ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 11 NĂM HỌC 2009 – 2010 MÔN TOÁN - KHỐI A, B, D Câu Nội dung Điểm I ĐK: 6.x ≥ ( ) ( ) 2 2 2 2 7 1 3 18 2 7 7 1 5 11 2 3 18 2 7 6 15 126 6 6 15 126 12 36 5 27 162 0 9 18 5 bpt x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ + ≤ − + + ⇔ + ≤ − + − + ⇔ − − ≥ + ⇔ − − ≥ + + ⇔ − − ≥ ≥ ⇔ ≤ − Kết hợp với điều kiện được: 9.x ≥ 0,25 0,25 0,25 0,25 II 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 9 os2 3sin 2 5 2 sin 3 4 os2 3sin 2 5 2 sin 3 4 os sin 3 1 sin 2 5 sin cos 0 cos sin cos sin 3 cos sin 5 cos sin 0 cos sin cos sin 3cos 3sin 5 0 cos sin 4sin 2cos 5 c x x x c x x x c x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x π π − + + = ÷ ⇔ − + + = ÷ ⇔ − − + + + = ⇔ − + − + + + = ⇔ + − − − + = ⇔ + − − + = ( ) 0 cos sin 0 4 4sin 2cos 5 x x x k x x VN π π + = ⇔ = − + ⇔ + = Vậy pt có nghiệm : . 4 x k π π = − + 0,25 0,25 0,25 0,25 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 2 4sin 4sin 3sin 2 6cos 0 4sin 1 sin 6sin cos 6cos 0 4sin 1 sin 6cos 1 sin 0 1 sin 4sin 6cos 0 1 sin 0 1 4sin 6cos 0 2 1 sin 1 2 . 2 2 4 os 6cos 4 0 cos 2 loai 1 2 cos 2 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x k c x x x x x π π π + + + = ⇔ + + + = ⇔ + + + = ⇔ + + = + = ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = − + ⇔ − − = = ⇔ = − ⇔ = ± 2k π + Vậy pt có nghiệm: 2 2 2 2 3 2 2 3 x k x k x k π π π π π π = − + = − + = + 0,25 0,25 0,25 0,25 III ĐK: 0, 0x y≠ ≠ hệ pt 2 2 2 2 2 2 ( )( 3 ) 0 3 2 (1) 3 2 3 2 (2) x y x y xy x y y xy x xy x − + + = = + ⇔ ⇔ = + = + TH1: 2 2 3 2 1 1 3 2 3 2 0 x y x y x y xy x x x = = = ⇔ ⇔ = = + − − = TH2: 2 2 3 0 3 2 xy x y xy x + + = = + hệ này vô nghiệm vì từ (1) và (2) suy ra x > 0 và y > 0. Vậy hệ pt có nghiệm x = y = 1. 0,25 0,5 0,25 IV ( ) 3 3 1 1 1 1 1 1 2 6 3 5 2 6 2 3 5 2 lim lim lim 1 1 1 2 6 2 2 2 2 1 lim lim lim 1 2 2 6 2 ( 1) 2 6 2 x x x x x x x x x x x x x x x I x x x x →− →− →− →− →− →− + + − + − − + = + + + + + − + = = = = + + + + + + ( ) 3 2 1 1 1 3 2 33 3 3 5 2 3 3 3 1 lim lim lim 1 4 (3 5) 2 3 5 4 ( 1) (3 5) 2 3 5 4 x x x x x J x x x x x x →− →− →− − + + = = = = + − − − + + − − − + Vậy 3 1 2 6 3 5 3 lim 1 4 x x x I J x →− + + − = + = + 0,25 0,25 0,25 0,25 V H N M P O D B C A S E Gọi P là trung điểm của SA, O AC BD = ∩ . Ta có: MP // AD và 1 // 2 MP AD MP NC= ⇒ và MP = NC Suy ra MNCP là h.b.h // (1)CP MN⇒ Mặt khác: ( ) (2) BD AC BD SAC BD CP BD SO ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ Từ (1) và (2) suy ra BD MN⊥ Theo chứng minh trên: // //( )MN CP MN SAC⇒ Suy ra ( , ) ( ,( )) ( ,( ))d MN AC d MN SAC d N SAC= = Gọi H là hình chiếu của N trên AC. Vì ( ) ( )SAC ABCD⊥ ( vì có ( )SO ABCD⊥ ) nên ( )NH SAC⊥ và 1 1 2 2 4 4 a NH BO BD= = = 2 ( ,( )) 4 a d N SAC⇒ = Vậy 2 ( , ) 4 a d MN AC = 0,25 0,25 0,25 0,25 VI Vì [ ] , , 1;2x y z ∈ nên 2 2 .x y x y z z+ ≥ ⇒ + + ≥ + Tương tự: 2x y z y+ + ≥ + và 2 .x y z z+ + ≥ + Suy ra: 2. x y y z z x P x y z x y z x y z + + + ≥ + + = + + + + + + Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1 nên minP = 2. 2 2 2 2 2 2 3 x y z y z x P z x y z x y x y z y z x x z y x z y y z z x x y = + + + + + + + + + + + ≤ + + + + + = + + + + + + Dấu “=” xảy ra khi x = y = z =2 nên maxP = 3. 0,25 0,25 0,25 0,25 VIIa Đường thẳng BC qua B(2; -7) và vuông góc với AH nên BC có vectơ pháp tuyến ( ) 1; 3 BC n = − uuur Phương trình đường thẳng BC là: x – 3y -23 = 0. C BC CM= ⇒I toạ độ C là nghiệm hệ phương trình: ( ) 3 23 0 5; 6 2 7 0 x y C x y − − = ⇒ − + + = Giả sử A(a; b). Vì A thuộc AH nên 3a + b + 11 = 0 (1) Vì M là trung điểm của AB nên 2 7 ; 2 2 a b M + − ÷ . Vì M thuộc CM nên: 2 7 2 7 0 2 2 a b+ − + + = ( ) 2 2 0 2a b⇔ + + = Từ (1) và (2) có: ( ) 3 11 0 4 4;1 . 2 2 0 1 a b a A a b b + + = = − ⇔ ⇒ − + + = = Vậy phương trình AB là: 4x + 3y + 13 = 0. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 VIIIa Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 2 3 4 10 0 1 2 2 3 3 4 4 10 10 10 10 10 10 10 10 1 1 1 1 1 1 1 .x x C C x x C x x C x x C x x C x x+ + = + + + + + + + + + + + Ta thấy x 3 chỉ có trong các số hạng: - Số hạng thứ 3: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 4 10 10 1 2 .C x x C x x x+ = + + - Số hạng thứ 4: ( ) ( ) 3 3 3 3 3 4 5 6 10 10 1 3 3 .C x x C x x x x+ = + + + Số hạng chứa x 3 là: 2 3 3 3 3 10 10 2 210 .C x C x x+ = 0,5 0,5 0.5 VIIb Ta có: ( ) ( ) ( ) 1;0 , 1; 2 , 4; 4 .M N AC− − = − uuur Pt đường thẳng AC là: x + y - 2 = 0 Giả sử H(x; y). Ta có: ( ) ( ) ( ) 4 2 4 2 0 1 1;1 . 1 2 0 x y x BH AC H y x y H AC + − + = = ⊥ ⇔ ⇔ ⇒ = + − = ∈ uuur uuur Giả sử phương trình đường tròn cần tìm là: x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0. Vì đường tròn qua M, N, H nên ta có: 1 2 2 1 1 2 4 5 . 2 2 2 2 2 a a c a b c b a b c c = − − = − + = − ⇔ = + + = − = − Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: x 2 + y 2 – x + y – 2 = 0. 0,25 0,5 0,5 0,25 VIII b Ta có: 10 10 10 10 10 10 10 0 0 10 10 1 2 1 2 1 2 3 3 3 3 3 1 2 , 0,1, ,10. 3 k k k k k k k k k k k x x C C x a C k − = = + = = ÷ ÷ ÷ ⇒ = = ∑ ∑ Ta có a k đạt max 1 1 1 10 10 1 1 1 10 10 2 2 2 2 k k k k k k k k k k k k a a C C a a C C + + + − − − ≥ ≥ ⇒ ⇔ ≥ ≥ 0,5 0,25 1 2 19 22 10 1 7. 2 1 3 3 11 k k k k k k ≥ − + ⇔ ⇔ ≤ ≤ ⇒ = ≥ − Vậy số hạng lớn nhất là: 7 7 7 10 10 1 2 . 3 a C= 0,5 0,25 . ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 11 NĂM HỌC 2009 – 2010 MÔN TOÁN - KHỐI A, B, D Câu Nội dung Điểm I ĐK: 6.x ≥ ( ) ( ) 2 2 2 2 7 1 3 18 2 7 7 1 5 11 2 3 18 2 7 6 15 126 6 6 15 126 12 36 5