Dap an bai on tong hop do thi so 3.

Bài ôn tập tổng hợp số 3 Cho hàm số: y = x 3 + 3x 2 + mx + 1 (C m ) Phần I: Cho m = 0 (C 0 ): y = x 3 + 3x 2 + 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C 0 ) của hàm số. a) TXĐ: D = R b) Chiều biến thiên: Giới hạn: x x lim y ; lim y + = + = Bảng biến thiên: y = 3x 2 + 6x ; y = 0 x 0 y 1 x 2 y 5 = = = = x - -2 0 + y + - + y - 5 1 + Khoảng đồng biến: (-; -2) ; (0; +) Khoảng nghịch biến: (-2; 0) Điểm cực đại A(-2; 5) Điểm cực tiểu B(0; 1) điểm uốn: y = 6x + 6 ; y = 0 x = -1 y = 3 điểm uốn: I(-1; 3) Chứng minh (C 0 ) có một tâm đối xứng. Đổi hệ trục toạ độ Oxy sang hệ trục IXY sao cho I(-1; 3); IX // OX; IY // Oy Công thức đổi trục: x X 1 y Y 3 = = + thay vào (C 0 ) ta đợc: Y + 3 = (X - 1) 3 + 3(X - 1) 2 + 1 Y = X 3 - 3X = g(X) Ta thấy g(-X) = -g(X) hàm số Y = g(X) là hàm số lẻ (C 0 ) nhận I làm tâm đối xứng Biện luận theo tham số k (k 0) số nghiệm phơng trình: x 3 + 3x 2 + 1 = 2 k k 1 2 + (1) LG: Số nghiệm của phơng trình (1) bằng số giao điểm của (C 0 ) và đờng thẳng d: y = k k 1 2 + . Dựa vào đồ thị ta có: 2 2 2 2 k 2 2k 1 2k 5k 2 5 0 1 k k 0 k 2 2k 1 2k k 2 1 k 0 k k > + + > > < < + + < < d cắt (C 0 ) tại một điểm (1) có 1 nghiệm d: y = c. Vẽ: x-31y15 x y O 1-1-2-3 1 3 5 Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn I(-1; 3) làm tâm đối xứng 2 2 k 2 2k 1 5 1 k k 2 2k 1 1 k 0 k = + = = + = = d cắt (C 0 ) tại 2 điểm (1) có 2 nghiệm 2 2k 1 1 5 k + < < 1 k 2 2 < < d cắt (C 0 ) tại 3 điểm (1) có 3 nghiệm Viết phơng trình tiếp tuyến của (C 0 ) kẻ từ điểm (1; 5). Gọi là đờng thẳng qua A(1; 5) và có hệ số góc k : y = k(x - 1) + 5 là tiếp tuyến của (C 0 ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 x 3x 1 k x 1 5 1 3x 6x k 2 + + = + + = Thay (2) vào (1) ta đợc x 3 + 3x 2 + 1 = (3x 2 + 6x)(x - 1) + 5 2x 3 - 6x + 4 = 0 x 2 k 0 x 1 k 9 = = = = Kết luận: có 2 tiếp tuyến cần tìm là: 1 : y = 5 ; 2 : y = 9(x - 1) + 5 = 9x - 4 Tìm tất cả các đờng thẳng qua A(-1; 3) và cắt (C 0 ) tại 3 điểm phân biệt. Gọi là đờng thẳng qua A và có hệ số góc k : y = k(x + 1) + 3 cắt (C 0 ) tại 3 điểm phân biệt x 3 + 3x 2 + 1 = k(x + 1) + 3 có 3 nghiệm phân biệt x 3 + 3x 2 - 2 - k(x + 1) = 0 có 3 nghiệm phân biệt (x + 1)(x 2 + 2x - 2) - k(x + 1) = 0 có 3 nghiệm phân biệt (x + 1)(x 2 + 2x - 2 - k) = 0 có 3 nghiệm phân biệt ( ) ( ) 2 x 1 f x x 2x 2 k 0 2 = = + + = có 3 nghiệm phân biệt (2) có 2 nghiệm phân biệt x -1 ( ) 0 f 1 0 > 3 k 0 k 3 0 > k < 3 Kết luận: Các đờng thẳng qua A(-1; 3) và cắt (C 0 ) tại 3 điểm phân biệt có phơng trình dạng: y = k(x + 1) + 3 với k < 3 Tìm trên đờng thẳng y = 1 các điểm từ đó kẻ đến đồ thị 2 tiếp tuyến vuông góc. Dựa trên đồ thị ta thấy đờng thẳng y = 1 là tiếp tuyến của (C 0 ). Vậy tiếp tuyến còn lại phải có dạng x = a (Vô lý và đờng thẳng dạng này song song vói Oy nên không thể là tiếp tuyến của (C 0 )) Kết luận: Vậy không có điểm nào thoả mãn điều kiện đầu bài Phần II: Cho m = 3 (C 3 ): y = x 3 + 3x 2 + 3x + 1 x y 8 1 O -1 -1-2-3 -8 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C 3 ) của hàm số. a) TXĐ: D = R b) Chiều biến thiên: Giới hạn: x x lim y ; lim y + = + = Bảng biến thiên: y = 3x 2 + 6x + 3 0 x x - -1 + y + 0 + y - + điểm uốn: y = 6x - 6 y = 0 x = -1 y = 0 Điểm uốn I(-1; 0) c) Vẽ: x -3 -2 -1 0 1 y Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn I(-1; 0) làm tâm đối xứng Viết phơng trình tiếp tuyến của (C 3 ) biết tiếp tuyến song song với đờng phân giác góc phần t thứ nhất của hệ trục toạ độ. Đờng phân giác của góc phần t thứ nhất d: y = x Gọi là tiếp tuyến tại M(x 0 ; y 0 ) // d k = d f(x 0 ) = 1 2 0 0 3x 6x 3 0+ + = 2 0 0 3x 6x 2 0+ + = 0 0 0 0 3 3 3 x y 3 9 3 3 3 x y 3 9 + = = = = có 2 tiếp tuyến cần tìm là 1 : 3 3 3 y x 3 9 + = + ữ ữ 2 : 3 3 3 y x 3 9 + = ữ ữ Tìm diện tích hình phẳng D giới hạn bởi (C 3 ) và các hệ trục. Tìm thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi cho D quay quanh Ox?, D quay quanh Oy? S = ( ) 0 0 4 2 3 2 3 1 1 x 3x 1 x 3x 3x 1 dx x x 4 2 4 + + + = + + + = ữ (đvdt) ( ) ( ) ( ) 0 7 0 0 2 6 3 2 Ox 1 1 1 x 1 V x 3x 3x 1 dx x 1 dx 7 7 + = + + + = + = = (đvtt) y = (x + 1) 3 x = 3 y 1 ( ) 1 1 1 2 1 5 4 2 3 3 3 3 3 Oy 0 0 0 3 3 V y 1 dy y y 1 dy y y y 5 2 10 = = + = + = ữ ữ (đvtt) Phần III: Phần này m là tham số tuỳ ý. Nháp: y = x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = ( ) 3 x 1+ Chứng tỏ (C m ) luôn đi qua điểm cố định. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C m ) tại điểm cố định này. Tìm m để tiếp tuyến này qua O. Gọi M(x 0 ; y 0 ) là điểm cố định của (C m ) y 0 = 3 2 0 0 0 x 3x mx 1+ + + m 3 2 0 0 0 0 mx x 3x 1 y 0+ + + = m 0 0 3 2 0 0 0 0 x 0 x 0 y 1 x 3x 1 y 0 = = = + + = M(0; 1) là điểm cố định của (C m ) y= 3x 2 + 6x + m y(0) = m tiếp tuyến tại M là d: y = mx + 1 O d 0 = 1 vô lý d không đi qua O Tìm trên (P): y = 3x 2 - 2x + 4 các điểm mà mọi đồ thị (C m ) đều không đi qua. Gọi M(x 0 ; y 0 ) là điểm mà (C m ) không đi qua y 0 = 3 2 0 0 0 x 3x mx 1+ + + vô nghiệm với m 3 2 0 0 0 0 mx x 3x 1 y 0+ + + = vô nghiệm với m 0 0 3 2 0 0 0 0 x 0 x 0 y 1 x 3x 1 y 0 = = + + thay vào (P): y = 3x 2 - 2x + 4 ta đợc y = 4 Vậy điểm cần tìm là M(0; 4) Tìm m để hàm số đồng biến khi x 2. Hàm số đồng biến khi x 2 y 0 x 2 (dấu = chỉ xảy ra tại một số điểm hữu hạn) 3x 2 + 6x + m 0 x 2 m -3x 2 - 6x (1) x 2 Xét hàm số f(x) = -3x 2 - 6x ; f(x) = -6x - 6 f(x) = 0 x = -1 x - -1 2 - f 0 - f -24 - Vậy (1) đúng với x 2 m -24 Kết luận: Với m -24 thì hàm số đồng biến khi x 2 Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. Gọi x 1 , x 2 là điểm cực đại và cực tiểu của hàm số. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị. Tìm quỹ tích điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị. Tìm m để x 1 + 2x 2 = 1. LG: Hàm số có cực đại, cực tiểu y = 0 có 2 nghiệm phân biệt 3x 2 + 6x + m = 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt > 0 9 - 3m > 0 m < 3 (*) y = y x 1 2 m m 3 x 1 3 3 3 3 + + + ữ ữ Gọi A(x 0 ; y 0 ) là điểm cực trị y(x 0 ) = 0 y 0 = ( ) 0 0 0 0 x 1 2m m 2m m y' x 2 x 1 2 x 1 3 3 3 3 3 3 + + + = + ữ ữ ữ Vậy đờng thẳng qua cực đại, cực tiểu là d: y = 2m m 2 x 1 3 3 + ữ y = 0 3 9 3m x 3 = x - 3 9 3m 3 3 9 3m 3 + + y + 0 - 0 + y - + CĐ 3 9 3m x 1 3 = < CT 3 9 3m x 1 3 + = > x CĐ ; x CT là 2 ngiệm của (1) m = -3x 2 - 6x thay vào d ta đợc: y = ( ) 2 2 3 2 2 3x 6x 2 x 1 x 2x 2x 3x 1 3 + + + = + Kết luận: + Quỹ tích điểm cực đại là đờng cong có phơng trình y = 3 2 2x 3x 1= + ứng với x < -1 + Quỹ tích điểm cực tiểu là đờng cong có phơng trình y = 3 2 2x 3x 1= + ứng với x > -1 Theo viét: ( ) ( ) 1 2 1 2 x x 2 1 m x .x 2 3 + = = từ giả thiết ta có x 1 + 2x 2 = 1 (3) Giải hệ (1) (3) 1 2 x 5 x 3 = = thay vào (2) ta đợc m = 3.3.(-2) = -45 thoả mãn (1) Tìm m để (C m ) cắt Ox tại 3 điểm tạo thành một cấp số cộng. (C m ) cắt Ox tại 3 điểm lập thành cấp số cộng x 3 + 3x 2 + mx + 1 = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt thoả mãn: x 1 + x 3 = 2x 2 Giả sử (1) có 3 nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 ; x 3 x 3 + 3x 2 + mx + 1 = (x - x 1 )(x - x 2 )(x - x 3 ) x 3 + 3x 2 + mx + 1 = x 3 - (x 1 + x 2 + x 3 )x 2 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 )x - x 1 x 2 x 3 Đồng nhất thức hai vế x 1 + x 2 + x 3 = -3 x 2 = -1 thay vào (1) ta đợc: m = 3 thay vào (1) ta đợc x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = 0 x = -1 (loại) Kết luận: không có giá trị nào của m để (C m ) cắt Ox tại 3 điểm lập thành cấp số cộng Tìm m để (C m ) cắt đờng thẳng y = x tại 3 điểm L, M, N sao cho LM = MN. (C m ) cắt đờng thẳng y = x tại 3 điểm L, M, N sao cho LM = MN x 3 + 3x 2 + mx + 1 = x (1) có 3 nghiệm phân biệt thoả mãn: x 1 + x 3 = 2x 2 x 3 + 3x 2 + (m - 1)x + 1 = x (1) có 3 nghiệm phân biệt thoả mãn: x 1 + x 3 = 2x 2 Giả sử (1) có 3 nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 ; x 3 x 3 + 3x 2 + mx + 1 = (x - x 1 )(x - x 2 )(x - x 3 ) x 3 + 3x 2 + mx + 1 = x 3 - (x 1 + x 2 + x 3 )x 2 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 )x - x 1 x 2 x 3 Đồng nhất thức hai vế x 1 + x 2 + x 3 = -3 x 2 = -1 thay vào (1) ta đợc: m = 3 thay vào (1) ta đợc x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = 0 x = -1 (loại) Kết luận: không có giá trị m nào để (C m ) cắt đờng thẳng y = x tại 3 điểm L, M, N sao cho LM = MN Chứng tỏ (C m ) và (H): y = x 3 + 2x 2 + 7 luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB khi m thay đổi. Xét phơng trình hoành độ giao điểm: x 3 + 3x 2 + mx + 1 = x 3 + 2x 2 + 7 x 2 + mx - 6 = 0 (1) = m 2 + 24 > 0 m (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt (C m ) luôn cắt (H) tại 2 điểm phân biệt A, B. Khi đó theo định lí viét: A B A B x x m x .x 6 + = −   = −  x I = A B x x m 2 2 + = − (*) 3 2 3 2 A B A A B B I y y x 2x 7 x 2x 7 y 2 2 + + + + + + = = = ( ) ( ) ( ) 2 2 A B A B A B A B A B x x x x 3x x 2 x x 2x x 14 2     + + − + + − +     = ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 m m 18 2 m 12 14 m 2m 18m 38 3 2 2 − + + + + − + − + = (2) ⇒ m = -2x I thay vµo (3) ta ®îc: 3 2 3 2 I I I I I I I 8x 8x 36x 38 y 4x 4x 18x 19 2 + + + = = + + + KÕt luËn: Quü tÝch trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng AB khi m thay ®æi lµ ®êng cong cã ph¬ng tr×nh: y = 4x 3 + 4x 2 + 18x + 19  T×m m ®Ó (C m ) tiÕp xóc víi ®êng th¼ng y = 5x + m. (C m ) tx víi ®êng th¼ng y = 5x + m ⇔ ( ) ( ) 3 2 2 x 3x mx 1 5x m 1 3x 6x m 5 2  + + + = +   + + =   (2) ⇔ m = 2 3x 6x 5− − + thay vµo (1) ta ®îc: ( ) 3 2 2 2 x 3x 3x 6x 5 x 1 5x 3x 6x 5 + + − − + + = − − + ⇔ 3 2x 6x 4 0− + − = ⇔ x 2 m 5 x 1 m 4 = − ⇒ =   = ⇒ = −  KÕt luËn: víi m 5 m 4 =   = −  th× (C m ) tiÕp xóc víi ®êng th¼ng y = 5x + m.  BiÖn luËn theo m sè ®iÓm chung cña (C m ) vµ (d): y = 1. Trong trêng hîp (C m ) vµ (d) cã 3 ®iÓm chung E(0; 1), F vµ G, t×m m ®Ó tiÕp tuyÕn t¹i F vµ G vu«ng gãc. XÐt ph¬ng tr×nh hµnh ®é giao ®iÓm: x 3 + 3x 2 + mx + 1 = 1 (1) ⇔ x(x 2 + 3x + m) = 0 ⇔ ( ) ( ) 2 x 0 f x x 3x m 0 2 =   = + + =  f(0) = m ; ∆ = 9 - 4m ⊕ ∆ < 0 ⇔ 9 - 4m < 0 ⇔ m > 9 4 ⇒ (2) v« nghiÖm ⇒ (1) cã 1 nghiÖm x = 0 ⇒ (C m ) c¾t d t¹i 1 ®iÓm ⊕ ( ) 0 9 m 0 4 m 0 f 0 0 ∆ =   =   ∆ >  ⇔      = =     ⇒ (2) cã nghiÖm kÐp x 0 x=0 (2) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x=-3 ≠         ⇒ (1) cã 2 nghiÖm ⇒ (C m ) c¾t d t¹i 2 ®iÓm ⊕ ( ) 9 0 m 4 f 0 0 m 0  ∆ >  <   ⇔   ≠    ≠  ⇒ (2) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x ≠ 0 ⇒ (3) cã 3 nghiÖm ph©n biÖt (C m ) cắt d tại 3 điểm x F ; x G là 2 nghiệm của (1). Theo viét: F G F G x x 3 x .x m + = = tiếp tuyến tại F và G vuông góc với nhay y(x F ). y(x G ) = -1 ( ) ( ) 2 2 F F G G 3x 6x m 3x 6x m 1 + + + + = 3x F .x G = -1 9m = - 1 m = 1 9 thoả mãn điều kiện > 0 Kết luận: với m = - 1 9 thì tiếp tuyến tại F và G vuông góc Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm uốn. Chứng minh tiếp tuyến luôn qua O. Chứng minh tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất. y = 6x + 6 y = 0 x = -1 y = 3 - m điểm uốn I(-1; 3 - m) y(-1) = m - 3 tiếp tuyến tại điểm uốn d: y = (m - 3)(x + 1) + 3 - m = (m - 3)x ta thấy d luôn đi qua O với m x - -1 + y - 0 + y + + Dụa vào bảng biến thiên ta thấy y là nhỏ nhất tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất . 2 0 0 3x 6x 3 0+ + = 2 0 0 3x 6x 2 0+ + = 0 0 0 0 3 3 3 x y 3 9 3 3 3 x y 3 9 + = = = = có 2 tiếp tuyến cần tìm là 1 : 3 3 3 y x 3 9 + = + ữ ữ 2 : 3 3 3 y x 3 9 . x 1 2 x 1 3 3 3 3 3 3 + + + = + ữ ữ ữ Vậy đờng thẳng qua cực đại, cực tiểu là d: y = 2m m 2 x 1 3 3 + ữ y = 0 3 9 3m x 3 = x - 3 9 3m 3 3 9 3m 3 + + y. ) ( ) ( ) 0 7 0 0 2 6 3 2 Ox 1 1 1 x 1 V x 3x 3x 1 dx x 1 dx 7 7 + = + + + = + = = (đvtt) y = (x + 1) 3 x = 3 y 1 ( ) 1 1 1 2 1 5 4 2 3 3 3 3 3 Oy 0 0 0 3 3 V y 1 dy y y 1 dy y