http://ductam_tp.violet.vn/ Trêng THPT Ngun H ®Ị thi thư TỐT NGHIỆP lÇn 1 n¨m 2010 M«n: TO¸N ; Khèi: A,B (Thêi gian lµm bµi: 180 phót) Câu I: 1. Cho hàm số : 3 1 2 3 3 y x x= − + (1) a. Khảo sát sự biến thiên và cẽ đồ thò (C) của hàm số (1) b. Tìm trên đồ thò (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thò (C) vuông góc với đường thẳng : 1 2 3 3 y x= − + 2. Tính tích phân : 1 2 2 0 (1 )x x dx− − ∫ Câu II: 1. Giải phương trình : 1 4 ( 1)(4 ) 5x x x x+ + − + + − = 2. Giải hệ phương trình: 2 2 3 3 1 1 x y x y + = + = Câu III: 1. Giải phương trình : 3 3 3 1 cos3 cos sin 3 sin cos 4 4 x x x x x− = + 2. Cho tam giác ABC .Chứng minh rằng : 1 cos cos cos 8 A B C ≤ Câu IV: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(2a,0,0) ,B(2a,2a,0) , C(0,2a,0) ,D(0,0,2a) (a>0) 1. Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BD .Hãy tìm toạ độ giao điểm F của đường thẳng OE (trong đó O là gốc toạ độ ) với mặt phẳng (ACD). 2. Tính thể tích hình chóp D.OABC 3.Tìm toạ độ điểm 1 O đối xứng với điểm O qua đường thẳng BD. DAP AN Câu I: 1) a. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số: = − + 3 1 2 3 3 y x x (C) • TXĐ: D = R = − = − = ⇔ = = 2 ' 1 1 ' 0 1 " 2 y x x y x y x = ⇔ = ⇒ = ⇒ 2 " 0 0 3 y x y Điểm uốn 2 0, 3 • BBT: http://ductam_tp.violet.vn/ • Đồ thò: Cho = − =2, 0x y = = 4 2, 3 x y b. Tìm điểm trên (C) tại đó tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng = − + 1 2 3 3 y x (d) Gọi ∈ ⇒ 0 0 0 ( , ) ( )M x y C hệ số góc tiếp tuyến tại 0 M là: = − 2 0 0 '( ) 1f x x Tiếp tuyến tại 0 M vuông góc (d) ⇔ = − 0 1 '( ) d f x k ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ± = ⇒ = = − ⇒ = 2 2 0 0 0 0 0 0 0 1 3 4 2 4 2 3 2 0 x x x x y x y Vậy có 2 điểm M: − 0 ( 2,0)M và 1 4 (2, ) 3 M 2) = − − ∫ 1 2 2 0 (1 ) .I x x dx http://ductam_tp.violet.vn/ = + − − + = = + + − − + = + − − + = + − − + ∫ ∫ 1 2 4 2 3 0 1 4 3 2 0 1 5 3 4 2 0 1 1 1 11 1 1 5 2 3 30 (1 2 2 2 ) ( 2 2 1) 1 5 2 3 x x x x x dx x x x x dx x x x x x Câu II: 1) Giải + + − + + − =1 4 ( 1)( 4) 5x x x x đặt = + + −1 4t x x − ⇒ + − = 2 5 ( 1)( 4) 2 t x x Khi đó phương trình trở thành: − + = 2 5 5 2 t t = − ⇔ + − = ⇔ = 2 5( ) 2 15 0 3 t loại t t t Vậy: Phương trình ⇔ + + − =1 4 3x x − ≤ ≤ ⇔ + + − = − ≤ ≤ ⇔ + − = − ≤ ≤ ⇔ + − = − ≤ ≤ ⇔ = ∨ = ⇔ = ∨ = 1 4 5 2 ( 1)( 4) 9 1 4 ( 1)( 4) 2 1 4 ( 1)( 4) 4 1 4 0 3 0 3 x x x x x x x x x x x x x x 2) Giải : + = + = 2 2 3 3 1 1 x y x y đặt S = x+ y, P = xy. Khi đó hệ trở thành: 2 2 S - 2P =1 (1) S( S - 3P ) =1 (2) − ⇔ = 2 1 (1) 2 S P thế vào (2) ta được: − + = ⇔ − + = = ⇒ = ⇔ = − ⇒ = 3 2 3 2 0 ( 1) ( 2) 0 1 0 3 2 2 S S S S S P S P http://ductam_tp.violet.vn/ Khi đó x, y là nghiệm của phương trình: − + = − = ⇔ − + = ⇔ = ∨ = 2 2 2 0 0 3 2 0 (vô nghiệm ) 2 0 1 X SX P X X X X X X Vậy hệ có 2 nghiệm (0, 1) hay (1, 0) Câu III: 1) Giải phương trình: − = + 3 3 3 1 cos3 cos sin3 sin cos 4 4 x x x x x • Phương trình ⇔ − − − = + 2 2 3 1 cos3 cos (1 sin ) sin3 sin (1 cos ) cos 4 4 x x x x x x x 3 3 (cos3 cos sin3 sin ) sin cos (sin3 cos cos3 sin ) 1 cos 4 4 1 1 cos4 sin2 sin2 cos 4 2 4 1 1 cos4 cos4 2 ⇔ − + − = = + ⇔ + = + − ⇔ + x x x x x x x x x x x x x x x x x 3 3 3 cos12 0 12 1 cos 4 2 4 3 cos4 cos 4 4cos 4 3cos4 0 4 π π π ⇔ = ⇔ = + π ⇔ = + 2 24 12 = + ⇔ = ⇔ − = k x x k x x x x x x Đáp số: π π = + ∈ 24 12 ( ) k x k Z 2) Cho ∆ABC , Chứng minh 1 cosAcosBcosC (1) 8 ≤ Ta có: (1) ⇔ ≤ 8cosAcosBcosC - 1 0 ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ⇔ − + − − ≤ ⇔ − − + ≥ ⇔ − − + − − ≥ 2 2 2 2 4 cos(A+B) + cos(A-B) cos 1 0 4 -cosC + cos(A-B) cosC -1 0 4cos 4cos( )cos 1 0 4cos 4cos( )cos 1 0 2cos cos( ) 1 cos ( ) 0 C x A B C x A B C C A B A B ⇔ − − + − ≥ 2 2 2cos cos( ) sin ( ) 0C A B A B Luôn đúng. Vậy (1) đã được chứng minh. Câu IV: A (2a, 0, 0), C (0, 2a, 0), D (0, 0, 2a), B (2a, 2a, 0) ( với a > 0) E là trung điểm BD. 1) Tìm giao điểm F của OE với (ACD) http://ductam_tp.violet.vn/ Cách 1: E là trung điểm BD. ⇒ E (a, a, a) ⇒ Phương trình đường thẳng OE: ∈ x = t y = t (t R) z = t Ta lại có phương trình mặt phẳng (ACD) : + + = ⇔ + + − = = = = ⇒ ⇒ = = + + − = = 1 2 0 2 2 2 2 3 2 : 3 2 2 0 3 x y z x y z a a a a a x x t y t a F y z t a x y z a z ⇒ 2 2 2 , , 3 3 3 a a a F Cách 2: Gọi I là giao điểm 2 đường chéo hình vuông OABC. Trong mặt phẳng (OBD) ta có OE cắt DI tại F. Lại có ⊂ ( )DI ACD nên F chính là giao điểm của OE với mặt phẳng (ACD). Trong tam giác OBD ta có DI và OE là 2 đường trung tuyến nên F là trọng tâm tam giác OBD. Suy ra 2 2 2 , , 3 3 3 a a a F 2) Tính .D OABC V Ta có: = = 2 2 0 (2 ) 4 ABC S a a ⇒ = = = 2 2 0 1 1 8 . 4 .2 ( ) 3 3 3 ABC a V S OD a a đvtt 3) Tìm O’ đối xứng O qua BD. Ta có: = − uuuur (2 ,2 , 2 )BD a a a cùng phương = − ur (1,1, 1)a http://ductam_tp.violet.vn/ Suy ra phương trình BD: = = ∈ = − ( ) 2 x t y t t R z a t Gọi α ( ) là mặt phẳng qua O và vuông góc BD. ⇒ Phương trình α + − =( ): 0x y z Gọi H là hình chiếu vuông góc O xuống BD. α ⇒ = ∩ ( )H BD = = = ⇒ ⇒ = ⇒ = − + − = = 2 3 2 2 2 2 : , , 2 3 3 3 3 2 0 3 a x x t y t a a a a H y H z a t a x y z z Ta cóù H là trung điểm OO’: = − = ⇒ = − = = − = ⇒ ' ' ' 4 2 3 4 2 3 8 2 3 4 4 8 ' , , 3 3 3 H OO H OO H O O a x x x a y y y a z z z a a a O