Ôn tập lượng giác thi đại học

1 MA Việt Đinh 0909533003 VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung góc ta xác định điểm nhọn của cung tia cuối của góc thuộc góc

1 MA Việt Đinh 0909533003

VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác

Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm nhọn của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG

Bài 1 Xác định dấu của các biểu thức sau:

a) A = sin50 cos( 300 )0  0 b) B = sin215 tan0 21

7



c) C = cos4 .sin tan4 .cot9

Bài 2 Cho 00   900 Xét dấu của các biểu thức sau:

a) A = sin(90 )0 b) B = cos(45 )0 c) C = cos(2700) d) D = cos(290 )0

Bài 3 Cho 0

2





  Xét dấu của các biểu thức sau:

a) A = cos(  ) b) B = tan(  ) c) C = sin 2

5







  d) D =

3 cos

8







Bài 4 Cho tam giác ABC Xét dấu của các biểu thức sau:

a) A = sinAsinBsinC b) C = cos cos cosA B C

2 2 2 c) D =

tan tan tan

2  2  2

VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung) Bài 1 Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với:

a) cosa 4, 2700 a 3600

5

2 5



     c) sina 5 , a

13 2

d) sin 1, 1800 2700

3

     e) tana 3, a 3

2





2



     

g) cot150  2 3 h) cot 3, 3

2



    

Bài 2 Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với:

cot tan sin 3, 0





25 7

2

8 3

sin 2sin cos 2cos cot 3

2sin 3sin cos 4cos

23 47



d) D a a khi a

sin 2cos



3

8cos 2sin cos tan 2

2cos sin

3 2



g) G a a khi a

cot 3tan cos 2



19 13 h) H a a khi a

sin cos tan 5

cos sin



3 2



Bài 3 Cho sina cosa 5

4

  Tính giá trị các biểu thức sau:

a) Asin cosa a b) Bsinacosa c) Csin3acos3a

2 MA Việt Đinh 0909533003

ĐS: a) 9

7 4

128



Bài 4 Cho tanacota3 Tính giá trị các biểu thức sau:

a) Atan2acot2a b) Btanacota c) Ctan4acot4a

Bài 5

a) Cho 3sin4x cos4x 3

4

  Tính Asin4x3cos4x ĐS: A 7

4



b) Cho 3sin4x cos4x 1

2

  Tính Bsin4x3cos4x ĐS: B = 1

c) Cho 4sin4x 3cos4x 7

4

  Tính C3sin4x4cos4x ĐS: C 7 C 57

  

Bài 6

a) Cho sinx cosx 1

5

  Tính sin , cos , tan , cotx x x x b) Cho tanxcotx4 Tính sin , cos , tan , cotx x x x

ĐS: a) 4; 3; 4; 3

5 5 3 4 b)

1 ; 2 3; 2 3; 2 3

2

2 2 3



hoặc 2 3; 2 3; 2 3; 1





VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết

Sử dụng công thức các góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết)

Bài 1 Tính các GTLG của các góc sau:

a) 120 ; 135 ; 150 ; 210 ; 225 ; 240 ; 300 ; 315 ; 330 ; 390 ; 420 ; 495 ; 2550 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

b) 9 ; 11 ; 7 ;13 ; 5 ;10 ; 5 ;11 ; 16 ;13 ; 29 ; 31

Bài 2 Rút gọn các biểu thức sau:

a) A cos x cos(2 x) cos(3 x)

2

b) B 2cosx 3cos( x) 5sin 7 x cot 3 x

Bài 3 Rút gọn các biểu thức sau:

a) A

sin( 328 ).sin958 cos( 508 ).cos( 1022 )

cot 572 tan( 212 )

b) B

0

sin( 234 ) cos216 tan36

sin144 cos126



c) Ccos200cos400cos600  cos1600cos1800 ĐS: C 1

d) Dcos 102 0cos 202 0cos 302 0  cos 1802 0 ĐS: D 9

3 MA Việt Đinh 0909533003

VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác

Sử dụng các hệ thức cơ bản, cơng thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác Trong khi biến đổi biểu thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức

Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các gĩc A, B, C trong tam giác ABC thì:

A B C   và A B C

2 2 2 2



  

Bài 1 Chứng minh các đẳng thức sau:

a) sin4xcos4x  1 2cos2x b) sin4xcos4x  1 2cos sin2x 2x

c) sin6xcos6x  1 3sin cos2x 2x d) sin8xcos8x  1 4sin cos2x 2x2sin cos4x 4x

e) cot2xcos2x  cos cot2x 2x f) tan2xsin2x  tan sin2x 2x

g) 1 sin xcosxtanx  (1 cos )(1 tan )x  x

h) sin tan2x xcos cot2x x2sin cosx x tanxcotx

sin cos 1 2cos

1 cos sin cos 1

Bài 2 Chứng minh các đẳng thức sau:

tan tan tan tan

cot cot





sin cos

1 cot 1 tan

2

2

sin sin cos sin cos sin cos tan 1



2 2

1 cos 1 (1 cos ) 2cot

tan .1 cot 1 tan

1 tan cot tan cot

2

2

tan tan sin sin tan tan sin sin

6

sin tan tan

cos cot





sin cos

Bài 3 Cho x a với a b

sin cos  1 , , 0

 Chứng minh:

( )



Bài 4 Rút gọn các biểu thức sau:

a) (1 sin )cot 2x 2x 1 cot2x b) (tanxcot )x 2(tanxcot )x 2

cos cos cot

sin sin tan



 d) x( sina y cos )a 2( cosx a y sin )a 2

sin tan

cos cot



sin cos cos cos sin sin

g) sin (1 cot ) cos (1 tan )2x  x  2x  x h) x x x

1 cos 1 cos ; (0, )

1 sin 1 sin ; ;

1 sin 1 sin 2 2

 

    k) cosx tan2x sin ;2x x ;3

2 2

 

Bài 5 Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:

a) 3(sin4xcos ) 2(sin4x  6xcos )6x ĐS: 1

b) 3(sin8xcos ) 4(cos8x  6x2sin ) 6sin6x  4x ĐS: 1

c) (sin4xcos4x1)(tan2xcot2x2) ĐS: –2

4 MA Việt Đinh 0909533003

d) cos cot2x 2x3cos2xcot2x2sin2x ĐS: 2

sin 3cos 1

sin cos 3cos 1

2 3

tan cos cot sin

ĐS: 2

sin cos 1

sin cos 1

3 2

Bài 6 Cho tam giác ABC Chứng minh:

a) sinBsin(A C ) b) cos(A B ) cosC

c) sinA B cosC

 

d) cos(B C ) cos(A2 )C

e) cos(A B C  ) cos2C f) cos 3A B C sin2A

2

  

 

g) sinA B 3C cosC

2

  

h) tanA B 2C cot3C

VẤN ĐỀ 5: Công thức cộng Bài 1 Tính các giá trị lượng giác của các góc sau:

a) 15 ; 75 ; 105 0 0 0 b) ; 5 ; 7

12 12 12

Bài 2 Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:

a) tan khisin 3,

38 25 3 11



b) cos khi sin 12 3, 2

(5 12 3) 26



c) cos(a b).cos(a b khi) cosa 1, cosb 1

144



d) sin(a b ), cos(a b ), tan(a b ) khi sina 8 , tanb 5

  và a, b là các góc nhọn

ĐS: 21 140; ; 21 .

221 221 220 e) tanatan , tan , tanb a b khi 0 a b, ,a b

    và tan tana b  3 2 2 Từ đó suy ra a, b

ĐS: 2 2 2 ; tana tanb 2 1,a b

8



Bài 3 Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau:

a) A = sin 202 osin 1002 osin 1402 o ĐS: 3

2 b) B = cos 102 ocos110ocos 1302 o ĐS: 3

2 c) C = tan20 tan80o otan80 tan140o otan140 tan20o o ĐS: –3

d) D = tan10 tan70o otan70 tan130o otan130 tan190o o ĐS: –3

e) E =

cot 225 cot 79 cot 71

cot 259 cot 251



5 MA Việt Đinh 0909533003

f) F = cos 752 osin 752 o ĐS: 3

2



g) G =

o

0

1 tan15

1 tan15



3 3 h) H = tan150cot150 ĐS: 4

HD: 400 60020 ; 800 0600200; 50060010 ; 700 0 600100

Bài 4 Chứng minh các hệ thức sau:

a) sin(x y ).sin(x y ) sin 2xsin2y

2sin( ) tan tan

cos( ) cos( )



c) tan tanx x tan x tan x 2 tan x 2 tanx 3

d) cos x cos x cos x cos x 3 2(1 3)

e) (cos70ocos50 )(cos230o ocos290 )o (cos40ocos160 )(cos320o ocos380 ) 0o 

tan 2 tan tan tan3

1 tan 2 tan







Bài 5 Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước:

a) 2tanatan(a b khi ) sinbsin a cos a b(  ) b) 2tanatan(a b khi ) 3sinbsin(2a b ) c) tan tana b 1 khi cos(a b) 2cos(a b)

3

k

1 tan( ).tan cos( 2 ) cos

1





HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a

c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b

Bài 6 Cho tam giác ABC Chứng minh:

a) sinCsin cosA Bsin cosB A b) C A B A B

sin tan tan ( , 90 )

c) tanAtanBtanCtan tan tan ( , ,A B C A B C90 )0

d) cot cotA Bcot cotB Ccot cotC A1 e) tan tanA B tan tanB C tan tanC A 1

f) cot A cotB cotC cot cot cotA B C

2  2  2  2 2 2

sin cos sin cos

h) cos cos cosA B C sin sin cosA B C sin cos sinA B C cos sin sinA B C

i) sin2 A sin2 B sin2C 1 2sin sin sinA B C

HD: a, b, c, d) Sử dụng (A + B) + C = 180 0 e, f) Sử dụng A B C 900

2 2 2

g) VT = VP = tanA h) Khai triển cos A B C

2 2 2

 

6 MA Việt Đinh 0909533003

i) Khai triển sin A B C

2 2 2

 

Chú ý: Từ cos B C sin A

   cos cosB C sinA sin sinB C

 sin cos cosA B C sin2 A sin sin sinA B C

VẤN ĐỀ 6: Công thức nhân Bài 1 Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:

a) cos2 , sin2 , tan2 khi cos 5 , 3



b) cos2 , sin2 , tan2   khitan 2

c) sin , cos khi sin2 4, 3

       d) cos2 , sin2 , tan2 khi tan 7

8

Bài 2 Tính giá trị của biểu thức sau:

a) A cos20 cos40 cos60 cos80 o o o o ĐS: 1

16

8

c) C cos cos4 .cos5

8

8 e) E sin6 sin42 sin66 sin78 o o o o ĐS: 1

16

f) G cos2 .cos4 .cos8 .cos16 .cos32

32 h) H sin5 sin15 sin25 sin75 sin85 o o o o o ĐS: 2

512 i) I cos10 cos20 cos30 cos70 cos800 0 0 0 0 ĐS: 3

256

k) K 96 3 sin cos cos cos cos

l) L cos cos2 .cos3 .cos4 .cos5 .cos6 .cos7

128

m) M sin cos cos

8

Bài 3 Chứng minh các hệ thức sau:

a) sin4 cos4x 3 1cos4x

4 4

   b) sin6x cos6x 5 3cos4x

8 8

c) sin cosx 3x cos sinx 3x 1sin 4x

4

  d) sin6 x cos6 x 1cos (sinx 2x 4)

e) 1 sinx 2sin2 x

4 2



x

2

2

2cot cos

7 MA Việt Đinh 0909533003

g)

x x

x

1 cos

2

4 2 sin

2







   

x

1 sin2 tan



x



tan 2 tan tan tan3

1 tan tan 2





 l) tanx cotx2cotx m) x x

x

2 cot tan

sin2

n) 1 1 1 1 1 1 cosx cos ,x với 0 x



VẤN ĐỀ 7: Cơng thức biến đổi Bài 1 Biến đổi thành tổng:

a) 2sin(a b ).cos(a b ) b) 2cos(a b ).cos(a b )

c) 4sin3 sin2 cos x x x d) 4sin13x.cos cosx x

e) sin(x30 ).cos(o x30 )o f) sin sin2

g) 2sin sin2 sin3 x x x h) 8cos sin2 sin3 x x x

i) sin x sin x cos2x

    k) 4cos(a b ).cos(b c ).cos(c a )

Bài 2 Chứng minh:

a) 4cos cosx x cos x cos3x

Áp dụng tính:

A sin10 sin50 sin70 B cos10 cos50 cos70 o o o

Csin20 sin40 sin800 0 0 Dcos20 cos40 cos800 0 0

Bài 3 Biến đổi thành tích:

c) 1 3tan 2x d) sin2xsin4xsin6x

e) 3 4cos4 xcos8x f) sin5xsin6xsin7xsin8x

g) 1 sin2 –cos2 –tan2 x x x h) sin (2 x90 ) 3cos (o  2 x90 )o

i) cos5xcos8xcos9xcos12x k) cosxsinx1

Bài 4 Rút gọn các biểu thức sau:

cos7 cos8 cos9 cos10

sin7 sin8 sin9 sin10



B

sin2 2sin3 sin 4 sin3 2sin 4 sin5



1 cos cos2 cos3

cos 2cos 1



D

sin 4 sin5 sin6 cos4 cos5 cos6



Bài 5 Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) A cos cos2

c) C sin 70 sin 50 sin 102 o 2 o 2 o d) D sin 172 osin 432 osin17 sin43o o

o

2sin10

sin10 cos10

8 MA Việt Đinh 0909533003

g)

cot 25 cot 75 tan25 tan75

h) H  tan90tan270tan630tan810

ĐS: A 1

2

64

4



E = 1 F = 4 G = 1 H = 4

Bài 6 Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) sin sin7 sin13 sin19 sin25

32 b) 16.sin10 sin30 sin50 sin70 sin90o o o o o ĐS: 1

c) cos24ocos48ocos84ocos12o ĐS: 1

2 d) cos2 cos4 cos6

2



e) cos cos2 cos3

ĐS: 1 2 f) cos cos5 cos7

ĐS: 0

g) cos2 cos4 cos6 cos8

h) cos cos3 cos5 cos7 cos9

2

Bài 7 Chứng minh rằng:

a) tan9otan27otan63otan81o  4 b) tan20otan40otan80o 3 3

c) tan10otan50otan60otan70o 2 3

d) tan30o tan 40o tan50o tan60o 8 3.cos20o

3

e) tan20otan40otan80otan60o 8sin40o f) tan 206 o33tan 204 o27tan 202 o 3 0

Bài 8

a) Chứng minh rằng: sin3x 1(3sinx sin3 ) (1)x

4

b) Chứng minh rằng: a a

a

sin2 cos

2sin

c) Chứng minh rằng: x x

x

1 cot cot sin  2 d) Chứng minh rằng: tan tan22x x  tan2x2tanx

Bài 9 Tính sin 2 , biết: 2 x

tan cot sin cos  ĐS:

8 9

Bài 10 Chứng minh các đẳng thức sau:

a) cotxtanx2tan2x 4cot 4x b) x x

2

1 2sin 2 1 tan2

1 sin 4 1 tan2



2 6

x

1 sin2 cos2 tan 4

cos4 sin2 cos2





9 MA Việt Đinh 0909533003

e) tan6xtan4xtan2x tan2 tan4 tan6x x x

x

sin7 1 2cos2 2cos4 2cos6

sin     g) cos5 cos3x xsin7 sinx xcos2 cos4x x

Bài 11

a) Cho sin(2a b ) 5sin b Chứng minh: a b

a

2tan( ) 3 tan

 

b) Cho tan(a b ) 3tan a Chứng minh: sin(2a2 ) sin2b  a 2sin2b

Bài 12 Cho tam giác ABC Chứng minh:

a) sinA sinB sinC 4cos cos cosA B C

   b) cosA cosB cosC 1 4sin sin sinA B C

c) sin2Asin2Bsin2C  4sin sin sinA B C d) cos2Acos2Bcos2C   1 4cos cos cosA B C

e) cos2Acos2Bcos2C 1 2cos cos cosA B C

f) sin2Asin2Bsin2C  2 2cos cos cosA B C

Bài 13 Tìm các gĩc của tam giác ABC, biết:

a) B C vàsin sinB C 1



b) B C 2 và sin cosB C 1 3

BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 5 Chứng minh các đẳng thức sau:

4

  b) (tan2xtan )(sin2x xtan ) tanx  2x

x

tan cot

1 cos4



1 cos 1 cos 4cot

1 cos 1 cos sin

sin cos

1 cot 1 tan

  f) cosxcos(1200 x) cos(1200x) 0

g)

x

2 cos 2cos

4

tan 2sin 2 sin

4





  

h)

3 cot cot

3 cos cos 1 cot







i) cos6x sin6x cos2 1x 1sin 22 x

4

  k) cos4x sin4x sin2x 2 cos 2x

4



Bài 6 Chứng minh các biểu thức sau khơng phụ thuộc vào x:

a) 3(sin4xcos ) 2(sin4x  6xcos )6x b) cos6x2sin4xcos2x3sin2xcos4xsin4x

c) cos x cos x cos x cos x 3

d) cos2x cos2 2 x cos2 2 x

Bài 7 a) Chứng minh: cot cot 2 1

sin2



sin2 sin 4 sin8 sin16  

Bài 8 a) Chứng minh: tan cot2cot 2

10 MA Việt Đinh 0909533003

b) Chứng minh:

4cos sin 2 4sin c) Chứng minh: sin3x 1(3sinx sin3 )x

4

d) Chứng minh: 1 1 tan2

cos2 tan



e) Chứng minh: cos sin2

2sin







Bài 9 Đơn giản các biểu thức sau:

a) A tan3 tan17 tan23 tan37 tan43 tan57 tan63 tan77 tan83 o o o o o o o o o

b) B cos2 cos4 cos6 cos8

12 12



d) D sin .sin5 .sin7 .sin11



HD: a) A tan27 o Sử dụng tan tan(60x 0x).tan(600x) tan3 x

b) B = –1 c) C 1 3

2 4

16



Bài 10 Chứng minh:

a) cos cos2 cos3 1

   b) 8sin 183 o8sin 182 o 1

c) 8 4 tan 2tan tan cot

3 cos290  3.sin250  e) tan30o tan 40o tan50o tan60o 8 3cos20o

3

f) cos12o cos18o 4cos15 cos21 cos24o o o 3 1

2



g) tan20otan40o 3.tan20 tan40o o  3 h) cos cos3 cos9 1

i) cos2 cos4 cos10 1

Bài 11 a) Chứng minh: sin cos cos2 cos4x x x x 1sin8x

8

b) Chứng minh: sin4x 3 1cos2x 1cos4x

c) Chứng minh: x x

x

1 cos2 tan

sin2



11 MA Việt Đinh 0909533003

PHẦN I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bài 1 :Tìm tập xác định hàm số sau :

2

2

1/ cot(2 ) 2 / tan(3 ) 3 /

4 5 cos 2 sin

x

x

x







Bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau :

2

2

1 4 cos

3

x



PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bài 1 : Giải phương trình :

1

2

3

6





Bài 2: Giải phương trình :

1

2

3

6





Bài 5: Giải các phương trình lượng giác sau :

1>3sinx+2=0 2>-2sinx-3=0 3> 2 cosx 1 0

4>3cosx+5=0 5> 3 tanx 3 0 6>3cotx 30

B

A sin  =a=OK

sin

cos

12 MA Việt Đinh 0909533003

ÔN TẬP PT LƯỢNG GIÁC

BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1:giải các phương trình lượng giác sau

a) 2sin 3 0 b) sin(2x-34 )= c) 2sin( + 25 ) = -1 d) sin7x=

Bài 2: giải các phương trình lượng giác sau

0

2 27 a) 3cos(3x ) b) cos(3x - 4 )= -1 c) 2cos(3x + ) +1= 0 d)(15 - 5cos8x) (6cos3x-3)=0



 

Bài 3: Giải các phương trình sau :

a) tan(3x - 100 ) = - 3 b) cot5x = 3 c) tan( - )=tan d) cot( +43 ) = - 3 / 3

Bài 4:Giải các phương trình sau :

2

a) 2cos x + 7sinx- 5 = 0 b) 3cos4x + 20sin cos 7 0 c) 6sin x + 7cosx -7 = 0

1 d) 8cos x + 6cosx - 9 = 0 e) tan x - (2 + 3)tan 2 3 0 f) 2tan 4 3.tan 0

cos g) 2cos3 cos

x

 

4sin 22 1 0 h) 3tan(x- )=tanx k) 2cosx.cos 2 1 cos2 cos3       

6

Bài 5: Giải các phương trình sau bậc nhất theo sin và cos

2

cos 2sin cos a) sinx -cos 1 b) 3 c) 3 sin cos 2

2cos sin 1

6 d) sinx - 3 cos 1 e) sin cos f) 2 2 sin cos cos 3 cos2

2



Bài 6: Giải các phương trình lượng giác thuần nhất sau

2

a) 3 sin cos cos 1 b) sin 3sin cos 1 0

c) 9sin 3sin cos 4cos 5 d) 5sin sin cos 3cos 1/ 2

e) 2sin 5sin cos 1 0 f) 9 3sin

BÀI TẬP NÂNG CAO

2009 khối A (1 2sin ) osx 3

(1 2sin )(1 s inx)

x c x

  B

3

sinxcos sin 2x x 3 cos 3x2(cos 4xsin x)

D 3 cos 5x2sin 3 cos 2x xsinx0 CĐ (1 2sin ) cos x 2 x 1 sinxcosx

2008 A 1 1 4sin(7 )

3

2

x x

x







B sin3x 3 cos3xsin cosx 2x 3 sin2xcosx

D 2sin (1 cos 2 ) sin 2x  x  x 1 2cosx CĐ sin 3x 3 cos 3x2sin 2x

2007 A (1 sin 2 x) cosx (1 cos2x)sinx 1 sin 2x B 2sin 22 xsin 7x 1 sinx

D (sin cos )2 3 cos 2

x