Ôn Thi Học sinh giỏi Toán 9 Dạng 1: Rút gọn biểu thức, tính tổng, tính giá trị của biểu thức. 1. Toán quy luật: Bài 1: (Bài 104/99 Phân loại PP giải toán THCS, lớp 8, tập 1) Tính tổng: 100.99 1 4.3 1 3.2 1 2.1 1 ++++=S Bài 2: (Bài 105/100 Phân loại PP giải toán THCS, lớp 8, tập 1) Tính tổng: )10).(9( 1 )3).(2( 1 )2).(1( 1 )1( 1 1 ++ ++ ++ + ++ + + += xxxxxxxx S Bài 3: (Bài 85/83 Luyện tập đại số 8) Rút gọn các biểu thức sau: a) 9 1 7 1 5 1 3 1 1 1 1.9 1 3.7 1 5.5 1 7.3 1 9.1 1 ++++ ++++ =A b) 12 1 5 1 3 1 1 1).12( 1 3).32( 1 )52.(5 1 )32.(3 1 )12.(1 1 ++++ + ++ + + = n nnnnn B Bài 4: (Bài 1.90,1.91,ví dụ 31, 32/35,36,37 Toán nâng cao đại số 8) Tính các tổng: a) S = 1+ 2 + 3 + + n b) S = 1 2 + 2 2 + 3 2 + + n 2 c) S = 1 3 + 2 3 + 3 3 + + n 3 Bài 5: (Bài 2.31/53 - Toán nâng cao đại số 8) Cho n là số nguyên dơng, rút gọn các biểu thức: a) )12)(12( 1 7.5 1 5.3 1 3.1 1 + ++++= nn A b) )13)(23( 1 10.7 1 7.4 1 4.1 1 + ++++= nn B c) )2).(1.( 1 5.4.3 1 4.3.2 1 3.2.1 1 ++ ++++= nnn C Bài 6: (Bài 2.37/54 - Toán nâng cao đại số 8) Rút gọn biểu thức: 143 141 113 111 . 19 17 . 15 13 2 2 2 2 2 2 2 2 =A Bài 7: (Bài 21/15 Sách NC&PT Toán 9) a) Rút gọn biểu thức: 22 )1( 11 1 + ++= aa A với a > 0 b) Tính giá trị của tổng: 22222222 100 1 99 1 1 4 1 3 1 1 3 1 2 1 1 2 1 1 1 1 ++++++++++++=B Lời giải: a) 22 2222 22 2 )1( )1()1( )1( 11 1 + ++++ = + ++= aa aaaa aa A 22 224 22 222 )1( )1()1(2 )1( )1()112( + ++++ = + +++++ = aa aaaa aa aaaa = 2 2 22 22 )1( 1 )1( )1( + ++ = + ++ aa aa aa aa Do a > 0 nên A > 0 và A = )1( 1 2 + ++ aa aa b) Từ câu a suy ra: 22 )1( 11 1 + ++ aa = )1( 1 2 + ++ aa aa = )1( 1 1 + + aa 1 11 1 + += aa Do đó: +++ ++ ++ += 100 1 99 1 1 4 1 3 1 1 3 1 2 1 1 2 1 1 1 1B 100 1 99 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 (99 +++++= 99,99 100 1 99 == Bài 8: (Ví dụ 11/16 - Sách NC&PT Toán 9) Tính giá trị của biểu thức: 25242425 1 4334 1 3223 1 2112 1 + ++ + + + + + =M Lời giải: Với mọi * Nn , ta có: )1( 1)1( )1()1( 1)1( 1)1( 1 22 + ++ = ++ ++ = +++ nn nnnn nnn nnnn nnnn 1 11 + = nn Do đó: M = 25 1 24 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 ++++ 5 4 5 1 1 == Bài 9: (Bài 28/17 - Sách NC&PT Toán 9) Rút gọn biểu thức: a) nn A + ++ + + + + + = 1 1 43 1 32 1 21 1 b) nn B = 1 1 43 1 32 1 21 1 Hớng dẫn: a) Trục căn thức ở mẫu 1 )1( 1 23 23 12 12 = ++ + = n nn nn A b) Đáp số: 4251 =+ Bài 10: ( Bài 11/11 Tuyển tập 250 bài toán BDHSGTC2, phần ĐS) Cho số: n = 1978(1979 9 + 1979 8 + + 1979 2 + 1980) +1 a) Rút gọn n b) Tìm chữ số hàng đơn vị của n Lời giải: a) n = (1979-1)( 1979 9 + 1979 8 + + 1979 2 + 1979 + 1) +1 = 1979 10 + 1979 9 + 1979 8 + + 1979 2 + 1979 1979 9 1979 8 - - 1979 2 1979 1 + 1 = 1979 10 Vậy n = 1979 10 b) Ta có: n = 1979 10 = (1979 2 ) 5 Vì 1979 2 có chữ số hàng đơn vị là 1 nên (1979 2 ) 5 cũng có chữ số hàng đơn vị là 1. Vậy n có chữ số hàng đơn vị là 1. Bài 11: (Bài 15/14 - Tuyển tập 250 bài toán BDHSGTC2, phần ĐS) Rút gọn biểu thức: A = 75(4 1993 + 4 1992 + + 4 2 + 5) + 25 Lời giải: A = 25(4 1)( 4 1993 + 4 1992 + + 4 2 + 4 + 1) + 25 Vận dụng hằng đẳng thức: a a b n = (a b)(a n-1 + a n-2 b + a n-3 b 2 + + ab n-2 +b n-1 ) ta có: A = 25.(4 1993 1) + 25 = 25. 4 1994 Bài 12: (Bài 30/25 - Tuyển tập 250 bài toán BDHSGTC2, phần ĐS) Tính tổng: S = 1 3 + 5 3 + 9 3 + + (4n + 1) 3 Bài 13: (Đề 47, Bài 1.2/50 Tuyển tập đề thi môn toán THCS) Rút gọn biểu thức: 20052001 1 139 1 95 1 51 1 + ++ + + + + + =P . 197 9 + 1) +1 = 197 9 10 + 197 9 9 + 197 9 8 + + 197 9 2 + 197 9 197 9 9 197 9 8 - - 197 9 2 197 9 1 + 1 = 197 9 10 Vậy n = 197 9 10 b) Ta có: n = 197 9 10 = ( 197 9 2 ) 5 Vì 197 9 2 có chữ số. toán BDHSGTC2, phần ĐS) Cho số: n = 197 8( 197 9 9 + 197 9 8 + + 197 9 2 + 198 0) +1 a) Rút gọn n b) Tìm chữ số hàng đơn vị của n Lời giải: a) n = ( 197 9-1)( 197 9 9 + 197 9 8 + + 197 9 2 + 197 9. +++ ++ ++ += 100 1 99 1 1 4 1 3 1 1 3 1 2 1 1 2 1 1 1 1B 100 1 99 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 (99 +++++= 99 ,99 100 1 99 == Bài 8: (Ví dụ 11/16 - Sách NC&PT Toán 9) Tính giá trị của biểu