Xác định điểm cố định của đồ thị hàm số?. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số là một đường thẳng cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 1đơn vị diện tíchb. Cho hình vuôn
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2008-2009
Môn thi: Toán 9
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1:
Rút gọn các biểu thức sau:
2005.2007.2010.2011
Câu 2:
Cho hàm số: y mx – 3x + m + 1
a Xác định điểm cố định của đồ thị hàm số?
b Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số là một đường thẳng cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 1(đơn vị diện tích).
Câu 3
a Chứng minh bất đẳng thức: a2b2 c2 d2 (a c )2(b d )2 .
Áp dụng giải phương trình: x22x 5 x2 6x10 = 5
b Cho Q = 16
3
x x
Tìm giá trị nhỏ nhất của Q
Câu 4
Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M, trên tia đối của tia
BA lấy điểm N sao cho BN = BM Chứng minh: các đường thẳng AM, CN và đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD đồng quy tại một điểm.
Câu 5
Cho tam giác ABC có · 0
trước) Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và
Q ở trên cạnh BC được gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC.
Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất đó.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH CHƯƠNG
Ghi chú: Cán bộ coi không được giải thích gì thêm
Trang 2m+1 m-3 B
m+1
O
PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 9 - CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009
MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút)
chú
1 a A
A = (3 2 2)(3 2 2) 9 (2 2) 2 1
0.5 0.5
2.0 b
2005.2007.2010.2011
Đặt x = 2008, khi đó
x 3 x 1 x 2 x 3
x 2 x 3 x 3 x 1 x 1
x 3 x 1 x 2 x 3
0.25 0.25 0.5
2 a
y = (m – 3)x + (m + 1)
Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định của đồ thị hàm số, ta có:
y0 = mx0 – 3x0 + m+ 1 thỏa mãn với mọi giá trị của m
0.25 0.25
1.5
b
Ta có: Đồ thị là đường thẳng cắt hai trục tọa độ khi m – 3 0 m3
m m m
2
Nếu m> 3 m2 +2m +1 = 2m -6 m2 = -7 ( loại)
Nếu m < 3 m2 +2m +1 = 6 – 2m m2 + 4m – 5 =0
(m – 1)(m + +5) = 0 m = 1; m = -5
0.5
0.5
3 a Hai vế BĐT không âm nên bình phương hai vế ta có:
a2 + b2 +c2 + d2 +2 (a2 b c2)( 2d2) a2 +2ac + c2 + b2 + 2bd + d2
(a2b c2)( 2d2) ac + bd (1)
Nếu ac + bd < 0 thì BĐT được c/m
Nếu ac + bd 0 (1) ( a2 + b2 )(c2 + d2) a2c2 + b2d2 +2acbd
a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 a2c2 + b2d2 +2acbd
a2d2 + b2c2 – 2abcd 0 (ad – bc)2 0 ( luôn đúng)
b d
Áp dụng: xét vế trái VT = (x1)222 (3 x)212 (x 1 3 x)2(2 1) 2
0.5
0.5
0.25
1.5
Trang 3N
C D
M
1 6 2
b.
Điều kiện: x 0
x
x
25
3
x
3
x
0.75 0.25
1.0
4
Hình vẽ chính xác
Gọi H là giao của AM và CN Xét AMBvà CNB là hai tam giác vuông có:
AB = CB (Cạnh hình vuông)
BM = BN (gt)
BAM BCN
Xét trong AMBvà CMH có:
AMB CMH (đối đỉnh), kết hợp với (1)
CHM ABM 900hay ACH 900
Vậy AM, CN và đường tròn ngoại tiếp ABCD đồng quy tại H
0.2
0.5
0.5 0.3
1.5
5
Hình vẽ
Đặt AM = x (0 < x < c)
Ta có: MN = AM MN =ax
0 c - x 3
MQ = BM.sin60 =
Suy ra diện tích của MNPQ là:
+ Ta có bất đẳng thức:
2
Áp dụng, ta có:
2 2
Dấu đẳng thức xảy ra khi: x = c - x x = c
2
2
8 khi x = c
2 hay M là trung điểm của cạnh AB
0.2 0.2 0.3
0.3 0.25
0.5 0.25 0.5
2.5
A
P Q
0
60
x