(Cực Trò Trong Không Gian Toạ Độ) Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz cho hai điểm : A(1;4;2) ; B(-1;2;4) và đường thẳng = +−= −= t2z t2y t1x :d . Trong các đường thẳng đi qua A và cắt d ; hãy viết phương trình đường thẳng )(∆ có khoảng cách đến điểm B là : a) Nhỏ nhất. b) Lớn nhất Bài giải đề nghò. Cách 1 : Phương pháp hình học. Gọi )(∆ là đường thẳng qua A và cắt d; )(∆ và d cùng thuộc măt phẳng (P)= mp(A;d). Gọi H là hình chiếu của B trên (P); K là hình chiếu của H trên )(∆ thì BK ⊥ )(∆ . Vậy BK chính là khoảng cách từ B đến )(∆ . * Trong tam giác vuông BKH thì BK ≥ BH nên BK ngắn nhất khi K H≡ . Khi ấy )(∆ đi qua hai điểm A và H. *Trong tam giác vuông BKA thì BK ≤ BA nên BK lớn nhất khi K A≡ . Khi ấy )(∆ đi qua A nằm trong (P) và vuông góc với BA. a) Trường hợp d(B, )(∆ nhỏ nhất. Phương trình mp(P)= mp(A,d). VTCP của d là )2;1;1(a d −= → . Hai điểm A(1;4;2) và M(1;-2;0) thuộc d và )2;6;0(AM −−= → . Do đó VTPT của mp (P) là )6;2;10(AM,an d −= = →→→ . Ta chọn )3;1;5(n −= → . Ta được phương trình mp(P): 5(x-1)-1(y+2)+3(z-0) = 0 ⇔ 5x-y+3z-7 = 0. Gọi H là hình chiếu của B trên (P). Ta dễ dàng tìm được ) 35 146 ; 35 68 ; 7 5 (H − . Như thế véctơ chỉ phương của )(∆ là ) 7 76 ; 7 72 ; 7 12 (AH −−= → . Chonï VTCP của )(∆ là )19;18;15(a −= → . Ta đựoc phương trình của )(∆ : 19 2z 18 4y 15 1x − − = − = − b) Trường hợp d(B, )(∆ lớn nhất Trường hợp nầy thì )(∆ nằm trong (P) , đi qua A và vuông góc với BA. Ta có )2;2;2(AB −−= → ; VTPT của (P) là )3;1;5(n −= → . Do đó VTCP của )(∆ là: = →→→ n,ABa =(-4;16;12) . Chọn )3;4;1(a −= → Ta được phương trình đường thẳng 3 2z 4 4y 1 1x :)( − = − = − − ∆ Cách 2: Phương pháp giải tích. Gọi M = d ∩ )(∆ thì M( 1-t;-2+t;2t) và )(∆ có VTCP là )2t2;6t;t(AM −−−= → . Ta có: )2;2;2(AB −−= → . Do đó khoảng cách từ B đến đường thẳng )(∆ là: 20t10t3 208t152t28 40t20t6 416t304t56 AM AB,AM d 2 2 2 2 +− +− = +− +− = = → →→ Xét hàm số 20t10t3 208152t28 d)t(f 2 2 2 +− +− == . Ta có 22 2 )20t10t3( )60t8t11(16 )t('f +− −− = . f(t)= 0 ⇔ t = -2 hoặc t= 30/11. Do 3 28 )t(flim; 15 4 ) 11 30 (f12)2(f x ===− ±∞→ nên Max f(t)= 12 khi t= - 2 và min f(t)= 4/5 khi= 30/11. Với max f(t) = max d 2 = 12 , ta có max d= 12 khi t=-2 cho )6;8;2(AM −−= → . Chọn VTCP của )(∆ là )3;4;1(a −−= → ta được phương trình 3 2z 4 4y 1 1x :)( − − = − − = − ∆ Với min f(t)= mind 2 =4/15 , ta có min d= 15 2 khi 11 30 t = cho −−= → 11 38 ; 11 36 ; 11 30 AM Chọn VTCP của )(∆ là )19;18;15(a −= → . Ta được phương trình của )(∆ là: 19 2z 18 4y 15 1x − − = − = − Bài Toán Minh Hoạ: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: 3z1y 2 1x −=+= + và mặt phẳng (P):x+2y-z+5=0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ nhất. Lời giải tham khảo Cách 1: Phương pháp hình học: Gọi d’= (P) ∩ (Q) và A=d ∩ (P) thì A ∈ d’.Lấy K ∈ d,kẻ KH ⊥ (P) và HI ⊥ d’thì : α== ∧ )Q,P(KIH . Trong tam giác vuông KIH : HI KH tan =α , do KH không đổi nên: tan α nhỏ nhất ⇔ HI lớn nhất ⇔ I A≡ (do HI ≤ HA) . Khi ấy thì d’ vuông góc với d . Vậyd’đi qua A vuông góc với d và nằm trong (P). Mặt phẳng (Q) cần tìm là mặt phẳng chứa d và d’. VTCP của d là )1;1;2(u = → ; VTPT của (P) là )1;2;1(n P − → suy ra VTCP của d’ là )1;1;1('uhay)3;3;3(n,u'u P −−=−= = →→→→ . Do đó VTPT của mặt phẳng (Q) là: )1;1;0(nhay)3;3;0('u,un QQ −=−= = →←→→ . Điểm M(-1;-1;3) ∈ d ⇒ M ∈ (Q). Mặt phẳng (Q) cần tìm có phương trình: 0(x+1)+1(y+1)-1(z-3) = 0 y-z+4 = 0 Cách 2: Phương pháp giải tích. Đặt phưong trình mặt phẳng (Q): Ax + By + Cz +D = 0 )0CBA( 222 ≠++ M(-1;-1;3) ∈ d ; N(1;0;4) ∈ d ⇒ M;N ∈ (Q) Ta được: += −−= B4A7D BA2C Do đó (Q): 0B4A7z)BA2(ByAx =++−−++ . VTPT của (Q) là )BA2;B;A(n Q −−= → . Ta có VTPT của mặt phẳng (P) là : )1;2;1(n P −= → .Gọi α là góc giữa (P) và (Q) thì: AB4B2A5 BA . 6 3 n.n n.n cos 22 QP QP ++ + ==α →→ →→ . Ta xét hai trường hợp của A. Trường hợp 1: A=0. Ta được cos α = 2 3 B2 B . 6 3 2 = Trường hợp 2: A 0≠ Ta có + + + =α A B 4 A B 25 A B 1 . 6 3 cos 2 Xét hàm số: f(x) = )cos)x(f; A B x( 5x4x2 1x2x . 6 9 2 2 2 α== ++ ++ ( ) 2 2 5x4x2 6x6 . 6 9 )x('f ++ + = f’(x) = 0 ⇔ x= -1. Vậy cos 2 α < 4 3 2 3 cos <α⇒ 6 π >α⇒ ( Do hàm cosin x nghòch biến trên đọan π 2 ;0 ) Trường hợp (1) và (2) 6 min π =α⇒ Khi ấy thì A=0 , ta chọn B=1 ⇒ C= =1 và D= 4. Phương trình mặt phẳng (Q) : y-z+4 = 0. Ghi Chú: 1/ Có thể xét hai trường hợp B=0 ; B 0≠ ( Hoặc xét hai trưòng hợp A+B=0 ; A+B 0≠ như sách Bài tập nâng cao lớp 12 trang 240 ) 2/ Bài toán 6: Cho hai điểm A;B và đường thẳng d. Trong các đường thẳng đi qua A và cắt d, viết phương trình đường thẳng có khoảng cách đến B là : x +-1 f’(x) f(x) 0- + 0 4 3 4 3 - a) Lớn nhất. b) Nhỏ nhất Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng = +−= −= t2z t2y t1x :)d( . Viết phương trình mặt p phẳng (P) chứa (d) và tạo với trục Oy góc lớn nhất. Lời giải tham khảo. Cách 1: Phương pháp hình học. Qua điểm A trên d dựng đường thẳng d’ song song với Oy. Lấy điểm M trên d’ ; gọi K là hình chiếu của M trên d. ta có : )Oy,d(MAK =α= ∧ .Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (P) thì )P,Oy()P,'d(MAH ==β= ∧ . Như thế : AM MH sin; AM MK sin =β=α .Trong tam giác vuông MHK thì KHkhimaxsinsinMKMH ≡α=β⇒α≤β⇒≤ . Vậy mặt phẳng (P) cần tìm vuông góc với MK tại K. Giải: A(1;-2;0) thuộc d. Đường thẳng Oy có véctơ chỉ phương )0;1;0(j = → ; nên nếu d’ qua A và song song với Oy thì d’ có phương trình là = +−= = 0z t2y 1x . Lấy M(1;-1;0) thuộc d’ thì hình chiếu vuông góc của M trên d là )6 2 ; 6 5 ; 6 1 (MK) 3 1 ; 6 11 ; 6 5 (K −−=⇒− → ) . Chọn véctơ pháp tuyến của (P) là )2;5;1(n −= → Phưong trình mặt phẳng (P): 0) 3 1 z(2) 6 11 y(5) 6 5 x(1 =−−++− Kết quả: (P): x+5y-2z+9= 0. Cách 2: Phương pháp giải tích. Lấy M(1;-2;0) ∈ d ; N(0;-1;2) ∈ d. Đặt (P): Ax+By+Cz+D=0 ( ) 0CBA 222 ≠++ Do M và N thuộc (P) nên: − = +−= 2 BA C B2AD 0AB2z 2 BA ByAx:)P( =−+ − ++⇒ . Ta có VTPT của (P) là ) 2 BA ;B;A(n − = → và VTCP của Oy là )0;1;0(j → . Gọi )Oy,P(=α thì AB2B5A5 B2 2 BA BA B j.n j.n sin 222 22 −+ = − ++ ==α →→ →→ +Nếu B=0 thì sin α = 0 ⇒ α = 0 0 . +Nếu B 0≠ thì ) B A x( 5x2x5 2 B A 25 B A 5 2 sin 22 = +− = −+ =α Xét hàm số 5x2x5 4 sin)x(f 2 2 +− =α= . 5 1 x0)x('f; )5x2x5( )2x10(4 )x('f 22 =⇔= +− +− = . Ta được Maxf(x)= 6 5 khi 5 1 x = Vậy α lớn nhất khi 5 1 B A = . Chọn A=1 và B=5 thì C=-2 , D= 9. Phương trình mặt phẳng (P): x+5y-2z+9=0. Vónh Long, ngày 10 tháng 6 năm 2009. GV Nguyễn Ngọc Ấn **************************************************************************** Chú ý: 1/ Có thể viết 5 24 2 5 24 5 1 x5 2 5 24 ) 25 1 x 5 2 x(5 2 sin 2 2 ≤ + − = ++− =α Do đó max(sin α ) = 24 52 khi 5 1 x = . 2/ Bài toán 5: Cho mặt phẳng (P) và đường thăng d. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ nhất. Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;2;4) và đường thẳng 2 z 1 2y 1 1x :)d( = + = − − . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất. (Tương tự đề thi Đại Học Khối A năm 2008) Lời giải tham khảo Cách1:Phương pháp hình học (Đáp án của Bộ) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) và K là hình chiếu vuông góc của A trên (d). Ta có theo tính chất đoạn vuông góc và đoạn xiên : MKMH ≤ , nên MH lớn nhất khi KH ≡ . Vậy mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng vuông góc với AK tại K. Giải: Ta có )2t2;6t;t(AK)d()t2;t2;t1(K −−−=⇒∈+−− → (d) có véctơ chỉ phương )2;1;1(a −= → . 3 5 taAK =⇔⊥ →→ . Do đó ) 3 4 ; 3 13 ; 3 5 (AK −−= → . Chọn véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là )4;13;5(n −= → . Chọn điểm )P(M)d()0;2;1(M 00 ∈⇒∈− . Phương trình mặt phẳng (P): 5(x-1)+13(y+2)-4(z-0)=0 5x+13y-4z+21 = 0. Cách 2: Phương pháp giải tích. Đặt (P): Ax+By+Cz +D = 0 ( )0CBA 222 ≠++ . Chọn M(1;-2;0) và N(0;-1;2) thuộc (d) suy ra M,N thuộc (P). Ta được : − = +−= ⇔ =++− =+− 2 BA C B2AD 0DC2B 0DB2A Do đó (P): .0B2Az. 2 BA ByAx =+− − ++ Ta có d= AB2B5A5 B5A2 )P;A(d 22 −+ + = . Ta xét các trường hợp: Trường hợp 1: A=0. Ta được : 52 B5 B52 d 2 == Trường hợp 2: 0A ≠ . Ta được : ) A B x( x2x55 x512 A B 2 A B 55 A B5 12 d 22 = −+ + = − + + = Ta có 5x2x5 )1x10x25(4 d 2 2 2 +− ++ = Hàm số 5x2x5 1x10x25 )x(f 2 2 +− ++ = đạt GTLN là : 5 13 xkhi 6 35 = Vậy 5 13 A B xkhi 3 70 dmad) 6 35 (4dmax 2 ===⇒= . ( Chọn trường hợp 2 vì 52 3 70 > ) Chọn A=5; B=13 thì C=-4 ; D= 21 Phương trình mặt phẳng (P): 5x+13y-4z+21=0. Hết Vình Long, ngày 8 tháng 6 năm 2009. GV Nguyễn Ngọc Ấn, Trường PTTH Bán Công Vónh Long, TP Vónh Long. Ghi chú: 1/ Có thể xét B=0 , 0B ≠ (Tương tự như xét A). 2/ Bài toán 4 : Cho hai đường thẳng d và d’. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và tạo với d’ góc lớn nhất. . )1;1;0(nhay)3;3;0('u,un QQ −=−= = →←→→ . Điểm M (-1 ;-1 ;3) ∈ d ⇒ M ∈ (Q). Mặt phẳng (Q) cần tìm có phương trình: 0(x+1)+1(y+1 )-1 (z-3) = 0 y-z+4 = 0 Cách 2: Phương pháp giải tích. Đặt phưong. )P(M)d()0;2;1(M 00 ∈⇒∈− . Phương trình mặt phẳng (P): 5(x-1)+13(y+2 )-4 (z-0)=0 5x+13y-4z+21 = 0. Cách 2: Phương pháp giải tích. Đặt (P): Ax+By+Cz +D = 0 ( )0CBA 222 ≠++ . Chọn M(1 ;-2 ;0) và N(0 ;-1 ;2) thuộc (d) suy ra M,N. B=13 thì C =-4 ; D= 21 Phương trình mặt phẳng (P): 5x+13y-4z+21=0. Hết Vình Long, ngày 8 tháng 6 năm 2009. GV Nguyễn Ngọc Ấn, Trường PTTH Bán Công Vónh Long, TP Vónh Long. Ghi chú: 1/ Có thể xét