DE THI HSG TOAN 7 09.10

phòng Gd & đt kì thi khảo sát chất lợng học sinh mũi nhọn ngọc lặc Năm học 2009-2010 Môn : Toán lớp 7 Thời gian làm bài 120 phút Đề thi này có 5 câu Câu 1 : ( 4 điểm) Thực hiện phép tính hợp lí : a) A = 16.13 3 13.10 3 10.7 3 7.4 3 4.1 3 22222 ++++ b) B = 2 1 2 3 4 2 3 5 7 0,(4) 2 4 6 9 2 3 5 7 + + ữ ữ Câu 2: ( 3 điểm) Cho : B = 1 3 + 2 3 4 2009 2010 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 + + + + + . Chứng minh : B < 1 2 Câu 3 : ( 4 điểm) a) Chứng minh rằng : 3 n+2 - 2 n+4 +3 n +2 n chia hết cho 30 với mọi số nguyên d- ơng n. b) Tìm các số hữu tỉ x, y biết: x - y = x: y = 3(x + y) Câu 4 : (3 điểm) Cho x, y, z 0 ; x + y + z 0 và thoả mãn: y yxz x xzy z zyx + = + = + Chứng minh rằng: 8111 = + + + x z z y y x Câu 5 : ( 6 điểm) Cho ABC vuông cân tại B. Trung tuyến BM. Gọi D là một điểm bất kỳ thuộc cạnh AC. Kẻ AH, CK vuông góc với BD ( H, K đờng thẳng BD ). Chứng minh rằng : a) BH = CK; b) BMH CMK = ; c) MHK vuông cân./. Hết Họ tên thí sinh: SBD ( Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) Đề thi chính thức. đáp án toán 7 Câ u ý Yêu cầu nội dung Điểm 1 a- 2đ Ta có 16 45 16 3 3 16 3 13 3 13 3 10 3 10 3 7 3 7 3 4 3 4 3 1 3 == ++++=A 1.5đ 0.5đ b- 2đ B = 1 2 3 4 2 3 5 7 0,(1).4 1 2 3 9 4 2 3 5 7 + + ữ = 1 1 1 1 17 .4 1 18 9 2 18 18 + + = + = 1đ 1đ 2 3đ 3B = 1+ 1 3 + 2 3 4 2008 2009 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 + + + + + 3B B = 1- 2010 1 3 = 2010 2010 3 1 3 B = 2010 2010 3 1 3 . 1 2 Vì 2010 2010 3 1 3 < 1 Vậy B < 1 2 1.5đ 1.5đ 3 a- 2đ Ta có 3 n+2 2 n+4 +3 n +2 n = 3 n+2 + 3 n 2 n+4 +2 n = 3 n (3 2 +1) 2 n (2 4 -1) = 3 n . 10 2 n . 15 = 5( 3 n . 2 - 2 n . 3 ) Ta có: 3 n . 2 - 2 n . 3 M 6 5( 3 n . 2 - 2 n . 3 ) M 5 . 6 Vậy : 3 n+2 2 n+4 +3 n +2 n M 30 với mọi số nguyên dơng n 1đ 1đ b- 2đ Vì x - y = x: y = 3(x + y) x - y = 3(x + y) x-y =3x + 3y -2x = 4y 2 2 4 = = y x x - y = -2 = 3(x + y) x = y- 2 và -2 = 3(x + y ) -2 = 3(y - 2+ y ) 6y - 6 = -2 y = 2 3 x = 4 3 Vậy y = 3 2 và x = 3 4 1đ 1đ 4 3đ Vì y yxz x xzy z zyx + = + = + y yxz x xzy z zyx + = + = + = 1= ++ ++ = ++ +++++ yxz yxz yxz yxzxzyzyx x + y = 2z ; y+z = 2x ; x + z =2y Ta có : 8 2.2.2 111 == +++ = + + + zyx yxz x zx z zy y xy x z z y y x 1.5đ 1.5đ 5 a Xét ABH và BCKV có: 0 90== KH , BA = BC (gt), 1đ -2đ CBKBAH = ( cùng phụ với ABH ) ABH = BCK ( cạnh huyền góc nhọn) BH = CK (2 cạnh tơng ứng) 1đ b- 2đ Ta có BM là trung tuyến ứng với cạnh huyền AC của tam giác vuông ABC nên BM = 1 2 AC BM = MC (1) Do ABC cân tại B Trung tuyến BM đồng thời là đờng cao 0 90=BMC . +gọi D là giao điểm của BK và AC 21 DD = ( Hai góc đối đỉnh) MCKMBHDD =+=+ 0 2 0 1 9090 (2) + Theo câu a/ thì BH = CK (3) + Từ (1),(2),(3) suy ra BMH CMK = 1đ 1đ c- 2đ Từ BMH CMK = MH = MK và BMH CMK = MHK cân (*) Và 0 90=+=+ HMCCMKHMCBMH HMK vuông tại M (**) Từ (*) và (**) suy ra HMK vuông cân tại M (đpcm) 1đ 1đ B C A K H M D 1 2 . : a) A = 16.13 3 13 .10 3 10 .7 3 7. 4 3 4.1 3 22222 ++++ b) B = 2 1 2 3 4 2 3 5 7 0,(4) 2 4 6 9 2 3 5 7 + + ữ ữ Câu 2: ( 3 điểm) Cho : B = 1 3 + 2 3 4 2 009 2 010 1 1 1 1 1 3 3 3. sinh: SBD ( Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) Đề thi chính thức. đáp án toán 7 Câ u ý Yêu cầu nội dung Điểm 1 a- 2đ Ta có 16 45 16 3 3 16 3 13 3 13 3 10 3 10 3 7 3 7 3 4 3 4 3 1 3 == ++++=A 1.5đ 0.5đ b- 2đ . 7 0,(1).4 1 2 3 9 4 2 3 5 7 + + ữ = 1 1 1 1 17 .4 1 18 9 2 18 18 + + = + = 1đ 1đ 2 3đ 3B = 1+ 1 3 + 2 3 4 2008 2 009 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 + + + + + 3B B = 1- 2 010 1 3 = 2 010 2 010 3