THÔNG TIN TÀI LIỆU
gth1 1
CHƯƠNG MỘT
KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
gth1 2
KHÔNG GIAN VECTƠ
Ta thường ký hiệu
∑ — : tập hợp các số thực .
∑ ¬ : tập hợp các số phức .
∑ : một trong hai tập hợp — và ¬ .
gth1 3
Đònh nghóa . Cho E là một tập khác trống . Ta nói E là một không
gian vectơ trên , nếu có
nội luật + : E μ E Ø E và
ngoại luật . : μ E Ø E có các tính chất sau
(i) Luật + có tính giao hoán , phối hợp, có phần tử
trung hoà 0, và với mọi x trong E \ {0} có một phần tử đối
ký hiệu là -x , nghóa là (E, +) là một nhóm cộng giao hoán.
(ii) Ngoại luật . phối hợp với nội luật + trong E và các nội luật
trong , nghóa là với mọi x và y trong E ; t và s trong ta
có
t.(x + y) = t.x + t.y ,
(t+s).x = t.x + s.x ,
(t.s).x =
t.(s.x) .
(iii) 1.x = x.
gth1 4
Thí dụ 1 . Cho n là một số nguyên dương và đặt
E = { x = (x
1
, . . . , x
n
) : x
1
, . . . , x
n
œ — }
nội luật + : E μ E Ø E
(x
1
, . . . , x
n
) + (y
1
, . . . , y
n
) = (x
1
+y
1
, . . . , x
n
+y
n
)
và
ngoại luật . : — μ E Ø E
t. (x
1
, . . . , x
n
) = (tx
1
, . . . , t x
n
)
Lúc đó E là một không gian vectơ trên — .
Ta thường dùng —
n
để ký hiệu không gian vectơ này .
gth1 5
Thí dụ 2 . Cho n là một số nguyên dương và đặt
E = { x = (x
1
, . . . , x
n
) : x
1
, . . . , x
n
œ ¬ }
nội luật + : E μ E Ø E
(x
1
, . . . , x
n
) + (y
1
, . . . , y
n
) = (x
1
+y
1
, . . . , x
n
+y
n
)
và
ngoại luật . : ¬ μ E Ø E
z. (x
1
, . . . , x
n
) = (z x
1
, . . . , z x
n
)
Lúc đó E là một không gian vectơ trên ¬ .
Ta thường dùng ¬
n
để ký hiệu không gian vectơ này .
gth1 6
Thí dụ 3 . Cho E là tập hợp tất cả các đa thức thực trên một
khoảng đóng [a , b] .
nghóa là f œ E nếu và chỉ nếu có một số nguyên dương k và
k +1 số thực
a
0
,
a
1
, . . . ,
a
k
sao cho
f (t) =
a
0
+
a
1
t + . . . +
a
k
t
k
" t œ [a , b] .
nội luật + : E μ E Ø E
(f + g ) (t) = f(t) + g(t) " t œ [a , b]
và ngoại luật . : — μ E Ø E
(s. f)(t) = sf (t) " t œ [a , b]
Lúc đó E là một không gian vectơ trên — .
Ta thường dùng P([a , b] ,—) để ký hiệu không gian vectơ này .
gth1 7
Thí dụ 4 . Cho E là tập hợp tất cả các đa thức thực bậc nhỏ hơn
hay bằng N trên một khoảng đóng [a , b] .
nghóa là f œ E nếu và chỉ nếu có N +1 số thực
a
0
,
a
1
, . . . ,
a
N
sao cho f (t) =
a
0
+
a
1
t + . . . +
a
N
t
N
" t œ [a , b] .
nội luật + : E μ E Ø E
(f + g ) (t) = f(t) + g(t) " t œ [a , b]
và ngoại luật . : — μ E Ø E
(s. f)(t) = sf (t) " t œ [a , b]
Lúc đó E là một không gian vectơ trên — . Ta thường dùng
P
N
([a , b] ,—) để ký hiệu không gian vectơ này .
gth1 8
Thí dụ 4 . Cho E là tập hợp tất cả các hàm số thực liên tục
trên một khoảng đóng [a , b] .
nội luật + : E μ E Ø E
(f + g ) (t) = f(t) + g(t) " t œ [a , b]
và ngoại luật . : — μ E Ø E
(s. f)(t) = sf (t) " t œ [a , b]
Lúc đó E là một không gian vectơ trên — .
Ta thường dùng C([a , b] ,—) để ký hiệu không gian vectơ này .
gth1 9
Đònh nghóa . Cho E là một không gian vectơ F và A là một tập
hợp con của E . Ta nói :
† A là một tập độc lập tuyến tính nếu với mọi tập con
hữu hạn {a
1
, ,a
n
} các phần tử khác nhau trong A và
với mọi họ con hữu hạn {a
1
, ,a
n
} trong F sao cho a
1
a
1
+ +a
n
a
n
=0 thì
a
1
= . . . = a
n
= 0 .
† A là một tập sinh của E nếu
E = {a
1
a
1
+ . . .+ a
n
a
n
: a
1
, . . . , a
n
œ A ; a
1
, . . . ,a
n
œF}.
† A là một cơ sở của E nếu A là một tập độc lập tuyến tính
và tập sinh của E.
gth1 10
† Nếu A là một cơ sở của E và A có hữu hạn phần tử , ta nói
E là một không gian vectơ hữu hạn chiều và số phần tử của A
được gọi là số chiều của E và được ký hiệu là dim (E ) .
† Nếu A là một cơ sở của E và A có vô hạn phần tử , ta nói
E là một không gian vectơ vô hạn chiều và viết dim (E ) = ¶ .
gth1 11
Đònh nghóa . Cho E là một không gian vectơ trên F,
cho || || là một ánh xạ từ E vào —, ta nói || || là chuẩn trên
E , nếu || || có các tính chất sau:
(i) || x || ¥ 0 " x œ E , và || x || = 0 nếu và chỉ nếu x = 0 .
(ii) || tx || = |t| || x || " x œ E , t œF.
(iii) || x + y || || x || + || y || " x , y œ E .
Nếu || || là một chuẩn trên E , ta nói (E, || ||) là một không gian
vectơ đònh chuẩn , hoặc một không gian đònh chuẩn . Nếu không
có gì để sợ lầm lẩn , ta ghi E thế cho (E, || ||) .
gth1 12
Thí dụ 1 . Cho x = (x
1
, . . . , x
n
) trong —
n
. Đặt
|| x ||
1
= | x
1
| + . . . + | x
n
|
|| x ||
2
= ( | x
1
|
2
+ . . . + | x
n
|
2
)
1/2
|| x ||
¶
= max{ | x
1
| , . . . , | x
n
| }
Lúc đó || ||
1
, || ||
2
và || ||
¶
là các chuẩn trên —
n
.
gth1 13
Thí dụ 2 . Cho C([0,1],
—
) là họ tất cả các hàm số liên tục từ
khoãng [0 , 1] vào
—
.
C([0,1],
—
) là một không gian vectơ với các luật cộng và nhân
của các hàm số thực.
Ta đặt
|| f || = sup { | f(t) | : t
[0 , 1 ] }
f C([0,1],
—
)
Lúc đó (C([0,1],
—
) , ||.||) là một không gian đònh chuẩn
gth1 14
Đònh nghóa . Cho (E,||.||) là một không gian đònh chuẩn
(trên ) và f là một ánh xạ từ tập hợp các số nguyên dương
Õ
vào E. Đặt
x
n
= f(n) n œ
Õ
.
Ta gọi {x
n
} là một dãy trong không gian đònh chuẩn E
Thí dụ 1. {sin(n
3
+ 2n)} là một dãy trong khoãng đóng [-1 , 1]
Đònh nghóa . Cho E là một tập hợp khác trống và f là một
ánh xạ từ tập hợp các số nguyên dương
Õ
vào E. Đặt
x
n
= f(n) n œ
Õ
.
Ta gọi {x
n
} là một dãy trong E
gth1 15
Thí dụ 2 . Cho C([0,1],
—
) là họ tất cả các hàm số liên tục từ
khoãng [0 , 1] vào
—
.
C([0,1],
—
) là một không gian vectơ với các luật cộng và nhân
của các hàm số thực.
Ta đặt
|| f || = sup { | f(t) | : t
[0 , 1 ] }
f C([0,1],
—
)
Lúc đó (C([0,1],
—
) , ||.||) là một không gian đònh chuẩn
Ta sẽ cho một thí dụ về một dãy { u
n
} trong C([0,1],
—
)
gth1 16
Đặt
u
n
(t)
1
1
2
2
1
tt t
n
n
!
t [0 , 1] n
Õ
Lúc đó u
n
là một hàm số liên tục từ [0,1] vào
—
.
Ta sẽ cho một thí dụ về một dãy { u
n
} trong C([0,1],
—
)
Vậy { u
n
} là một dãy trong C([0,1],
—
)
gth1 17
Cho { x
n
} là một dãy trong một không gian đònh chuẩn
(E ,||.|| ) và một phần tử a trong E .
Ta nói dãy { x
n
} hội tụ về a nếu và chỉ nếu
> 0 N()
Õ
sao cho
|| x
n
- a || < n > N()
gth1 18
Đặt
a (t) = t t [0 , 1]
x
n
(t) = t + sin(n
-1
t) n
Õ
t [0 , 1]
Chứng minh {x
n
} hội tụ về a trong (C([0,1], ||.||)
Chứng minh > 0 N()
Õ
sao cho
|| x
n
- a || < n > N()
Cho trước một số thực dương , tìm một số nguyên dương
N() sao cho
|| x
n
- a || < n > N()
gth1 19
Cho trước một số thực dương , tìm một số nguyên dương
N() sao cho
( || f || = sup { | f(t) | : t
[0 , 1 ] } )
sup { |x
n
(t) - a(t) | : t
[0 , 1 ] } <
n > N()
|x
n
(t) - a(t) | <
n > N() t [0 , 1]
|| x
n
- a || < n > N()
gth1 20
Cho trước một số thực dương , tìm một số nguyên dương
N() sao cho
a (t) = t t [0 , 1]
x
n
(t) = t + sin(n
-1
t) n
Õ
t [0 , 1]
|t + sin(n
-1
t) - t | < n > N() t [0 , 1]
| sin(n
-1
t) | < n > N() t [0 , 1]
( n
-1
n
-1
t | sin(n
-1
t) | t [0 , 1] )
n
-1
< n > N() t [0 , 1]
|x
n
(t) - a(t) | < n > N() , t [0 , 1]
gth1 21
Đònh nghóa . Cho g là một ánh xạ từ tập hợp các số nguyên
dương
Õ
vào
Õ
. Đặt
n
k
= g(k) k
Õ
.
Ta dùng {n
k
} thay cho {x
n
} vì ta thường ký hiệu các số
nguyên dương là n
Ta thấy {n
k
} là một dãy trong
Õ
gth1 22
Cho E là một tập hợp khác trống ,
g là một ánh xạ từ
Õ
vào
Õ
và
f là một ánh xạ từ
Õ
vào E.
Đặt
x
n
= f(n) n œ
Õ
.
b
n
= fog(n) n œ
Õ
.
Ta thấy fog cũng là một ánh xạ từ
Õ
vào E .
Vậy {x
n
} và {b
n
} là các dãy trong E
gth1 23
Cho { x
n
} là một dãy trong một không gian đònh chuẩn
(E ,||.|| ) và một phần tử a trong E . Ta nói dãy { x
n
} hội
tụ về a nếu và chỉ nếu
> 0 N()
Õ
sao cho
|| x
n
- a || < n > N()
Cho E là một tập hợp khác trống , g là một ánh xạ từ
Õ
vào
Õ
và f là một ánh xạ từ
Õ
vào E. Đặt
x
n
= f(n) n œ
Õ
.
b
n
= fog(n) n œ
Õ
.
Ta nói {b
n
} là một dãy con của {x
n
} nếu g tăng nghiêm cách.
Lúc đó ta ký hiệu b
n
=
k
n
x
( b
n
= fog(n) = b
n
= f (g(n) ) = f(n
k
) )
gth1 24
Nếu g(n) = 5n+3 ta ký hiệu là x
5n+3
k
n
x
Nếu g(n) = 2n ta ký hiệu là x
2n
k
n
x
Nếu g(n) = 2n+1 ta ký hiệu là x
2n+1
k
n
x
gth1 25
Cho { x
n
} là một dãy trong một không gian đònh chuẩn
(E ,||.|| )
Ta nói dãy { x
n
} là một dãy Cauchy nếu và chỉ nếu
> 0 N()
Õ
sao cho
|| x
n
- x
m
|| < n > m > N()
gth1 26
Cho { x
n
} là một dãy hội tụ về a trong một không gian đònh
chuẩn (E ,||.|| ) . Chứng minh { x
n
} là một dãy Cauchy .
> 0 N()
Õ
sao cho
|| x
n
- a || < n > N()
> 0 N()
Õ
sao cho
|| x
n
- x
m
|| < n > m > N()
’ > 0 M(’)
Õ
sao cho
|| x
n
- x
m
|| < ’ n > m > M(’)
gth1 27
Cho { x
n
} là một dãy hội tụ về a trong một không gian đònh
chuẩn (E ,||.|| ) . Chứng minh { x
n
} là một dãy Cauchy .
> 0 N()
Õ
sao cho
|| x
n
- a || < n > N()
’ > 0 M(’)
Õ
sao cho
|| x
n
- x
m
|| < ’ n > m > M(’)
Cho một > 0 ta có N()
Õ
sao cho
|| x
n
- a || < n > N()
Cho một ’ > 0 tìm M(’)
Õ
sao cho
|| x
n
- x
m
|| < ’ n > m > M(’)
gth1 28
Cho một > 0 ta có N()
Õ
sao cho
|| x
n
- a || < n > N()
Cho một ’ > 0 tìm M(’)
Õ
sao cho
|| x
n
- x
m
|| < ’ n > m > M(’)
|| x
n
- x
m
|| § || x
n
- a || + || a - x
m
||
|| x
n
- x
m
|| § + n , m > N()
gth1 29
Cho một > 0 ta có N()
Õ
sao cho
|| x
n
- a || < n > N()
Cho một ’ > 0 tìm M(’)
Õ
sao cho
|| x
n
- x
m
|| < ’ n > m > M(’)
|| x
n
- x
m
|| § || x
n
- a || + || a - x
m
||
|| x
n
- x
m
|| § + n , m > N()
+ V ’ M(’) V N()
Cho một ’ > 0 , ta chọn = ’ và
M(’) = N() . Ta có
|| x
n
- x
m
|| § || x
n
- a || + || a - x
m
||
§ + = ’ n > m > M(’)
gth1 30
Cho E là tập hợp tất cả các đa thức với hệ số thực
Cho f (t) = a
0
+ a
1
t + . . . + a
m
t
m
. Đặt
|| f || = max { | a
0
| , | a
1
| , . . . , | a
m
| }
Lúc đó (E , ||.||) là một không gian đònh chuẩn.
Đặt u
n
(t) = t + 2
-1
t
2
+ . . . + n
-1
t
n
Ta thấy {u
n
} là một dãy trong E
Ta sẽ chứng minh {u
n
} là một dãy Cauchy trong E . Nhưng
không có v trong E sao cho {u
n
} hội tụ về v .
gth1 31
> 0 N()
Õ
sao cho
|| u
n
- u
m
|| < n > m > N()
Cho một > 0 , tìm N()
Õ
sao cho
|| u
n
- u
m
|| < n > m > N()
|| u || = max { | a
0
| , | a
1
| , . . . , | a
k
| } nếu
u (t) = a
0
+ a
1
t + . . . + a
k
t
k
u
n
(t) = t + 2
-1
t
2
+ . . . + n
-1
t
n
u( t ) = u
n
(t) - u
m
(t) = (m+1)
-1
t
2
+ . . . + n
-1
t
n
|| u
n
- u
m
|| = (m+1)
-1
n > m
Cho một > 0 , tìm N()
Õ
sao cho
|| u
n
- u
m
|| = (m+1)
-1
< n > m > N()
Suy ra ta cần chọn N() sao cho N()
-1
<
Vậy {u
n
} là một dãy Cauchy trong E .
gth1 32
Chứng minh không có v trong E sao cho {u
n
} hội tụ về v
Cho v trong E . Chứng minh {u
n
} không hội tụ về v
> 0 N()
Õ
sao cho
|| u
n
- v || > n > N()
> 0 sao cho N
Õ
, n > N
|| u
n
- v || >
Tìm > 0 sao cho với mọi N
Õ
ta tìm được một n > N
|| u
n
- v || >
gth1 33
Tìm > 0 sao cho với mọi N
Õ
ta tìm được một n > N
để cho || u
n
- v || >
|| u || = max { | a
0
| , | a
1
| , . . . , | a
n
| } nếu
u (t) = a
0
+ a
1
t + . . . + a
m
t
m
u
n
(t) = t + 2
-1
t
2
+ . . . + n
-1
t
n
v (t) = b
0
+ b
1
t + . . . + b
k
t
k
u (t) = u
n
(t) - v (t) = - b
0
+(1 – b
1
)t + . . . +
+(k
-1
-b
k
)t
k
+ (k+1)
-1
t
k+1
+ . . . + n
-1
t
n
nếu n > k
|| u || = max{ | b
0
| , | 1 - b
1
| , . . . , | k
-1
- b
k
| , (k+1)
-1
, . . . , n
-1
}
(k+1)
-1
nếu n > k
(k+1)
-1
§ || u
n
- v || nếu n > k
Chọn = (k+2 )
-1
. Ta có kết quả
gth1 34
Cho a
1
,a
2
, ,a
n
là n vectơ trong một không gian đònh
chuẩn ( E , ||.||) . Ta đặt
a
1
+ a
2
+ a
3
= (a
1
+ a
2
)+ a
3
a
1
+ a
2
+. . .+a
n
= (a
1
+ a
2
+. . .+a
n-1
)+a
n
Cho {a
n
} là một dãy trong một không gian đònh chuẩn
( E , ||.||) . Ta đặt
s
n
= a
1
+ a
2
+. . .+a
n
n
Õ
Lúc đó {s
n
} là một dãy trong E . Nếu dãy này hội tụ
về s , ta nói s là giới hạn của chuỗi (vectơ)
a
n
n
1
gth1 35
Cho C([0,1],
—
) là họ tất cả các hàm số liên tục từ khoãng [0 ,
1] vào
—
.
Ta đặt
|| f || = sup { | f(t) | : t
[0 , 1 ] }
f C([0,1],
—
)
Lúc đó (C([0,1],
—
) , ||.||) là một không gian đònh chuẩn . Đặt
Lúc đó {x
n
} là một dãy trong C([0,1], — ) .
Chứng minh chuỗi hội tụ về s trong C([0,1], — ) ,
x
nn
1
x
n
(t) t [ 0 ,1] , n
œ Ù
1
n
n
t
!
với s(t) = e
t
t [ 0 ,1]
gth1 36
Đặt s
n
x
i
i
n
0
Chứng minh {s
n
} hội tụ về s trong C([0,1], — )
Ta có
s
n
(t)
t [ 0 ,1] , n Õ
1
1
2
2
1
tt t
n
n
!
> 0 N()
Õ
sao cho
|| s
n
- s || < n > N()
Cho trước một số thực dương , tìm một số nguyên
dương N() sao cho || s
n
- s || < n > N()
Chứng minh chuỗi hội tụ về s trong C([0,1], — )
x
i
i
0
gth1 37
Cho trước một số thực dương , tìm một số nguyên dương
N() sao cho || s
n
- s || < n > N()
|| f || = sup { | f(t) | : t
[0 , 1 ] } f C([0,1], — )
s
n
(t)
t [ 0 ,1] , n Õ
1
1
2
2
1
tt t
n
n
!
s(t) = e
t
= t [ 0 ,1]
1
0
i
i
i
t
!
f(t) = s
n
(t) - s(t) =
1
1
i
in
i
t
!
Cho trước một số thực dương , tìm một số nguyên dương
N() sao cho
sup {| | : t
[0 , 1] } < n > N()
1
1
i
in
i
t
!
| | < n > N() , t
[0 , 1]
1
1
i
in
i
t
!
gth1 38
Để ý <
1
0
i
i
!
Cho trước một số thực dương , tìm một số nguyên dương
N() sao cho
| | < n > N() , t
[0 , 1 ]
1
1
i
in
i
t
!
| | < n > N()
1
1
i
in
!
| | = t
[0 , 1 ]
1
1
i
in
i
t
!
1
1
i
in
!
1
1
i
in
i
t
!
gth1 39
Cho {a
n
} là một dãy trong một không gian đònh chuẩn
( E , ||.||) . Ta đặt
s
n
= a
1
+ a
2
+. . .+a
n
n
Õ
Lúc đó {s
n
} là một dãy trong E . Nếu dãy {s
n
} là một dãy
Cauchy trong E , ta nói chuỗi là một chuỗi Cauchy
a
n
n
1
Tương tự như dãy , một chuỗi hội tụ trong E sẽ là một chuỗi
Cauchy trong E.
gth1 40
Cho E là tập hợp tất cả các đa thức với hệ số thực.
Cho u (t) = a
0
+ a
1
t + . . . + a
m
t
m
. Đặt
|| u || = max { | a
0
| , | a
1
| , . . . , | a
n
| }
Lúc đó (E , ||.||) là một không gian đònh chuẩn.
x
n
(t) t [ 0 ,1] , n
œ Ù
1
n
n
t
!
Ta thấy {x
n
} là một dãy trong E .
Tương tự như trong phần dãy, ta chứng minh được chuỗi
là một chuỗi Cauchy trong E nhưng không hội tụ trong E .
x
n
n
0
Lưu ý . Chuỗi chính là chuỗi
và đã được chứng minh hội tụ về s(t) = e
t
trong không gian
đònh chuẩn C([0,1], — ) ở đoạn bên trên.
x
n
n
0
1
0
i
i
i
t
!
[...]... ~ là một quan hệ tương đương trên E và tập hợp thương G ª E /~ là một không gian vectơ với các cấu trúc đại số sau x y x y, x x x,y E, ở đây z = {z + u : u œ V} là lớp tương đương chứa z Đặt || x || G = inf{ || u ||E : u œ x } Lúc đó (G,||.||G ) là một không gian đònh chuẩn trên F Ta gọi không gian này là không gian đònh chuẩn thương E / V _ Xét ánh xạ T : E Ø G : T ( x ) x "xœE... Đặt x G 74 Xét không gian đònh chuẩn (C([0,1], — ), || f || ) với || f || = sup { | f(t) | : t [0 , 1 ] } Đặt T(f ) = f C([0,1], — ) 1 0 f ( t ) dt Ta đã chứng minh T œ L(C([0,1], — ), — ) và " T œ L(E,F) | T(f ) | § || f || Lúc đó ||.|| là một chuẩn trên L(E,F) Đònh lý 2.3 Cho E là một không gian đònh chuẩn, F là một không gian Banach Lúc đó (L(E,F), ||.||) là một không gian Banach gth1... S-1 88 Đònh lý 2.7 ( Đònh lý Hahn- Banach) Cho E là một không gian đònh chuẩn trên F , M là một không gian vectơ con của E và f œ L(M, F) Khi đó có g œ L(E, F) sao cho g|M = f và ||g|| = || f || Cho E là một không gian đònh chuẩn trên F , a là một vectơ trong E Khi đó có f œ L(E, F) sao cho || f || = 1 và f (a) = || a || gth1 89 Cho E là không gian —n Với x =(x1,…, xn) ,y = (y1,…, yn) œ E đặt f(x,y)... x trong G ª … m œ Õ Gm Lúc đó nếu {||Ti ||} không bò chặn trong — thì có một dãy tập mở trù mật {Gm} trong E sao cho {|Ti(x)|} i œ I không bò chặn với mọi x trong G ª … m œ Õ Gm Đònh Lý Baire Nếu {Gm} là một dãy tập mở trù mật trong một không gian Banach E thì G ª … m œ Õ Gm là một tập trù mật trong E Lúc đó nếu E là một không gian Banach {||Ti ||} i œ I không bò chặn trong — thì có một tập G trù mật... là một dạng Hermite dương trong một " x œ E không gian vectơ E Đặt || x || = f(x,x) Do đònh lý 3.1, (E,||.||) là một không gian đònh chuẩn Nếu (E,||.||) đầy đủ, ta gọi nó là một gth1 ng gian Hilbert và viết 92 khô thay cho f(x,y) Đònh nghóa 3.4 Cho x và y trong E Ta nói x thẳng góc với y nếu và chỉ nếu = 0 Lúc đó ta ký hiệu x ^ y Cho E là không gian các hàm số liên tục từ [0,1] vào — Với... là một không gian Banach gth1 V = T-1({0}) = {x œ E : T(x) = 0 } zx Ta đặt L(E , F) là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ một không gian đònh chuẩn E vào một không gian đònh chuẩn F || T|| = sup || T ( x ) ||F || x ||E 1 Cho E và F là hai không gian đònh chuẩn trên F và T là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F Đặt 75 f C([0,1], — ) Chứng minh || T || = 1 || T || || T (x... Steinhaus) Cho E là một không gian Banach và F là một {T i } ing gian đònh chuẩn và { Ti} i œ I là khô I một họ các phần tử trong L(E,F) Đònh lý 2.4 ( Banach- Steinhaus) Cho E và F là hai không gian đònh chuẩn và { T i } i I là một họ các phần tử trong L(E,F) Thì hoặc ta có {||Ti ||} bò chặn trong — hoặc ta có một dãy tập mở trù mật {Gm} trong E sao cho {|Ti(x)|} i œ I không bò chặn với mọi x trong... E vào F nhưng T không liên tục từ (E, ||.||E) vào (E, ||.||F) M = ||T(e1 )|| F + ||T(e2 )|| F + + ||T(en )|| F Đặt || fn ||E = fn (t) = tn 1 0 t n dt " t œ [0,1], n œ Õ 1 n 1 || T( fn) ||F = || fn ||F = 1 gth1 71 Vậy dãy {fn} hội tụ về 0 trong E nhưng dãy {T( fn) } gth1 không hội tụ về T(0) = 0 trong F 72 1.3.6 Cho (E, || ||E ) là một không gian đònh chuẩn Cho V là một không gian vectơ con... N() Lúc đó Cho B là một tập con khác trống trong một không gian đònh chuẩn (E, ||.||) Cho a là một phần tử trong E E n-1 gth1 47 = « = B (x , rx ) xE B (x , rx ) x với rx = 1 " xœE vớigth1 x = 1 r " xœ« 48 Đònh nghóa Cho (E , ||.||) là một không gian đònh chuẩn và A là một tập con của E , ta nói Đònh nghóa Cho (E, ||.||) là một không gian đònh chuẩn (trên ) Cho x trong E và A là một tập... hiệu là xÿy hoặc và được gọi là tích vô hướng của x và y Cho E là không gian ¬n Với x =(x1,…, xn) ,y = (y1,…, yn) œ E đặt f(x,y) = x1 y1 x 2 y 2 x n y n Cho E là không gian và n số thực dương a1 , a2 , …, an Với mọi x =(x1,…, xn) ,y = (y1,…, yn) œ E đặt f(x,y) = a1x1y1 + a2x2y2 + + anxnyn —n Cho E là không gian ¬n và n số thực dương a1 , a2 , …, an Với mọi x =(x1,…, xn) ,y = (y1,…, . 2.3. Cho E là một không gian đònh chuẩn, F là một
không gian Banach. Lúc đó (L(E,F), ||.||) là một không gian
Banach.
gth1 76
Tìm hai không gian đònh chuẩn. œ }.
G
||||
x
x
Lúc đó (G,||.||
G
) là một không gian đònh chuẩn trên F . Ta gọi
không gian này là không gian đònh chuẩn thương E / V.
Xét ánh xạ T :
Ngày đăng: 16/02/2014, 15:20
Xem thêm: Tài liệu Không gian vecto doc