Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân pps

DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN Biên soạn: Nguyễn Thị Thùy Trang I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ II. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN 1. Dạng 1. Chứng minh mệnh đề chứa biến đúng bằng PPQN. Ví dụ 1. Chứng minh rằng 2 2 2 5, *. n n u n n + = > + ∀ ∈¥ Giải * Với n = 1, ta có u 1 = 2 3 > 2.1 + 5. Vậy bài toán đung với n = 1. * Giả sử bài toán đúng với n = k, *k∀ ∈¥ , tức là 2 2 2 5, *. k k u k k + = > + ∀ ∈¥ Ta cần chứng minh bài toán đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 5 k k u k + + + = > + + . Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: ( ) ( ) 1 2 2 2 5 2 1 5 k k u u k k + = > + > + + . Suy ra bài toán đúng với n = k + 1. Vậy theo PPQN toán học ta có 2 2 2 5, *. n n u n n + = > + ∀ ∈¥ 2. Dạng 2. Xác định số hạng tổng quát của dãy số cho bằng công thức truy hồi. PP: B1. Từ công thức truy hồi, dự đoán công thức của u n . 1. Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh mệnh đề chứa biến nguyên dương A(n) là một mệnh đề đúng ( *n p p∀ ≥ ∈¥ cho trước) bằng phương pháp quy nạp, cần thực hiện hai bước sau: Bước 1 (bước cơ sở). Chứng minh A(n) là một mệnh đề đúng khi n = p. Bước 2 (bước quy nạp). Giả sử A(n) là một mệnh đề đúng khi n = k ( *,k k p∀ ∈ ≥¥ ), ta chứng minh mệnh đề cũng đúng khi n = k + 1. 2. Dãy số • Dãy số vô hạn: là một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương *¥ . • Dãy số hữu hạn: là một hàm số xác định trên tập hợp m số nguyên dương đầu tiên (m nguyên dương cho trước). • Dãy số tăng: (u n ) là dãy số tăng ⇔ 1 , 0 n n n u u + ∀ − > (hoặc 1 1 n n u u + > ). • Dãy số giảm: (u n ) là dãy số giảm ⇔ 1 , 0 n n n u u + ∀ − < (hoặc 1 1 n n u u + < ). • Dãy số không đổi: (u n ) là dãy số không đổi 1 , 0 n n n u u + ∀ − = . • Dãy số bị chặn trên: (u n ) là dãy số bị chặn trên nếu : , * n M u M n∃ ≤ ∀ ∈¥ . • Dãy số bị chặn dưới: (u n ) là dãy số bị chặn dưới nếu : , * n m u m n∃ ≥ ∀ ∈¥ . • Dãy số bị chặn: là dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới. 3. Cấp số cộng (u n ) (CSC (u n )) • ĐN: (u n ) là cấp số cộng 1 , n n n u u d + ⇔ ∀ = + (d là hằng số và được gọi là công sai). • TC: (u n ) là CSC ( ) 1 1 2 2 k k k u u u k − + + ⇒ = ≥ . • Số hạng TQ : ( ) 1 1 n u u n d= + − • Tổng n số hạng đầu tiên của CSC (u n )) : ( ) ( ) 1 1 2 1 hay 2 2 n n n n u n d n u u S S + −  +   = = 4. Cấp số nhân (u n ) (CSN (u n )) • ĐN: (u n ) là cấp số nhân 1 , . n n n u u d + ⇔ ∀ = (q là hằng số và được gọi là công bội). • TC: (u n ) là CSN ( ) 2 1 1 . 2 k k k u u u k − + ⇒ = ≥ . • Số hạng TQ : 1 1 n n u u q − = + • Tổng n số hạng đầu tiên của CSN (u n )) : ( ) 1 1 . 1 1 n n q S u q q − = ≠ − . Trang 1 DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN Biên soạn: Nguyễn Thị Thùy Trang B2. Chứng minh công thức đúng bằng phương pháp quy nạp. Ví dụ 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bằng công thức truy hồi: 1 1 3 1 2 , 1 2 n n u u u n + =    = + ≥   Giải Tính vài số hạng đầu của dãy: 1 2 1 3 2 2 4 3 3 1 3 7 1 3; 2 2 4 . 2 2 2 2 1 7 15 1 2 2 4 . 2 4 4 2 1 15 31 1 2 2 4 . 2 8 8 2 u u u u u u u = = + = + = = − = + = + = = − = + = + = = − Dự đoán 1 1 4 2 n n u − = − . Chứng minh bằng PPQN toán học (tự chứng minh). 3. Dạng 3. Xác định công thức truy hồi của dãy số. PP. B1. Tìm u 1 . B2. Tính u n+1 rồi tìm hiệu u n+1 – u n . Ví dụ 3. Cho dãy số (u n ) với ( ) 1 1 2 n n u n= + − . a) Viết năm số hạng đầu của dãy số. b) Tìm công thức truy hồi. Giải a) 1, 5, 17, 49, 149. b) Ta có, 1 1 1 2 n n u n + + = + Xét hiệu u n+1 – u n = 1 1 2 n n + + - ( ) 1 1 2 n n− − = ( ) 1 2 n n + Vậy công thức truy hồi của dãy số là ( ) 1 1 1 1 2 , 1 n n n u u u n n + =    = + − ≥   . 4. Dạng 4. Khảo sát tính đơn điệu và bị chặn của dãy số PP. Tùy theo bài toán ta có thể chọn cách xét hiệu 1 , n n n u u + ∀ − hay lập tỉ số 1n n u u + Ví dụ 4. Chứng minh dãy số ở ví dụ 3 là dãy tăng và bị chặn dưới. Giải Xét u n+1 – u n = ( ) 1 2 n n + > 0 *n∀ ∈¥ . Suy ra, dãy số đã cho là dãy tăng. Ta có ( ) ( ) 1 *, 1 1 2 1 1 1 .2 1 n n n u n∀ ∈ = + − ≥ + − =¥ . Suy ra, dãy số đã cho bị chặn dưới. Vậy dãy số đã cho là dãy tăng và bị chặn dưới. Ví dụ 5. Chứng minh các dãy số sau bị chặn a) ( ) 3 3 2 1 6 3 2 1 ) ) 2 2 1 1 n n n n n n n n u b u c u n n n n − + − + − = = = + + + giải a) Vì 3 2 6 3 2 3 (2 1) 2 0,n n n n n− + = − + > ∀ và 3 2n n+ > 0 nên 0, . n u n> ∀ Trang 2 DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN Biên soạn: Nguyễn Thị Thùy Trang Mặt khác 3 3 3 3 6 3 2 15 2 15 2 6 6 do 0 2 2 2 n n n n n u n n n n n n − + − −   = = − < >  ÷ + + +   Suy ra 0 < u n < 6. Vậy dãy số (u n ) bị chặn. b), c) tự giải. 5. Dạng 5. Chứng minh dãy số là một cấp số cộng. Xác định các số hạng của CSC, công sai d, tính tổng, PP. Dựa vào định nghĩa, tính chất, số hạng tổng quát và công thức tính tổng. Ví dụ 6. Cho dãy số (u n ) với u n = 9 – 5n. a) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số. b) Chứng minh dãy số (u n ) là một CSC. Chỉ rõ u 1 và d. c) Tính tổng 100 số hạng đầu. Giải a) 4, -1, -6, -11, -16. b) Xét hiệu u n+1 – u n = 9 – 5(n + 1) – 9 +5n = -5. Do đó, u n+1 = u n – 5, suy ra dãy số (u n ) là CSC với u 1 = 4, công sai d = -5. c) Áp dụng công thức ( ) 1 2 1 2 n n u n d S + −    = , ta có ( ) ( ) 1 100 100 2.4 100 1 5 24350 2 S + − −    = = − . Ví dụ 7. Chu vi của một đa giác là 158cm, số đo các cạnh của nó lập thành một CSC với công sai d = 3cm. Biết cạnh lớn nhất là 44cm, tính số cạnh của đa giác đó. Giải Gọi cạnh nhỏ nhất là u 1 và số cạnh của đa giác là n. Ta có 44 = u 1 + (n – 1).3 hay u 1 = 47 – 3n. Tổng các cạnh (tức chu vi đa giác) là 158, ta có ( ) 2 47 3 44 158 hay3 91 316 0 2 n n n n − + = − + = . Giải phương trình với *n ∈ ¥ ta được n = 4. 6. Dạng 6. Chứng minh dãy số là một cấp số nhân. Xác định các số hạng của CSN, công bội q, tính tổng, PP. Dựa vào định nghĩa, tính chất, số hạng tổng quát và công thức tính tổng. Ví dụ 8. Cho dãy số (u n ) với 2 1 2 n n u + = . a) Chứng minh dãy số (u n ) là một cấp số nhân. Nêu nhận xét về tính tăng, giảm của dãy số; b) Lập công thức truy hồi của dãy số; c) Hỏi số hạng 2048 là số hạng thứ mấy của dãy số này? d) Tính tổng mười số hạng đầu tiên của dãy số. Giải a) Lập tỉ số ( ) 2 1 1 1 2 1 2 4 2 n n n n u u + + + + = = , suy ra 1 4 n n u u + = ; hoặc biến đổi ( ) 2 1 1 2 1 1 2 4.2 4 n n n n u u + + + + = = = . Vì 1 4 1 n n u q u + = = > nên dãy số (u n ) là CSN. b) Cho n = 1, ta có u 1 = 8. Công thức truy hồi là: 1 1 8 4 , 1 n n u u u n + =   = ≥  . Trang 3 DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN Biên soạn: Nguyễn Thị Thùy Trang c) Ta có u n = 2048 = 2 11 = 2 2n+1 , suy ra 2n + 1 = 11, từ đó n = 5. Vậy 2048 là số hạng thứ năm. d) 10 10 1 4 4. 1 4 S − = − = Ví dụ 9. Một CSC và một CSN đều là các dãy tăng. Các số hạng thứ nhất đều bằng 3, các số hạng thứ hai bằng nhau. Tỉ số giữa các số hạng thứ ba của CSN và CSC là 9/5. Tìm hai cấp số ấy. Giải Theo giả thiết, nếu có CSC 3, u 2 , u 3 thì CSN là 3, u 2 , 3 9 5 u . Theo tính chất của CSC và CSN, ta có 2 3 3 2 2 1 3 9 và . 2 5 u u u u u + = = hay ( ) 2 2 3 3 3 3 3 3 27 5 78 45 0 3 2 5 u u u u u +   = ⇔ − + = >  ÷   . Giải phương trình ta có u 3 = 15. Vậy các cấp số cần tìm là: CSC: 3, 9, 15. CSN: 3, 9, 27. Ví dụ 10. Dãy số (u n ) được cho như sau: 1 2 1 1 2004, 2005 2 , 2 3 n n n u u u u u n − + = =    + = ≥   a) Lập dãy (v n ) với v n = u n+1 - u n . Chứng minh (v n ) là cấp số nhân; b) Tìm công thức tính u n theo n. Giải a) Từ hệ thức truy hồi ta có ( ) 1 1 1 1 1 1 3 2 3 1 3 n n n n n n n n n u u u u u u u v v + − + − − − = + ⇔ − = − − ⇔ = Vậy (v n ) là CSN với q = -1/3, v 1 = 1. b) Để tính u n ta viết ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3 2004 1. 2004 1 1 4 3 1 3 4019 3 1 . 4 4 3 n n n n n n n n n n u u u u u u u u v v v u − − − − − − − − = − + − + + − + = + + + +   − −  ÷       = + = + − −    ÷       − −   = − −  ÷   Trang 4 Đề kiểm tra chương III môn ĐS&GT 11NC Biên soạn: Nguyễn Thị Thùy Trang A. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (2 điểm) Trong mỗi câu 1, 2, 3, 4 sau đây hãy chọn phương án đúng trong các phương án đã cho: Câu 1. Cho dãy số (u n ) xác định bởi 1 1 2 2 . , 1 n n n u u u n + =   = ∀ ≥  Ta có u 5 bằng: A. 10 B. 1024 C. 2048 D. 4096. Câu 2. Nếu CSC (u n ) với công sai d có u 2 = 2 và u 50 = 74 thì A. u 1 = 0 và d = 2 B. u 1 = -1 và d = 3 C. u 1 = 0,5 và d = 1,5 D. u 1 = -0,5 và d = 2,5. Câu 3.Tổng 10 số hạng đầu tiên của CSN với u 1 = -3 và công bội q = -2 bằng: A. -511 B. -1025 C. 1025 D. 1023. Câu 4. Trong các dãy số sau đây, hãy chọn dãy số bị chặn: A. 2 1 n u n= + B. 1 n u n n = + C. 2 n n u = D. 1 n n u n = + B. TỰ LUẬN (8 điểm) Câu 5. Chứng minh rằng với *Ν∈n , ta có: 1154 −+ n n chia hết cho 9. Câu 6. Xét tính tăng, giảm của dãy số (u n ) biết: 1 2 n u n = − . Câu 7. Cấp số nhân (u n ) có    =+ =+ 102 51 62 51 uu uu a) Tìm số hạng đầu và công bội của CSN; b) Biết S n = 3069, tìm n. c) Số 12 288 là số hạng thứ mấy? Câu 8. Cho dãy số (u n ) với 1 2 1 1 1, 2 2 1, 2 n n n u u u u u n + − = =   = − + ∀ ≥  a) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số; b) Lập dãy số (v n ) với v n = u n+1 - u n . Chứng minh (v n ) là một CSC ; c) Tìm công thức tính u n theo n. Trang 5 . minh dãy số (u n ) là một cấp số nhân. Nêu nhận xét về tính tăng, giảm của dãy số; b) Lập công thức truy hồi của dãy số; c) Hỏi số hạng 2048 là số hạng thứ mấy của dãy số này? d) Tính tổng mười số. Cho dãy số (u n ) với u n = 9 – 5n. a) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số. b) Chứng minh dãy số (u n ) là một CSC. Chỉ rõ u 1 và d. c) Tính tổng 100 số hạng đầu. Giải a) 4, -1 , -6 , -1 1, -1 6. b). 1 n n u q u + = = > nên dãy số (u n ) là CSN. b) Cho n = 1, ta có u 1 = 8. Công thức truy hồi là: 1 1 8 4 , 1 n n u u u n + =   = ≥  . Trang 3 DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN Biên soạn: Nguyễn