b) ( ) 0 cot 3 10 cotx x+ = ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… Toán 11 - 7 - Hè 2010 ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… Hãy đưa về dạng (4’) các phương trình sau: • cotu = - cotv…………………………………………………………… Ví dụ 7: Giải phương trình sau: 0 cot 4 cot30 0x + = ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ĐẶC BIỆT tanu = 0 ⇔ ……………………………… cotu = 0 ⇔ ……………………………… BÀI TẬP Bài 1: Giải các phương trình sau: a) 2 sin 2 x = b) 5 sin 3 sin 0 6 x π + = c) ( ) 0 sin 20 cos2 0x x+ + = d) ( ) 0 2 cos 3 15 2 x − = − e) cos2 sin 10 x π = f) ( ) 0 0 cos 20 cos15 0x + + = Bài 2: Giải các phương trình sau: a) tanx = -1 b) ( ) 0 tan 3 15 3x − = − c) 3 tan 3 0x + = d) tan 5 3 x π − = ÷ e) 1 cot 2 cot( ) 2 x = − f) 2 1 1 cot tan 6 2 x + = ÷ ÷ Bài 3: Giải các phương trình sau: a) cot cot2 4 x x π + = ÷ b) tan tan 2 x x= c) ( ) 0 tan 2 10 cot 0x x+ + = d) tan 2 tan 0 3 x x π − + = ÷ e) 1 cot 2 cot( ) 2 x = − f) 0 tan(2 15 ) cot 0x x+ + = Bài 4: Tìm nghiệm của các phương trình sau trên khoảng đã cho: a) 1 sin 2 , 0 2 x x π = − < < b) 0 0 0 3 cos( 20 ) , 90 270 2 x x+ = < < . ……………………………………………………………………… • 2 sin a = …………………… • 2 cos a = …………………… • 2 tan a = …………………… • sina.cosa = ……………… IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH • cosa + cosb = ………………………………………………………………… • cosa + cosb = …………………………………………………………………. trình sau: a) cot cot2 4 x x π + = ÷ b) tan tan 2 x x= c) ( ) 0 tan 2 10 cot 0x x+ + = d) tan 2 tan 0 3 x x π − + = ÷ e) 1 cot 2 cot( ) 2 x = − f) 0 tan(2 15 ) cot 0x x+. ) 0 0 cos 20 cos15 0x + + = Bài 2: Giải các phương trình sau: a) tanx = -1 b) ( ) 0 tan 3 15 3x − = − c) 3 tan 3 0x + = d) tan 5 3 x π − = ÷ e) 1 cot 2 cot( ) 2 x = − f) 2 1 1 cot