Đề thi HSG Toán L9 08-09

PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN HOÀI ÂN Lớp 9 THCS –năm 2008-2009 Môn:Toán Thời gian:120 phút (Không kể phát đề) Bài 1 (4 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 4 2 2 2 ) 4 5 ) 2 3 3 4 a x x b x xy y x y + − − + + − − Bài 2: (4 điểm) Giải phương trình và bất phương trình sau: 2 7 ) 1 2 3 ) 2 2 x a x x b x + = + − > + Bài 3: (4 điểm) Chứng minh rằng nếu a.b.c = a+b+c và 1 1 1 2 a b c + + = thì 2 2 2 1 1 1 2 a b c + + = Bài 4: (4 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 2 3 4 A x x= − + + Bài 5 (4 điểm) Cho tam giác ABC ,AB=1 ; µ µ 0 0 105 ; 60A B= = .Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE=1.Vẽ ED//AB ( )D AC∈ .Chứng minh rằng 2 2 1 1 4 3AD AC + = ĐÁP ÁN: Bài 1: 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 4 5 5 5 =x ( 5) ( 5) =(x 5)( 1) =(x 5)( 1)( 1) a x x x x x x x x x x + − = + − − + − + + − + − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ) 2 3 3 4 3( ) 4 3 9 9 2. 4 2 4 4 3 5 2 2 3 5 3 5 2 2 2 2 1 4 b x xy y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y − + + − − = − + − − = − + − + − −     = − + −  ÷  ÷        = − + − − + +  ÷ ÷    = − − − + Bài 2: 2x+7 ) ¶i ph¬ng tr×nh 1 (1) 2 2x+7 0 3,5 §K: 2( ) x+2>0 2 2x+7 2 7 (1) 1 1 2 7 2 5( ¹i) x+2 2 VËy Ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm x-3 b)Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh 2 x+2 x-3 7 2 0 x+2 2 a Gi x x x x x x x x lo x x x = + ≥ ≥ −   ⇔ ⇔ > − ∗   > −   + ⇔ = ⇔ = ⇔ + = + ⇔ = − + > − − ⇔ − > ⇔ > + 0 Ta lập bảng xét dấu: x -7 -2 -x-7 + 0 - - x+2 - - 0 + 7 2 x x − − + - 0 + - Dựa vào bảng xét dấu , ta có -7 <x <-2 là ngiệm của bất phương trình trên Bài 3:Chứng minh rằng nếu a.b.c = a+b+c và 1 1 1 2 a b c + + = thì 2 2 2 1 1 1 2 a b c + + = 2 2 1 1 4 Ëy (®pcm) 3 V AD AC + = Giải: Theo GT ta có: 1 1 1 2 a b c + + = 2 1 1 1 4 a b c   ⇔ + + =  ÷   2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 4 a b c ab ac cb   ⇔ + + + + + =  ÷   2 2 2 1 1 1 2 4 . . a b c a b c a b c + +   ⇔ + + + =  ÷   2 2 2 1 1 1 2.1 4 ( × a+b+c=a.b.c)V a b c ⇔ + + + = 2 2 2 1 1 1 2(®pcm) a b c ⇔ + + = Bài 4: Ta có 2 2 2 2 3 1 1 1 3 2. 4 2 4 4 4 1 1 1 1 1 2 2 A x x x x A x x   = − + + = − − + − −  ÷         = − − − = − − + ≤    ÷  ÷         Vậy GTLN của A là 1 Khi 1 1 0 2 2 x x− = ⇔ = Bài 5: 60 0 60 0 105 0 15 0 15 0 H K C F D E B A − Qua A kẻ đường thẳng // với BE cắt ED tại F,khi đó tứ giác ABÈ là hình thoi. µ µ 0 =1 vµ B 60AB AF F⇒ = = = . − µ µ · · 0 0 Ðt ABK vµ , ã: AB=AF=1;B 60 ; 15X AFD tac F BAK FAD∆ ∆ = = = = ( )ABK AFD g c g AK AD ⇒ ∆ = ∆ − − ⇒ = − Î AH ¹i H.XÐt tam gi¸c AKC vu«ng t¹i A, ®êng cao AHK BCt⊥ 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Ta cã: ( × AK=AD) AH v AK AC AD AC = + = + (*) − Xét tam giác ABE có AB=BE=1; µ 0 60B = ,suy ra tam giác ABE đều 3 3 3 .1 2 2 2 AH BE⇒ = = = Thay vào (*) ta được 2 2 2 2 1 1 1 1 4 3 3 2 AD AC AH + = = =    ÷  ÷   . PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN HOÀI ÂN Lớp 9 THCS –năm 2008-2009 Môn :Toán Thời gian:120 phút (Không kể phát đề) Bài 1 (4 điểm) Phân tích đa thức sau thành. AK=AD) AH v AK AC AD AC = + = + (*) − Xét tam giác ABE có AB=BE=1; µ 0 60B = ,suy ra tam giác ABE đều 3 3 3 .1 2 2 2 AH BE⇒ = = = Thay vào (*) ta được 2 2 2 2 1 1 1 1 4 3 3 2 AD AC AH + = =