THPT Trùng Khánh “ Nhớ mang theo khi học lượng giác “ CÔNG THỨC LƯNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC I. CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN: sinx t anx= ,(x k ) cosx 2 π ≠ + π cosx cotx= ,(x k ) sinx ≠ π 2 2 sin x cos x 1+ = 2 2 1 1 tan x,(x k ) 2 cos x π = + ≠ + π 2 2 1 1 cot x,(x k ) sin x = + ≠ π k t anx.cotx=1,(x ) 2 π ≠ 3 3 sin os (sinx cos )(1 sinx.cos )x c x x x+ = + − 3 3 sin os (sinx cos )(1 sinx.cos )x c x x x− = − + 4 4 2 1 sin cos 1 sin 2 2 x x x+ = − 6 6 2 3 sin cos 1 sin 2 4 x x x+ = − ( ) 2 1 sin 2 sin cosx x x± = ± sin cos 2 2 4 4 x x sin x cos x π π + = + = − ÷ ÷ sin cos 2 2 4 4 x x sin x cos x π π − = − = − + ÷ ÷ II. BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT x rad -π - - - - 0 π độ -180 o -90 o -60 o -45 o -30 o 0 30 o 45 o 60 o 90 o 120 o 135 o 150 o 180 o sin 0 -1 - - - 0 1 0 cos -1 0 1 0 - - - -1 tan 0 || - -1 - 0 1 || - -1 - 0 cot || 0 - -1 - || 1 0 - -1 - || Chú ý: Cơng thức chuyển đổi từ độ sang rađian và ngược lại: ( ) . 180 x x rad π = ÷ o 180 ( ) .x rad x π = ÷ o III. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GĨC (CUNG) CĨ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT 1) Cung đối nhau: cos(–x) = cosx sin(–x) = – sinx tan(–x) = – tanx 2) Cung bù nhau: sin =− )( x π sinx cos −=− )( x π cosx 3) Cung hơn kém: sin −=+ )( x π sinx cos −=+ )( x π cosx ngokieuluong@gmail.com-2013 1 THPT Truứng Khaựnh Nhụự mang theo khi hoùc lửụùng giaực cotg(x) = cotx tan = )( x tanx cot = )( x cotx tan =+ )( x tanx cot =+ )( x cotx 4) Cung ph nhau. sin ) 2 ( x = cosx cos ) 2 ( x = sinx tan ) 2 ( x = cotx cotx ) 2 ( x = tanx 5) Cung hn kộm. sin( ) 2 x cosx + = cos ) 2 ( x+ = sinx tan ) 2 ( x+ = cotx cot ) 2 ( x+ = tanx Ghi nh : Cos i Sin bự Ph chộo IV. CC CễNG THC BIN I 1) Cụng thc cng: cos(a + b) = cosa.cosb sina.sinb cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb tan(a - b) = sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb tan(a + b) = sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb 2) Cụng thc nhõn ụi : sin2x = 2sinxcosx cos2x = cos 2 x sin 2 x = 2cos 2 x - 1 = 1 2sin 2 x tan2x = 2 2 1 tanx tan x cot2x = 2 1 2 cot x cotx 3) Cụng thc nhõn 3 : sin3x = xx 3 sin4sin3 cos3x = 4cos 3 x 3cosx tan3x = 3 2 3 1 3 tanx tan x tan x 4) Cụng thc h bc: 2 1 2 os 2 cos x c x + = 2 1 os2 sin 2 c x x = 5) Cụng thc tớch thnh tng. cosxcosy= [ ] 1 ( ) ( ) 2 cos x y cos x y+ + sinxcosy= [ ] )()( 2 1 yxSinyxSin ++ sinxsiny= [ ] 1 ( ) ( ) 2 cos x y cos x y + 6) Cụng thc tng(hiu) thnh tớch: sinx + siny = 2sin 2 2 x y x y cos + ữ ữ sinx siny = 2 os 2 2 x y x y c sin + ữ ữ cosx + cosy = 2cos 2 2 x y x y cos + ữ ữ cosx cosy = 2sin 2 2 x y x y sin + ữ ữ tanx + tany = ( ) cos sin x y xcosy + tanx tany = ( ) cos sin x y xcosy cotx + coty = ( ) sin sin x y xsiny + cotx coty = ( ) sin sin y x xsiny V. CC PHNG TRèNH LNG GIC C BN: 1. Phng trỡnh sin x a = ( 1 1a ): a. Nu a biu din c di dng sin ca nhng gúc c bit thỡ: ngokieuluong@gmail.com-2013 2 THPT Truứng Khaựnh Nhụự mang theo khi hoùc lửụùng giaực + 2 sin sin sin , + 2 x k x a x k x k = = = =  b. Nu a khụng biu din c di dng sin ca nhng gúc c bit thỡ: arcsin + 2 sin , sin + 2 x a k x a k x arc a k = = =  c. Nu { } 1;0;1a = thỡ: sin 1 2 , 2 sin 0 , sin 1 2 , 2 x x k k x x k k x x k k = = + = = = = +    2. Phng trỡnh osc x a = ( 1 1a ): a. Nu a biu din c di dng cụsin ca nhng gúc c bit thỡ: + 2 os os os , + 2 x k c x a c x c k x k = = = =  b. Nu a khụng biu din c di dng cụsin ca nhng gúc c bit thỡ: arc os + 2 os , sin + 2 x c a k c x a k x arc a k = = =  c. Nu { } 1;0;1a = thỡ: os 1 2 , cos 0 , 2 os 1 2 , c x x k k x x k k c x x k k = = + = = + = =    3. Phng trỡnh tan , , 2 x a x k k = + ữ  : a. Nu a biu din c di dng tang ca nhng gúc c bit thỡ: tan tan tan + ,x a x x k k = = =  b. Nu a khụng biu din c di dng tang ca nhng gúc c bit thỡ: tan arctan + ,x a x a k k = =  c. Nu { } 1;0;1a = thỡ: tan 1 , 4 tan 0 , tan 1 , 4 x x k k x x k k x x k k = = + = = = = +    ngokieuluong@gmail.com-2013 3 THPT Truứng Khaựnh Nhụự mang theo khi hoùc lửụùng giaực 4. Phng trỡnh otc x a = ( ,x k k  ) a. Nu a biu din c di dng cụtang ca nhng gúc c bit thỡ: ot ot ot + ,c x a c x c x k k = = =  b. Nu a khụng biu din c di dng cụtang ca nhng gúc c bit thỡ: ot arc ot + ,c x a x c a k k = =  c. Nu { } 1;0;1a = thỡ: ot 1 , 4 ot 0 , 2 ot 1 , 4 c x x k k c x x k k c x x k k = = + = = + = = +    5. Phng trỡnh a.sinx+b.cosx=c ( 2 2 0a b+ ) + Phng trỡnh cú nghim khi 2 2 2 c a b + + Phng trỡnh vụ nghim khi : 2 2 2 c a b> + Khi ú: PT 2 2 2 2 2 2 sinx+ osx= a b c c a b a b a b + + + t: 2 2 2 2 os = sin a c a b b a b + = + phng trỡnh tr thnh: 2 2 sinx os osx sin c c c a b + = + 2 2 sin( ) c x a b + = + *Chỳ ý Nu . 0, 0a b c = thỡ: sin cos 0 tan b a x b x x a + = = 6. Phng trỡnh ng cp bc hai gia sinx v cosx : 2 2 asin sin .cos +ccos 0x b x x x d+ + = (1) + Nu 2 cos 0 sin 1x x= = thỡ 0a d + = (*), nu (*) ỳng thỡ cos 0x = l nghim ca (1), ngc li cos 0x . + Xột cos 0 tanx x . Chia c hai v ca PT (1) cho 2 osc x , ta cú: 2 2 2 2 2 2 sin sin cos cos 1 (1) 0 cos cos cos cos x x x x a b c d x x x x + + + = 2 ( ) tan t anx+(c+d)=0a d x b + + (2) ngokieuluong@gmail.com-2013 4 . Nhớ mang theo khi học lượng giác “ CÔNG THỨC LƯNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC I. CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN: sinx t anx= ,(x k ) cosx 2 π ≠ + π cosx cotx= ,(x k ) sinx ≠ π 2 2 sin. − ÷ ÷ sin cos 2 2 4 4 x x sin x cos x π π − = − = − + ÷ ÷ II. BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT x rad -π - - - - 0 π độ -180 o -90 o -60 o -45 o -30 o 0. 0 cos -1 0 1 0 - - - -1 tan 0 || - -1 - 0 1 || - -1 - 0 cot || 0 - -1 - || 1 0 - -1 - || Chú ý: Cơng thức chuyển đổi từ độ sang rađian và ngược lại: ( ) . 180 x x rad π = ÷ o 180 (