Năm học 1999-2000 Bài 1 (3 điểm): Tìm phân số lớn hơn 17 4 , nhỏ hơn 17 6 và có mẫu số bằng 20. Bài 2 (5 điểm): Tìm các cặp số tự nhiên thảo mãn: Tổng của chúng bằng 240 và ớc chung lớn nhất của chúng bằng 12. Bài 3 (4 điểm): Một ngời đã cắt từ một sợi dây dài 3 2 mét lấy một đoạn dây dài 25 cm mà không phải dùng thớc để đo. Hỏi ngời đó đã làm nh thế nào. Bài 4 (4 điểm): Cho dãy số m+1, m+2, , m+10, với m là số tự nhiên. Hãy tìm tất cả các số tự nhiên m để dãy số trên chứa nhiều số nguyên tố nhất. Bài 5 (4 điểm): Hội khoẻ Phù Đổng tỉnh Hà Nam lần thứ nhất có 495 vận động viên là học sinh trong toàn tỉnh về tham gia thi đấu các môn thể thao. Chứng minh rằng ít nhất có 2 vận động viên có số ngời quen nh nhau. (Ngời A quen ng- ời B thì ngời B cũng quen ngời A). 4 Hớng dẫn chấm thi Bài 1: Gọi phân số phải tìm là 20 a , a là số tự nhiên 17 4 < 20 a < 17 6 80 < 17a < 120 5 < a < 7 => a = 6 Bài 2: Gọi số phải tìm là a, b. Giả sử a b ƯCLN (a,b) = 12 ta có a = 12a 1 và b = 12b 1 Trong đó ƯCLN (a 1 ,b 1 ) = 1 Ta có: a + b = 240 = 12 (a 1 + b 1 ) a 1 + b 1 = 20 Kết hợp với ƯCLN (a 1 ,b 1 ) = 1 ta có: a 1 1 3 7 9 b 1 19 17 13 11 Thay vào ta tính đợc: a 12 36 84 108 b 228 204 156 132 Kết luận: Bài 3: - Nhận xét đợc: 6 1 2 1 3 2 = Mà 3 2 4 1 6 1 = - Nhận xét đợc: 2 1 2 1 4 1 = - Nhận xét đợc 2 1 chính là phép chia dôi sợi dây. - Nhận xét đợc 25 cm chính là 0,25 m = 4 1 sợi dây. - Kết luận. Bài 4: + m = 0 ta có dãy số: 1; 2; 3; 4; ; 10. Trong dãy này có 4 số nguyên tố. + m = 1 ta có dãy số: 2; 3; 4; ; 11. Trong dãy này có 5 số nguyên tố. + m = 2 ta có dãy số: 3; 4; 5; ; 12. Trong dãy này có 4 số nguyên tố. + m 3 trong dãy luôn chứa 5 số lẻ liên tiếp, các số lẻ này đều lớn hơn 3 nên phải có 1 số lẻ là bội của 3 do đó nó không là số nguyên tố. Vậy m 3 thì trong dãy có ít hơn 5 số nguyên tố. Do đó m = 1là số phải tìm. Khi đó ta có 5 số nguyên tố. Bài 5: Giả sử có 1 ngời không quen ai trong số 495 vận động viên. Nh vậy 494 ngời còn lại có nhiều nhất là 493 ngời quen. 5 Ta chia thµnh nhãm sè ngêi quen: Nhãm 0 ngêi quen gåm nh÷ng ngêi cã sè ngêi quen b»ng 0 Nhãm 1 ngêi quen gåm nh÷ng ngêi cã sè ngêi quen b»ng 1 Nhãm 493 ngêi quen gåm nh÷ng ngêi cã sè ngêi quen b»ng 493 Nh vËy ta cã 494 nhãm (tõ 0 ®Õn 493) . Mµ cã 495 ngêi. VËy theo nguyªn t¾c Dirichlet Ýt nhÊt cã 1 nhãm ngêi quen gåm 2 hay Ýt nhÊt cã 2 ngêi cã sè ngêi quen gièng nhau. Gi¶ sö cã 1 ngêi quen tÊt c¶ nh÷ng ngêi cßn l¹i. Nh vËy 494 ngêi cßn l¹i cã nhiÒu nhÊt lµ 494 ngêi quen. Chia nhãm ngêi quen: Cã 494 nhãm ngêi quen (tõ 1 ®Õn 494). KÕt luËn. 6 . 1 ta có: a 1 1 3 7 9 b 1 19 17 13 11 Thay vào ta tính đợc: a 12 36 84 108 b 228 204 1 56 132 Kết luận: Bài 3: - Nhận xét đợc: 6 1 2 1 3 2 = Mà 3 2 4 1 6 1 = - Nhận xét đợc: 2 1 2 1 4 1 = -. phân số phải tìm là 20 a , a là số tự nhiên 17 4 < 20 a < 17 6 80 < 17a < 120 5 < a < 7 => a = 6 Bài 2: Gọi số phải tìm là a, b. Giả sử a b ƯCLN (a,b) = 12 ta có. tỉnh về tham gia thi đấu các môn thể thao. Chứng minh rằng ít nhất có 2 vận động viên có số ngời quen nh nhau. (Ngời A quen ng- ời B thì ngời B cũng quen ngời A). 4 Hớng dẫn chấm thi Bài 1: Gọi