Bài ôn tập tổng hợp số 1 Cho hàm số: y = ( ) ( ) mx mmxm + 422 2 (H m ) Phần 1: Trong phần này cho m = 1 (H 1 ): y = x 3 x 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (H 1 ) a. TXĐ: D = R\{1} b. Chiều biến thiên: Tiệm cận: x 1 x 1 x 3 lim x 1 x 3 lim x 1 + = = + x = 1 là tiệm cận đứng x x 3 lim 1 x 1 = y = -1 là tiệm cận ngang Bảng biến thiên: y = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x 1 x 3 2 x 1 x 1 = > 0 x 1 Khoảng nghịch biến: (-; 1) và (1; +) Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận I(1; -1) làm tâm đối xứng Đồ thị (H 1 ) đi qua những điểm nào có toạ độ nguyên? y = x 3 x 1 = -1 - 4 x 1 Gọi M(x 0 ; y 0 ) là điểm thuộc (H 1 ) có toạ độ là các số nguyên y 0 = -1 - 0 4 x 1 Để x 0 ; y 0 Z 4 M (x 0 - 1) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x 1 1 x 2 y 5 x 1 1 x 0 y 3 x 1 2 x 3 y 3 x 1 2 x 1 y 1 x 1 4 x 5 y 2 x 1 4 x 3 y 0 = = = = = = = = = = = = = = = = = = . Vậy các điểm có toạ độ nguyên là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 5 6 M 2; 5 M 0;3 M 3; 3 M 1;1 M 5; 2 M 3;0 Bằng đồ thị, biện luận theo a số nghiệm phơng trình: aaxx =+ 3 (1) LG: (1) x 3 a x 1 = số nghiệm của (1) bằng số giao điểm x - 1 + y + + y -1 + - -1 x y O 1 2 3 4-1-2 -3 3 -2 -5 c. Vẽ: x-3-10235y013-5-3 -2 -3 -1 x y O 1 2 3 4-1-2 -3 -3 1 d: y = a của đồ thị (C): y = x 3 x 1 và đờng thẳng d: y = a Cách vẽ đồ thị (C): y = x 3 x 1 = x 3 Nếu x -3 x 1 x 3 Nếu x > -3 x 1 - Giữ nguyên phần đồ thị của (H 1 ) ứng với x -3 - Lấy đối xứng phần còn lại qua Ox - Hợp của hai phần đồ thị trên là đồ thị của (C) Dựa vào đồ thị ta có: - Nếu: > = a 1 a 0 a 1 (C) cắt d tại 1 điểm (1) có 1 nghiệm - Nếu -1 < a < 0 (C) cắt d tại 2 điểm (1) có 2 nghiệm - Nếu 0 < a 1 (C) d = (1) vô nghiệm Tìm m để phơng trình sau có đúng 2 nghiệm x thoả mãn 0 x < ; m x x = + 1sin 3sin (1) Đặt sinx = t NX: Nếu t 1 t 0 > < thì không có x [0; ) Nếu t 1 t 0 = = thì có 1 nghiệm x [0; ) Nếu 0 < t < 1 thì có 2 nghiệm x [0; ) (1) t 3 t 1 = m (2) Dựa trên đồ thị ta thấy nếu m > 3 thì đờng thẳng y = m cắt đồ thị (H 1 ) tại 1 điểm có hoành độ (0; 1) (2) có 1 nghiệm (0; 1) (1) có 2 nghiệm [0; ) Chứng tỏ đờng thẳng d: y = -x + k luôn cắt (H 1 ) tại 2 điểm phân biệt A, B. Tìm k để đoạn AB ngắn nhất. Xét phơng trình hoành độ giao điểm: ( ) ( ) x 3 x k x 3 x 1 x k x 1 = + = + f(x) = x 2 - (k + 2)x + k - 3 = 0 (1) Do f(1) = -4 0 và = (k + 2) 2 - 4(k - 3) = k 2 + 16 > 0 k Nên (1) luôn có hai nghiệm phân biệt đờng thẳng d: y = -x + k luôn cắt (H 1 ) tại 2 điểm phân biệt A, B Khi đó theo định lí Viet ta có: A B A B x x k 2 x .x k 3 + = + = AB 2 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = + + + = = + 2 2 2 2 2 2 B A B A B A B A B A B A A B x x y y x x x k x k 2 x x 2 x x 4x .x = 2[(k + 2) 2 - 4(k - 3)] = 2(k 2 + 16) 32 AB 4 2 KL: Vậy với k = 0 thì AB ngắn nhất Tìm trên đồ thị (H 1 ) điểm có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận nhỏ nhất. gọi M(x 0 ; y 0 ) (H 1 ): 0 0 0 x 3 y x 1 = Tiệm cận đứng d 1 : x = 1 Tiệm cận ngang d 2 : y = -1 sin cos O ( ) ( ) 0 1 0 2 0 0 0 x 3 4 d M;d x 1 ; d M;d y 1 1 x 1 x 1 = = + = + = ( ) ( ) + = + = 1 2 0 0 0 0 4 4 d M;d d M;d x 1 2 x 1 . 4 x 1 x 1 Dấu = xảy ra 0 0 4 x 1 x 1 = (x 0 - 1) 2 = 4 0 0 0 0 x 1 y 1 x 3 y 3 = = = = KL: Vậy có 2 điểm: M 1 (-1; 1) M 2 (3; -3) thì tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận nhỏ nhất Chứng minh trên (H 1 ) có vô số cặp điểm tại đó 2 tiếp tuyến song song với nhau. y = ( ) 2 4 x 1 . Xét phơng trình: y(x 0 ) = k ( ) 2 0 4 k x 1 = (1) Ta thấy nếu k > 0 thì (1) có 2 nghiệm phân biệt với mỗi k > 0 có 2 điểm phân biệt có hoành độ là nghiệm của phơng trình (1) mà tiếp tuyến tại hai điểm đó song song với nhau đfcm Cho đờng thẳng (D): y = ax + b tiếp xúc với (H 1 ) và 2 tiệm cận lần lợt tại M và N. Gọi I là giao điểm của 2 tiệm cận. Chứng minh tiếp điểm là trung điểm đoạn thẳng MN và diện tích IMN không phụ thuộc a, b. Tìm a, b để khoảng cách từ I đến (D) lớn nhất. d 1 d 2 = I(1; -1) Gọi (D) là tiếp tuyến của (H 1 ) tại A(x 0 ; y 0 ) (D): ( ) ( ) 0 0 0 2 0 0 x 34 y x x x 1 x 1 = + - (D) d 1 = {M} x M = 1 ( ) ( ) 0 0 0 M 0 2 0 0 0 0 0 x 3 x 3 x 74 4 y 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 = + = + = 0 0 x 7 M 1; x 1 ữ - (D) d 2 = {N} y N = -1 ( ) ( ) 0 M 0 2 0 0 x 34 1 x x x 1 x 1 = + ( ) ( ) 0 M 0 2 0 0 x 34 x x 1 x 1 x 1 + = + ( ) ( ) M 0 2 0 0 4 x x 4 x 1 x 1 = x M = 2x 0 - 1 N(2x 0 - 1; -1) x N + x M = 1 + 2x 0 - 1 = 2x 0 A là trung điểm của MN đpcm IN = 0 0 2x 1 1 2 x 1 = IM = 0 0 0 x 7 8 1 x 1 x 1 + = S IMN = 1 IM.IN 8 2 = đfcm Gọi H là chân đờng cao hạ từ I lên (D) d(I; (D)) = IH Ta có: 2 2 2 1 1 1 IH IM IN = + IH 2 = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 IM .IN 16 16 16 64 IM IN 2 4.16 4 x 1 x 1 = = + + ( ) ( ) 2 2 0 2 max max 0 64 IH IH 16 4 x 1 x 1 = = ( ) 4 0 0 0 0 0 x 1 2 x 3 x 1 16 x 1 2 x 1 = = = = = . x 0 = 3 (D): y = x - 6 a = 1 và b = -6 . x 0 = -1 (D): y = x + 2 a = 1 và b = 2 Từ đồ thị (H 1 ) hãy suy ra đồ thị các hàm số sau đây: a) 1 3 + = x x y = x 3 x 3 Nếu 0 x 3 x 1 x 1 x 3 x 3 x 1 Nếu 0 x 1 x 1 = < x y O 1 2 3 4-1-2 -3 3 Cách vẽ: Giữ nguyên đồ thị (H 1 ) nằm bên trên Ox. Lấy đối xứng phần còn lại qua Ox. Hợp của hai phần đồ thị trên là đồ thị 1 3 + = x x y b) 1 3 + = x x y = x 3 Nếu x > 1 x 1 x 3 Nếu x < 1 x 1 Cách vẽ: Giữ nguyên đồ thị (H 1 ) ứng với x > 1. Lấy đối xứng phần còn lại qua Ox. Hợp của hai phần đồ thị trên là đồ thị 1 3 + = x x y c) x x y + = 1 3 = x 3 Nếu x > 0 x 1 x 3 Nếu x < 0 x 1 Cách vẽ: Giữ nguyên đồ thị (H 1 ) bên phải Oy. Lấy đối xứng đó qua Oy. Hợp của hai phần đồ thị trên là đồ thị x x y + = 1 3 Tìm tập hợp các điểm M(x, y) sao cho: -1-2 -3 x y O 1 2 3 4 -2 -5 -3 -1 1 x y O 1 2 3 4-1-2 -3 3 -2 -5 -3 -1 x y O 1 2 3 4-1-2 -3 -2 -5 -3 a) x x y + = 1 3 x 3 x 1 x 3 x 1 Nếu x 3 x 1 0 Cách vẽ: Giữ nguyên đồ thị (H 1 ) bên trên Ox. Lấy đối xứng đó qua Ox. Hợp của hai phần đồ thị trên là tập hợp các điểm M(x, y) trên mặt phẳng toạ độ sao cho: x x y + = 1 3 b) x x y + > 1 3 x 3 0 x 1 x 3 0 x 1 x 3 y x 1 x 3 y x 1 < > < Tập hợp các điểm M(x, y) không thuộc phần gạch trên mặt phẳng toạ độ là điểm cần tìm Phần II: Phần này m là tham số tuỳ ý. Xác định m để hàm số luôn luôn đồng biến. y = ( ) 2 4 0 x m > x m hàm số luôn đồng biến trên tong khoảng của tập xác định Chứng minh rằng (H m ) có tâm đối xứng. Tìm quỹ tích tâm đối xứng khi m thay đổi. Tiệm cận đứng d 1 : x = m Tiệm cận ngang d 2 : y = m - 2 d 1 d 2 = I(m; m - 2) Đổi hệ trục Oxy sang hệ trục IXY sao cho (IX // OX; IY // Oy) Công thức đổi trục: x X m y Y m 2 = + = + thay vào đồ thị Y + m + 2 = ( ) ( ) 2 m 2 X m m 2m 4 X m m + + + Y = ( ) 4 g X X = Ta thấy g(-X) = -g(X) hàm Y = g(X) là hàm số lẻ (H m ) nhận I làm tâm đối xứng CMR đồ thị (H m ) luôn tiếp xúc với 2 đờng thẳng cố định Nháp: y = ( ) 2 m 2 x m 2m 4 x m + y(x - m) = (m - 2)x - m 2 + 2m - 4 m 2 - m(y + x + 2) + xy + 2x + 4 = 0 = ( ) ( ) 2 2 2 x y 2 4 xy 2x 4 x y 2xy 4x 4y 12+ + + + = + + = (x - y) 2 - 4(x - y) - 12 = (x - y - 6)(x - y + 2) LG: Xét đờng thẳng d 1 : y = x - y - 6 = 0 y = x - 6 Xét hệ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 m 2 x m 2m 4 x 6 1 x m 4 1 2 x m + = = (1) x 2 - (2m + 4)x + m 2 + 4m + 4 = 0 (x - m - 2) 2 = 0 x = m + 2 ta thấy x = m + 2 luôn là nghiệm của (1) hệ (1); (2) luôn có nghiệm x = m + 2 Vậy d 1 luôn tx với d 1 CM tơng tự với d 2 : x - y + 2 = 0 đfcm Tìm điểm cố định mà mọi đồ thị (H m ) đều đi qua. Gọi M(x 0 ; y 0 ) là điểm cố định của (H m ) y 0 = ( ) 2 0 0 m 2 x m 2m 4 x m + m m 2 - m(y 0 + x 0 + 2) + x 0 y 0 + 2x 0 + 4 = 0 m 0 0 0 0 0 1 0 y x 2 0 x y 2x 4 0 = + + = + + = vô nghiệm (H m ) không có điểm cố định Tìm các điểm trên đờng thẳng x = 2 mà (H m ) không đi qua A d: x = 2 A(2; a) (H m ) không đi qua A a = ( ) 2 2 m 2 m 2m 4 2 m + vô nghiệm m 2 - 2ma = -m 2 + 4m - 8 vô nghiệm với m m 2 - 2(a + 2)m + 2a + 8 = 0 vô nghiệm với m = (a + 2) 2 - (2a + 8) < 0 a 2 2a - 4 < 0 1 5 a 1 5 < < + (*) KL: Vậy các điểm cần tìm là A(2; a) với a thoả mãn (*) Tìm trong mặt phẳng Oxy những điểm mà họ (H m ) không đi qua. Gọi M(x 0 ; y 0 ) là điểm mà (H m ) không đi qua y 0 = ( ) 2 0 0 m 2 x m 2m 4 x m + vô nghiệm với m m 2 - m(y 0 + x 0 + 2) + x 0 y 0 + 2x 0 + 4 = 0 vô nghiệm với m < 0 ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x y 6 x y 2 0 2 x y 6 x y 2 0 x y 6 0 + < < < + > < kết luận: Các điểm thuộc phần gạch là các điểm cần tìm Với giá trị nào của m thì tại giao điểm của (H m ) với trục Ox, tiếp tuyến của đồ thị song song với đờng thẳng y + 10 = x. Viếp phơng trình tiếp tuyến đó. (H m ) Ox = A 2 m 2m 4 ;0 m 2 + ữ tiếp tuyến tại A // đờng thẳng y + 10 = x y 2 m 2m 4 1 m 2 + = ữ 2 4 1 m 2m 4 m m 2 = + ữ ( ) 2 m 2 m 2 4 m 0 = = = KL: Với m 2 m 0 = = thì tại giao điểm của (H m ) với trục Ox, tiếp tuyến của đồ thị song song với đờng thẳng y + 10 = x. Khi đó phơng trình tiếp tuyến là: d 1 : y = x + 3 và d 2 : y = x + 2 x y O 1 -1 3 . đứng d 1 : x = 1 Tiệm cận ngang d 2 : y = -1 sin cos O ( ) ( ) 0 1 0 2 0 0 0 x 3 4 d M;d x 1 ; d M;d y 1 1 x 1 x 1 = = + = + = ( ) ( ) + = + = 1 2 0 0 0 0 4 4 d M;d d M;d x 1 2 x 1 4 y 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 = + = + = 0 0 x 7 M 1; x 1 ữ - (D) d 2 = {N} y N = -1 ( ) ( ) 0 M 0 2 0 0 x 34 1 x x x 1 x 1 = + ( ) ( ) 0 M 0 2 0 0 x 34 x x 1 x. y) sao cho: -1- 2 -3 x y O 1 2 3 4 -2 -5 -3 -1 1 x y O 1 2 3 4 -1- 2 -3 3 -2 -5 -3 -1 x y O 1 2 3 4 -1- 2 -3 -2 -5 -3 a) x x y + = 1 3 x 3 x 1 x 3 x 1 Nếu x 3 x 1 0 Cách