1. Trang chủ
  2. » Khoa Học Tự Nhiên

Tài liệu Không gian vecto doc

26 415 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 26
Dung lượng 289,18 KB

Nội dung

gth1 1 CHƯƠNG MỘT KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN gth1 2 KHÔNG GIAN VECTƠ Ta thường ký hiệu ∑ — : tập hợp các số thực . ∑ ¬ : tập hợp các số phức . ∑  : một trong hai tập hợp — và ¬ . gth1 3 Đònh nghóa . Cho E là một tập khác trống . Ta nói E là một không gian vectơ trên  , nếu có nội luật + : E μ E Ø E và ngoại luật . :  μ E Ø E có các tính chất sau (i) Luật + có tính giao hoán , phối hợp, có phần tử trung hoà 0, và với mọi x trong E \ {0} có một phần tử đối ký hiệu là -x , nghóa là (E, +) là một nhóm cộng giao hoán. (ii) Ngoại luật . phối hợp với nội luật + trong E và các nội luật trong , nghóa là với mọi x và y trong E ; t và s trong  ta có t.(x + y) = t.x + t.y , (t+s).x = t.x + s.x , (t.s).x = t.(s.x) . (iii) 1.x = x. gth1 4 Thí dụ 1 . Cho n là một số nguyên dương và đặt E = { x = (x 1 , . . . , x n ) : x 1 , . . . , x n œ — } nội luật + : E μ E Ø E (x 1 , . . . , x n ) + (y 1 , . . . , y n ) = (x 1 +y 1 , . . . , x n +y n ) và ngoại luật . : — μ E Ø E t. (x 1 , . . . , x n ) = (tx 1 , . . . , t x n ) Lúc đó E là một không gian vectơ trên — . Ta thường dùng — n để ký hiệu không gian vectơ này . gth1 5 Thí dụ 2 . Cho n là một số nguyên dương và đặt E = { x = (x 1 , . . . , x n ) : x 1 , . . . , x n œ ¬ } nội luật + : E μ E Ø E (x 1 , . . . , x n ) + (y 1 , . . . , y n ) = (x 1 +y 1 , . . . , x n +y n ) và ngoại luật . : ¬ μ E Ø E z. (x 1 , . . . , x n ) = (z x 1 , . . . , z x n ) Lúc đó E là một không gian vectơ trên ¬ . Ta thường dùng ¬ n để ký hiệu không gian vectơ này . gth1 6 Thí dụ 3 . Cho E là tập hợp tất cả các đa thức thực trên một khoảng đóng [a , b] . nghóa là f œ E nếu và chỉ nếu có một số nguyên dương k và k +1 số thực a 0 , a 1 , . . . , a k sao cho f (t) = a 0 + a 1 t + . . . + a k t k " t œ [a , b] . nội luật + : E μ E Ø E (f + g ) (t) = f(t) + g(t) " t œ [a , b] và ngoại luật . : — μ E Ø E (s. f)(t) = sf (t) " t œ [a , b] Lúc đó E là một không gian vectơ trên — . Ta thường dùng P([a , b] ,—) để ký hiệu không gian vectơ này . gth1 7 Thí dụ 4 . Cho E là tập hợp tất cả các đa thức thực bậc nhỏ hơn hay bằng N trên một khoảng đóng [a , b] . nghóa là f œ E nếu và chỉ nếu có N +1 số thực a 0 , a 1 , . . . , a N sao cho f (t) = a 0 + a 1 t + . . . + a N t N " t œ [a , b] . nội luật + : E μ E Ø E (f + g ) (t) = f(t) + g(t) " t œ [a , b] và ngoại luật . : — μ E Ø E (s. f)(t) = sf (t) " t œ [a , b] Lúc đó E là một không gian vectơ trên — . Ta thường dùng P N ([a , b] ,—) để ký hiệu không gian vectơ này . gth1 8 Thí dụ 4 . Cho E là tập hợp tất cả các hàm số thực liên tục trên một khoảng đóng [a , b] . nội luật + : E μ E Ø E (f + g ) (t) = f(t) + g(t) " t œ [a , b] và ngoại luật . : — μ E Ø E (s. f)(t) = sf (t) " t œ [a , b] Lúc đó E là một không gian vectơ trên — . Ta thường dùng C([a , b] ,—) để ký hiệu không gian vectơ này . gth1 9 Đònh nghóa . Cho E là một không gian vectơ F và A là một tập hợp con của E . Ta nói : † A là một tập độc lập tuyến tính nếu với mọi tập con hữu hạn {a 1 , ,a n } các phần tử khác nhau trong A và với mọi họ con hữu hạn {a 1 , ,a n } trong F sao cho a 1 a 1 + +a n a n =0 thì a 1 = . . . = a n = 0 . † A là một tập sinh của E nếu E = {a 1 a 1 + . . .+ a n a n : a 1 , . . . , a n œ A ; a 1 , . . . ,a n œF}. † A là một cơ sở của E nếu A là một tập độc lập tuyến tính và tập sinh của E. gth1 10 † Nếu A là một cơ sở của E và A có hữu hạn phần tử , ta nói E là một không gian vectơ hữu hạn chiều và số phần tử của A được gọi là số chiều của E và được ký hiệu là dim (E ) . † Nếu A là một cơ sở của E và A có vô hạn phần tử , ta nói E là một không gian vectơ vô hạn chiều và viết dim (E ) = ¶ . gth1 11 Đònh nghóa . Cho E là một không gian vectơ trên F, cho || || là một ánh xạ từ E vào —, ta nói || || là chuẩn trên E , nếu || || có các tính chất sau: (i) || x || ¥ 0 " x œ E , và || x || = 0 nếu và chỉ nếu x = 0 . (ii) || tx || = |t| || x || " x œ E , t œF. (iii) || x + y ||  || x || + || y || " x , y œ E . Nếu || || là một chuẩn trên E , ta nói (E, || ||) là một không gian vectơ đònh chuẩn , hoặc một không gian đònh chuẩn . Nếu không có gì để sợ lầm lẩn , ta ghi E thế cho (E, || ||) . gth1 12 Thí dụ 1 . Cho x = (x 1 , . . . , x n ) trong — n . Đặt || x || 1 = | x 1 | + . . . + | x n | || x || 2 = ( | x 1 | 2 + . . . + | x n | 2 ) 1/2 || x || ¶ = max{ | x 1 | , . . . , | x n | } Lúc đó || || 1 , || || 2 và || || ¶ là các chuẩn trên — n . gth1 13 Thí dụ 2 . Cho C([0,1], — ) là họ tất cả các hàm số liên tục từ khoãng [0 , 1] vào — . C([0,1], — ) là một không gian vectơ với các luật cộng và nhân của các hàm số thực. Ta đặt || f || = sup { | f(t) | : t  [0 , 1 ] }  f  C([0,1], — ) Lúc đó (C([0,1], — ) , ||.||) là một không gian đònh chuẩn gth1 14 Đònh nghóa . Cho (E,||.||) là một không gian đònh chuẩn (trên ) và f là một ánh xạ từ tập hợp các số nguyên dương Õ vào E. Đặt x n = f(n)  n œ Õ . Ta gọi {x n } là một dãy trong không gian đònh chuẩn E Thí dụ 1. {sin(n 3 + 2n)} là một dãy trong khoãng đóng [-1 , 1] Đònh nghóa . Cho E là một tập hợp khác trống và f là một ánh xạ từ tập hợp các số nguyên dương Õ vào E. Đặt x n = f(n)  n œ Õ . Ta gọi {x n } là một dãy trong E gth1 15 Thí dụ 2 . Cho C([0,1], — ) là họ tất cả các hàm số liên tục từ khoãng [0 , 1] vào — . C([0,1], — ) là một không gian vectơ với các luật cộng và nhân của các hàm số thực. Ta đặt || f || = sup { | f(t) | : t  [0 , 1 ] }  f  C([0,1], — ) Lúc đó (C([0,1], — ) , ||.||) là một không gian đònh chuẩn Ta sẽ cho một thí dụ về một dãy { u n } trong C([0,1], — ) gth1 16 Đặt u n (t)   1 1 2 2 1 tt t n n  !  t  [0 , 1]  n  Õ Lúc đó u n là một hàm số liên tục từ [0,1] vào — . Ta sẽ cho một thí dụ về một dãy { u n } trong C([0,1], — ) Vậy { u n } là một dãy trong C([0,1], — ) gth1 17 Cho { x n } là một dãy trong một không gian đònh chuẩn (E ,||.|| ) và một phần tử a trong E . Ta nói dãy { x n } hội tụ về a nếu và chỉ nếu   > 0  N()  Õ sao cho || x n - a || <   n > N() gth1 18 Đặt a (t) = t  t  [0 , 1] x n (t) = t + sin(n -1 t)  n  Õ  t  [0 , 1] Chứng minh {x n } hội tụ về a trong (C([0,1], ||.||) Chứng minh   > 0  N()  Õ sao cho || x n - a || <   n > N() Cho trước một số thực dương  , tìm một số nguyên dương N() sao cho || x n - a || <   n > N() gth1 19 Cho trước một số thực dương  , tìm một số nguyên dương N() sao cho ( || f || = sup { | f(t) | : t  [0 , 1 ] } ) sup { |x n (t) - a(t) | : t  [0 , 1 ] } <   n > N() |x n (t) - a(t) | <   n > N()  t  [0 , 1] || x n - a || <   n > N() gth1 20 Cho trước một số thực dương  , tìm một số nguyên dương N() sao cho a (t) = t  t  [0 , 1] x n (t) = t + sin(n -1 t)  n  Õ  t  [0 , 1] |t + sin(n -1 t) - t | <   n > N()  t  [0 , 1] | sin(n -1 t) | <   n > N()  t  [0 , 1] ( n -1  n -1 t  | sin(n -1 t) |  t  [0 , 1] ) n -1 <   n > N()  t  [0 , 1] |x n (t) - a(t) | <   n > N() ,  t  [0 , 1] gth1 21 Đònh nghóa . Cho g là một ánh xạ từ tập hợp các số nguyên dương Õ vào Õ . Đặt n k = g(k)  k  Õ . Ta dùng {n k } thay cho {x n } vì ta thường ký hiệu các số nguyên dương là n Ta thấy {n k } là một dãy trong Õ gth1 22 Cho E là một tập hợp khác trống , g là một ánh xạ từ Õ vào Õ và f là một ánh xạ từ Õ vào E. Đặt x n = f(n)  n œ Õ . b n = fog(n)  n œ Õ . Ta thấy fog cũng là một ánh xạ từ Õ vào E . Vậy {x n } và {b n } là các dãy trong E gth1 23 Cho { x n } là một dãy trong một không gian đònh chuẩn (E ,||.|| ) và một phần tử a trong E . Ta nói dãy { x n } hội tụ về a nếu và chỉ nếu   > 0  N()  Õ sao cho || x n - a || <   n > N() Cho E là một tập hợp khác trống , g là một ánh xạ từ Õ vào Õ và f là một ánh xạ từ Õ vào E. Đặt x n = f(n)  n œ Õ . b n = fog(n)  n œ Õ . Ta nói {b n } là một dãy con của {x n } nếu g tăng nghiêm cách. Lúc đó ta ký hiệu b n = k n x ( b n = fog(n) = b n = f (g(n) ) = f(n k ) ) gth1 24 Nếu g(n) = 5n+3 ta ký hiệu là x 5n+3 k n x Nếu g(n) = 2n ta ký hiệu là x 2n k n x Nếu g(n) = 2n+1 ta ký hiệu là x 2n+1 k n x gth1 25 Cho { x n } là một dãy trong một không gian đònh chuẩn (E ,||.|| ) Ta nói dãy { x n } là một dãy Cauchy nếu và chỉ nếu   > 0  N()  Õ sao cho || x n - x m || <   n > m > N() gth1 26 Cho { x n } là một dãy hội tụ về a trong một không gian đònh chuẩn (E ,||.|| ) . Chứng minh { x n } là một dãy Cauchy .   > 0  N()  Õ sao cho || x n - a || <   n > N()   > 0  N()  Õ sao cho || x n - x m || <   n > m > N()  ’ > 0  M(’)  Õ sao cho || x n - x m || < ’  n > m > M(’) gth1 27 Cho { x n } là một dãy hội tụ về a trong một không gian đònh chuẩn (E ,||.|| ) . Chứng minh { x n } là một dãy Cauchy .   > 0  N()  Õ sao cho || x n - a || <   n > N()  ’ > 0  M(’)  Õ sao cho || x n - x m || < ’  n > m > M(’) Cho một  > 0 ta có N()  Õ sao cho || x n - a || <   n > N() Cho một ’ > 0 tìm M(’)  Õ sao cho || x n - x m || < ’  n > m > M(’) gth1 28 Cho một  > 0 ta có N()  Õ sao cho || x n - a || <   n > N() Cho một ’ > 0 tìm M(’)  Õ sao cho || x n - x m || < ’  n > m > M(’) || x n - x m || § || x n - a || + || a - x m || || x n - x m || §  +   n , m > N() gth1 29 Cho một  > 0 ta có N()  Õ sao cho || x n - a || <   n > N() Cho một ’ > 0 tìm M(’)  Õ sao cho || x n - x m || < ’  n > m > M(’) || x n - x m || § || x n - a || + || a - x m || || x n - x m || §  +   n , m > N()  +  V ’ M(’) V N() Cho một ’ > 0 , ta chọn  =  ’ và M(’) = N() . Ta có || x n - x m || § || x n - a || + || a - x m || §  +  = ’  n > m > M(’) gth1 30 Cho E là tập hợp tất cả các đa thức với hệ số thực Cho f (t) = a 0 + a 1 t + . . . + a m t m . Đặt || f || = max { | a 0 | , | a 1 | , . . . , | a m | } Lúc đó (E , ||.||) là một không gian đònh chuẩn. Đặt u n (t) = t + 2 -1 t 2 + . . . + n -1 t n Ta thấy {u n } là một dãy trong E Ta sẽ chứng minh {u n } là một dãy Cauchy trong E . Nhưng không có v trong E sao cho {u n } hội tụ về v . gth1 31   > 0  N()  Õ sao cho || u n - u m || <   n > m > N() Cho một  > 0 , tìm N()  Õ sao cho || u n - u m || <   n > m > N() || u || = max { | a 0 | , | a 1 | , . . . , | a k | } nếu u (t) = a 0 + a 1 t + . . . + a k t k u n (t) = t + 2 -1 t 2 + . . . + n -1 t n u( t ) = u n (t) - u m (t) = (m+1) -1 t 2 + . . . + n -1 t n || u n - u m || = (m+1) -1  n > m Cho một  > 0 , tìm N()  Õ sao cho || u n - u m || = (m+1) -1 <   n > m > N() Suy ra ta cần chọn N() sao cho N() -1 <  Vậy {u n } là một dãy Cauchy trong E . gth1 32 Chứng minh không có v trong E sao cho {u n } hội tụ về v Cho v trong E . Chứng minh {u n } không hội tụ về v   > 0  N()  Õ sao cho || u n - v || >   n > N()  > 0 sao cho  N  Õ ,  n > N || u n - v || >  Tìm  > 0 sao cho với mọi N  Õ ta tìm được một n > N || u n - v || >  gth1 33 Tìm  > 0 sao cho với mọi N  Õ ta tìm được một n > N để cho || u n - v || >  || u || = max { | a 0 | , | a 1 | , . . . , | a n | } nếu u (t) = a 0 + a 1 t + . . . + a m t m u n (t) = t + 2 -1 t 2 + . . . + n -1 t n v (t) = b 0 + b 1 t + . . . + b k t k u (t) = u n (t) - v (t) = - b 0 +(1 – b 1 )t + . . . + +(k -1 -b k )t k + (k+1) -1 t k+1 + . . . + n -1 t n nếu n > k || u || = max{ | b 0 | , | 1 - b 1 | , . . . , | k -1 - b k | , (k+1) -1 , . . . , n -1 }  (k+1) -1 nếu n > k (k+1) -1 § || u n - v || nếu n > k Chọn  = (k+2 ) -1 . Ta có kết quả gth1 34 Cho a 1 ,a 2 , ,a n là n vectơ trong một không gian đònh chuẩn ( E , ||.||) . Ta đặt a 1 + a 2 + a 3 = (a 1 + a 2 )+ a 3 a 1 + a 2 +. . .+a n = (a 1 + a 2 +. . .+a n-1 )+a n Cho {a n } là một dãy trong một không gian đònh chuẩn ( E , ||.||) . Ta đặt s n = a 1 + a 2 +. . .+a n  n   Õ Lúc đó {s n } là một dãy trong E . Nếu dãy này hội tụ về s , ta nói s là giới hạn của chuỗi (vectơ) a n n   1 gth1 35 Cho C([0,1], — ) là họ tất cả các hàm số liên tục từ khoãng [0 , 1] vào — . Ta đặt || f || = sup { | f(t) | : t  [0 , 1 ] }  f  C([0,1], — ) Lúc đó (C([0,1], — ) , ||.||) là một không gian đònh chuẩn . Đặt Lúc đó {x n } là một dãy trong C([0,1], — ) . Chứng minh chuỗi hội tụ về s trong C([0,1], — ) , x nn    1 x n (t)  t  [ 0 ,1] , n œ Ù  1 n n t ! với s(t) = e t  t  [ 0 ,1] gth1 36 Đặt s n    x i i n 0 Chứng minh {s n } hội tụ về s trong C([0,1], — ) Ta có s n (t)  t  [ 0 ,1] ,  n  Õ   1 1 2 2 1 tt t n n  !   > 0  N()  Õ sao cho || s n - s || <   n > N() Cho trước một số thực dương  , tìm một số nguyên dương N() sao cho || s n - s || <   n > N() Chứng minh chuỗi hội tụ về s trong C([0,1], — ) x i i    0 gth1 37 Cho trước một số thực dương  , tìm một số nguyên dương N() sao cho || s n - s || <   n > N() || f || = sup { | f(t) | : t  [0 , 1 ] }  f  C([0,1], — ) s n (t)  t  [ 0 ,1] ,  n  Õ   1 1 2 2 1 tt t n n  ! s(t) = e t =  t  [ 0 ,1] 1 0 i i i t !    f(t) = s n (t) - s(t) = 1 1 i in i t !    Cho trước một số thực dương  , tìm một số nguyên dương N() sao cho sup {| | : t  [0 , 1] } <   n > N() 1 1 i in i t !    | | <   n > N() ,  t  [0 , 1] 1 1 i in i t !    gth1 38 Để ý <  1 0 i i !    Cho trước một số thực dương  , tìm một số nguyên dương N() sao cho | | <   n > N() ,  t  [0 , 1 ] 1 1 i in i t !    | | <   n > N() 1 1 i in !    | | = t  [0 , 1 ] 1 1 i in i t !    1 1 i in !    1 1 i in i t !    gth1 39 Cho {a n } là một dãy trong một không gian đònh chuẩn ( E , ||.||) . Ta đặt s n = a 1 + a 2 +. . .+a n  n   Õ Lúc đó {s n } là một dãy trong E . Nếu dãy {s n } là một dãy Cauchy trong E , ta nói chuỗi là một chuỗi Cauchy a n n    1 Tương tự như dãy , một chuỗi hội tụ trong E sẽ là một chuỗi Cauchy trong E. gth1 40 Cho E là tập hợp tất cả các đa thức với hệ số thực. Cho u (t) = a 0 + a 1 t + . . . + a m t m . Đặt || u || = max { | a 0 | , | a 1 | , . . . , | a n | } Lúc đó (E , ||.||) là một không gian đònh chuẩn. x n (t)  t  [ 0 ,1] , n œ Ù  1 n n t ! Ta thấy {x n } là một dãy trong E . Tương tự như trong phần dãy, ta chứng minh được chuỗi là một chuỗi Cauchy trong E nhưng không hội tụ trong E . x n n    0 Lưu ý . Chuỗi chính là chuỗi và đã được chứng minh hội tụ về s(t) = e t trong không gian đònh chuẩn C([0,1], — ) ở đoạn bên trên. x n n    0 1 0 i i i t !    [...]... ~ là một quan hệ tương đương trên E và tập hợp thương G ª E /~ là một không gian vectơ với các cấu trúc đại số sau x  y  x  y, x  x x,y  E,   ở đây z = {z + u : u œ V} là lớp tương đương chứa z Đặt || x || G = inf{ || u ||E : u œ x } Lúc đó (G,||.||G ) là một không gian đònh chuẩn trên F Ta gọi không gian này là không gian đònh chuẩn thương E / V _ Xét ánh xạ T : E Ø G : T ( x )  x "xœE... Đặt x  G 74 Xét không gian đònh chuẩn (C([0,1], — ), || f || ) với || f || = sup { | f(t) | : t  [0 , 1 ] } Đặt T(f ) =  f  C([0,1], — ) 1  0 f ( t ) dt Ta đã chứng minh T œ L(C([0,1], — ), — ) và " T œ L(E,F) | T(f ) | § || f || Lúc đó ||.|| là một chuẩn trên L(E,F) Đònh lý 2.3 Cho E là một không gian đònh chuẩn, F là một không gian Banach Lúc đó (L(E,F), ||.||) là một không gian Banach gth1... S-1 88 Đònh lý 2.7 ( Đònh lý Hahn- Banach) Cho E là một không gian đònh chuẩn trên F , M là một không gian vectơ con của E và f œ L(M, F) Khi đó có g œ L(E, F) sao cho g|M = f và ||g|| = || f || Cho E là một không gian đònh chuẩn trên F , a là một vectơ trong E Khi đó có f œ L(E, F) sao cho || f || = 1 và f (a) = || a || gth1 89 Cho E là không gian —n Với x =(x1,…, xn) ,y = (y1,…, yn) œ E đặt f(x,y)... x trong G ª … m œ Õ Gm Lúc đó nếu {||Ti ||} không bò chặn trong — thì có một dãy tập mở trù mật {Gm} trong E sao cho {|Ti(x)|} i œ I không bò chặn với mọi x trong G ª … m œ Õ Gm Đònh Lý Baire Nếu {Gm} là một dãy tập mở trù mật trong một không gian Banach E thì G ª … m œ Õ Gm là một tập trù mật trong E Lúc đó nếu E là một không gian Banach {||Ti ||} i œ I không bò chặn trong — thì có một tập G trù mật... là một dạng Hermite dương trong một " x œ E không gian vectơ E Đặt || x || = f(x,x) Do đònh lý 3.1, (E,||.||) là một không gian đònh chuẩn Nếu (E,||.||) đầy đủ, ta gọi nó là một gth1 ng gian Hilbert và viết 92 khô thay cho f(x,y) Đònh nghóa 3.4 Cho x và y trong E Ta nói x thẳng góc với y nếu và chỉ nếu = 0 Lúc đó ta ký hiệu x ^ y Cho E là không gian các hàm số liên tục từ [0,1] vào — Với... là một không gian Banach gth1 V = T-1({0}) = {x œ E : T(x) = 0 } zx Ta đặt L(E , F) là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ một không gian đònh chuẩn E vào một không gian đònh chuẩn F || T|| = sup || T ( x ) ||F || x ||E  1 Cho E và F là hai không gian đònh chuẩn trên F và T là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F Đặt 75  f  C([0,1], — ) Chứng minh || T || = 1 || T ||  || T (x... Steinhaus) Cho E là một không gian Banach và F là một {T i } ing gian đònh chuẩn và { Ti} i œ I là khô  I một họ các phần tử trong L(E,F) Đònh lý 2.4 ( Banach- Steinhaus) Cho E và F là hai không gian đònh chuẩn và { T i } i  I là một họ các phần tử trong L(E,F) Thì hoặc ta có {||Ti ||} bò chặn trong — hoặc ta có một dãy tập mở trù mật {Gm} trong E sao cho {|Ti(x)|} i œ I không bò chặn với mọi x trong... E vào F nhưng T không liên tục từ (E, ||.||E) vào (E, ||.||F) M = ||T(e1 )|| F + ||T(e2 )|| F + + ||T(en )|| F Đặt || fn ||E = fn (t) = tn 1 0 t n dt " t œ [0,1], n œ Õ  1 n 1 || T( fn) ||F = || fn ||F = 1 gth1 71 Vậy dãy {fn} hội tụ về 0 trong E nhưng dãy {T( fn) } gth1 không hội tụ về T(0) = 0 trong F 72 1.3.6 Cho (E, || ||E ) là một không gian đònh chuẩn Cho V là một không gian vectơ con... N() Lúc đó Cho B là một tập con khác trống trong một không gian đònh chuẩn (E, ||.||) Cho a là một phần tử trong E E n-1 gth1 47 = « =  B (x , rx ) xE  B (x , rx ) x với rx = 1 " xœE vớigth1 x = 1 r " xœ« 48 Đònh nghóa Cho (E , ||.||) là một không gian đònh chuẩn và A là một tập con của E , ta nói Đònh nghóa Cho (E, ||.||) là một không gian đònh chuẩn (trên ) Cho x trong E và A là một tập... hiệu là xÿy hoặc và được gọi là tích vô hướng của x và y Cho E là không gian ¬n Với x =(x1,…, xn) ,y = (y1,…, yn) œ E đặt f(x,y) = x1 y1  x 2 y 2    x n y n Cho E là không gian và n số thực dương a1 , a2 , …, an Với mọi x =(x1,…, xn) ,y = (y1,…, yn) œ E đặt f(x,y) = a1x1y1 + a2x2y2 + + anxnyn —n Cho E là không gian ¬n và n số thực dương a1 , a2 , …, an Với mọi x =(x1,…, xn) ,y = (y1,…, . 2.3. Cho E là một không gian đònh chuẩn, F là một không gian Banach. Lúc đó (L(E,F), ||.||) là một không gian Banach. gth1 76 Tìm hai không gian đònh chuẩn. œ }. G |||| x x Lúc đó (G,||.|| G ) là một không gian đònh chuẩn trên F . Ta gọi không gian này là không gian đònh chuẩn thương E / V. Xét ánh xạ T :

Ngày đăng: 16/02/2014, 15:20

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w