không gian vectơ

Chương 3 KHÔNG GIAN VECTƠ R n $1. Các khái niệm cơ bản $2. Độc lập tuyến tính–Phụ thuộc tuyến tính $3. Không gian con $4. Cơ sở của không gian con $1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả 1.1 Đònh nghóa 1 : 1). Một bộ n số thực có thứ tự x 1 , x 2 , . . ., x n , được gọi là một vectơ n chiều : u = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) là vectơ dòng hoặc là vectơ cột               = n x x x u 2 1 $1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả trong đó x 1 được gọi là thành phần thứ nhất x 2 được gọi là thành phần thứ hai . . . x n được gọi là thành phần thứ n Ví dụ : u = (1, 3, 0) là vectơ 3 chiều v = (2, 0, 1, 4) là vectơ 4 chiều $1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả 2). Một vectơ có tất cả các thành phần đều bằng 0, gọi là vectơ không, ký hiệu θ. Ví dụ : θ = (0, 0, 0) là vectơ không 3 chiều θ = (0, 0, 0, 0) là vectơ không 4 chiều $1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả 1.2 Đònh nghóa 2 : 1). Tổng của hai vectơ n chiều :  Là một vectơ n chiều  Có các thành phần bằng tổng các thành phần tương ứng của hai vectơ đã cho. Với u = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) và v = (y 1 , y 2 , . . . , y n ) thì u + v = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , . . . , x n + y n ) $1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả 2). Tích của một số thực với một vectơ n chiều :  Là một vectơ n chiều  Có các thành phần bằng tích của số thực đó với các thành phần tương ứng của vectơ đã cho. Với u = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) và λ ∈ R thì : λu = (λx 1 , λx 2 , . . . , λx n ) $1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả 1.3 Đònh nghóa 3 : Tập hợp tất cả các vectơ n chiều, với hai phép toán trên, được gọi là không gian vectơ n chiều và được ký hiệu là R n . $2. C L P TUY N TÍNH – PH ĐỘ Ậ Ế Ụ THU C TUY N TÍNH :Ộ Ế 2.1 Ñònh nghóa : Cho heä vectô n chieàu u 1 , u 2 , . . ., u m . Xeùt phöông trình : x 1 u 1 + x 2 u 2 + . . . + x m u m = θ (1) $2. C L P TUY N TÍNH – PH ĐỘ Ậ Ế Ụ THU C TUY N TÍNH :Ộ Ế 1). Nếu (1) chỉ có nghiệm tầm thường : x 1 = x 2 = . . . = x m = 0 thì ta nói u 1 , u 2 , . . ., u m độc lập tuyến tính. 2). Ngược lại, nếu (1) có nghiệm không tầm thường thì ta nói u 1 , u 2 , . . ., u m phụ thuộc tuyến tính. $2. C L P TUY N TÍNH – PH ĐỘ Ậ Ế Ụ THU C TUY N TÍNH :Ộ Ế 2.2 Các ví dụ : Ví dụ 1 : Trong không gian R 3 , cho các vectơ : u 1 = (2, 1, 1); u 2 = (1, –1, 0); u 3 = (7, –1, 2) Xét xem các vectơ u 1 , u 2 , u 3 có độc lập tuyến tính hay không? [...]... của W, nếu : 1) Hệ vectơ { u1, u2, , um } độc lập tuyến tính 2) Mọi vectơ của W đều là tổ hợp tuyến tính của u , u , , u $4 CƠ SỞ CỦA KHƠNG GIAN CON : 4.2 Đònh lý 1 : Mọi cơ sở của không gian con đều có cùng một số vectơ Số vectơ trong 1 cơ sở của không gian con W, được gọi là số chiều của W Ký hiệu : dimW $4 CƠ SỞ CỦA KHƠNG GIAN CON : Ví dụ : Trong không gian vectơ Rn, cho hệ vectơ : e1, e2, ... CỦA KHƠNG GIAN CON : 4.3 Đònh lý 2 : Mọi hệ n vectơ n chiều độc lập tuyến tính đều là cơ sở của Rn $4 CƠ SỞ CỦA KHƠNG GIAN CON : Ví dụ : Trong không gian R3 , cho các vectơ phụ thuộc tham số m ∈ R như sau : u1 = (2m+1, m–2, 2m–1) u2 = (–m, m–1, m–1) u3 = (m+1, m–2, 2m–1) Tìm điều kiện để hệ vectơ {u1, u2, u3} 3 $4 CƠ SỞ CỦA KHƠNG GIAN CON : 4.4 Đònh lý 3 : Cho W là không gian con sinh bởi các vectơ :... các vectơ u1, u2, , um $3 KHƠNG GIAN CON : * Ghi nhớ : Vectơ u là tổ hợp tuyến tính của các vectơ : u1, u2, , um khi và chỉ khi phương trình sau có nghiệm : x1u1 + x2u2 + + xmum = u $3 KHƠNG GIAN CON : Ví dụ : Trong không gian R4 cho các vectơ : u1 = (1, 1, 1, 1) u2 = (2, 3, –1, 0) u3 = (–1, –1, 1, 1) $3 KHƠNG GIAN CON : 1) Xét xem u = (3, 1, 3, 2) có là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3 hay không? ... u3 = (7, –1, 2, 7) $3 KHƠNG GIAN CON : 3.1 Đònh nghóa 1 : Cho W ⊂ Rn và W ≠ ∅ Tập hợp W được gọi là không gian con của Rn, nếu : u + v ∈ W ∀u, v ∈ W và ∀λ ∈ R ⇒  λu ∈ W $3 KHƠNG GIAN CON : Ví dụ : Cho tập hợp : W = {u = (x1, x2, 0) / x1, x2 ∈ R} Chứng minh rằng W là không gian con của R3 $3 KHƠNG GIAN CON : 3.2 Đònh nghóa 2 : Cho hệ vectơ n chiều u1, u2, , um Mỗi vectơ u có dạng : u = λ 1u 1... KHƠNG GIAN CON : Ví dụ : Trong không gian R4 cho các vectơ : u1 = (1, 2, 1, 1); u2 = (2, 1, 3, 1); u3 = (–1, 1, –2, 0); u = (3, 3, 4, m) Gọi V = BÀI TẬP : Khơng gian con Bài 3.2 : Cho u1 = (1, 2, –1); u2 = (1, 1, 2); u = (1, –1, 1) và v = (3, 4, 3) 1) Chứng minh : u ∉ 2) Chứng minh : v ∈ $4 CƠ SỞ CỦA KHƠNG GIAN CON : 4.1 Đònh nghóa : Cho W là không gian con của Rn Hệ vectơ. .. không gian con sinh bởi các vectơ : u1, u2, , um Hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại của u1, u2, , um là 1 cơ sở của không gian con W $4 CƠ SỞ CỦA KHƠNG GIAN CON : Ví dụ : Trong không gian R4 cho các vectơ : u1 = (1, 2, 1, 1); u2 = (2, 1, 3, 1); u3 = (–1, 1, –2, 0); Gọi V = Tìm cơ sở và số chiều của không BÀI TẬP : Cơ sở khơng gian con Bài 3.3 : Cho u1 = (1, 1, –1); u2 = (0, 1, 1);... TUYẾN TÍNH : Ví dụ 2 : Trong không gian R3, cho các vectơ : u1 = (m, 1, 1); u2 = (1, m, 1); u3 = (1, 1, m); với m ∈ R Hãy xác đònh m sao cho u1, u2, u3 độc lập tuyến tính BÀI TẬP : Khơng gian vectơ Bài 3.1 : Hệ vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính : 1) u1 = (1, 2, 1); u2 = (4, 7, 2); u3 = (–2, 1, 1) 2) u1 = (1, –2, 1); u2 = (2, 0, 4); BÀI TẬP : Khơng gian vectơ 3) u1 = (1, 3, –1, 0);... u3 hay không? 2) Tìm điều kiện để vectơ v = (α1, α2, α3, α4) là một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3 $3 KHƠNG GIAN CON : 3.3 Đònh lý : Cho hệ vectơ n chiều u1, u2, , um ∈ Rn Gọi W là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , um, tức là : W = {u = λ1u1+λ2u2+ +λmum, với λ1,λ2, ,λm∈R} $3 KHƠNG GIAN CON : Khi đó W là một không gian con của Rn, gọi là không gian con sinh bởi u1, u2, , um... u3 = (1, 2, 1) R3 và u = (1, 2, –1) Chứng minh : {u1, u2, u3} là 1 cơ sở của BÀI TẬP : Cơ sở khơng gian con Bài 3.4 : Cho u1 = (1, 3, –1); u2 = (2, 1, 1); u3 = (–1, –8, 4) và u = (–4, 3, –5) Đặt V = 1).Tìm 1 cơ sở của không gian con V và tính dimV 2) Chứng minh u ∈ V BÀI TẬP : Cơ sở khơng gian con Bài 3.5 : Cho u1 = (1, 2, 1, 1); u2 = (3, 6, 5, 7); u3 = (2, 4, 3, 4); u4 = (4, 8, 6, 10)... cơ sở của W và tính dimW 2) Với giá trò nào của m thì u ∈ W? BÀI TẬP : Cơ sở khơng gian con Bài 3.6 : Cho u1 = (1, 0, 2, –1); u2 = (0, 1, 3, 2); u3 = (1, 2, 8, 3); u4 = (1, 1, 5, 1) và u = (–1, 2, 4, m) Đặt W = < u1, u2, u3, u4> 1) Tìm 1 cơ sở của W và tính dimW 2) Với giá trò nào của m thì u ∈ W? Chương 3 KHÔNG GIAN VECTƠ Rn Kết thúc chương 3 . Chương 3 KHÔNG GIAN VECTƠ R n $1. Các khái niệm cơ bản $2. Độc lập tuyến tính–Phụ thuộc tuyến tính $3. Không gian con $4. Cơ sở của không gian con $1. CÁC KHÁI NI M C B. là vectơ 3 chiều v = (2, 0, 1, 4) là vectơ 4 chiều $1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả 2). Một vectơ có tất cả các thành phần đều bằng 0, gọi là vectơ không, ký hiệu θ. Ví dụ : θ = (0, 0, 0) là vectơ. θ = (0, 0, 0) là vectơ không 3 chiều θ = (0, 0, 0, 0) là vectơ không 4 chiều $1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả 1.2 Đònh nghóa 2 : 1). Tổng của hai vectơ n chiều :  Là một vectơ n chiều  Có các