Ngày soạn : Tiết : ξ 4. CÁC HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC I. Mục Tiêu 1. Về kiến thức : củng cố, khắc sâu kiến thức về : − Hiểu đònh lí cosin, đònh lí sin , công thức tính độ dài đường trung tuyến trong một tam giác . − Biết được một số công thức tính diện tích tam giác − Biết một số trường hợp giải tam giác . 2. Về kó năng : − Ad được đònh lí cosin, đònh lí sin , công thức về độ dài đường trung tuyến , các công thức để tính diện tích để giải một số bài toán có liên quan đến tam giác . − Biết giải tam giác trong một số trường hợp đơn giản . Biến vận dụng kiến thức giải tam giác vào các bài toán có nội dung thực tiển . Kết hợp với việc sử dụng máy tính bỏ túi khi giải toán . II. Chuẩn Bò 1. GV chuẩn bò : Các bảng biểu , bảng cuộn , thước kẻ . Chuẩn bò máy chiếu qua đầu overhead hoặc projecter . Chuẩn bò đề bài để phát cho học sinh . 2. Học sinh chuẩn bò SGK, kiến thức về tập hợp và xem trước phần ξ3 . Phân nhóm học tập ( mỗi nhóm 2 bàn ) . III) Kiểm tra bài cũ : . Hoạt động GV Hoạt động HS Nội dung HĐ1: Giúp HS nắm được các công thức tính diện tích tam giác . * Hãy viết các công thức tính diện tích tam giác theo một cạnh và đường cao tương ứng ? * Cho hs nêu các ct tính diện tích tam giác S = 1 2 a.h a = 1 2 b.h b = 1 2 c.h c 4) Công thức tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC có các cạnh BC=a, CA=b, AB=c. Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp,nội tiếp tam giác và a h , b h , c h là các đường cao của tam giác ABC lần lượt vẽ từ các đỉnh A,B,C . Diện tích S của tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau : (1) S = 1 2 ah a = 1 2 b.h b = 1 2 c.h c (2) S = 1 2 ab sin C = 1 2 bc sin A = 1 2 ca sin B; (3) S = 4 abc R ; (4) S = pr; (5) S = ( )( )( )p p a p b p c− − − (công thức Hê−rông) Hoạt động GV Hoạt động HS Nội dung * GV vẽ hình và hỏi : Xét ∆ AHC vuông tại H , ta có : a h =AH = ? * Cho các nhóm thảo luận để chm công thức (2) * Từ ct (1): S = 1 2 ab sin C làm sao chm ct (2) * Thế sinC vào ct (1) ta được gì ? * Cho các nhóm thảo luận để chm công thức (3) GV vẽ hình và hỏi: − Kh cách từ tâm O đến 3 cạnh thế nào ? − S bằng tổng diện tích 3 tam giác nào ? − S OBC = ? , S OCA = ? , S OAB = ? GV nêu ví dụ 1 và cho các nhóm giải trên bảng con * Để tính diện tích tam giác khi biết trước 3 cạnh ta ad công thức nào ? * Để tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp a h = AH=ACsin C = bsin C (kể cả ˆ C nhọn,tù hay vuông) Ad : sinC = 2 c R S = 4 abc R Đều bằng r OAB, OBC, OCA 1 2 ar , 1 2 br , 1 2 cr công thức Hê−rông Chứng minh * Ta đã biết S = 1 2 a a h với a h = AH=ACsin C = bsin C (kể cả ˆ C nhọn,tù hay vuông) Do đó S = 1 2 absin C Các công thức S = 1 2 ca sin B và S = 1 2 bc sin A được Chứng minh tương tự . b) Ta có ct S = 1 2 ab sin C theo đònh lí sin sinC = 2 c R ⇒ S = 4 abc R ( đpcm) c) Chứng minh công thức S = pr Ta có khoảng cách từ tâm O đến 3 cạnh bằng nhau Do đó : S = S OBC + S OCA + S OAB = 1 2 ar + 1 2 br + 1 2 cr = 1 2 ( a+b+c).r = 1 2 p.r Với p = 1 2 (a+b+c) d) Công thức Hê−rông có chứng minh trong SGK trang 60 Ví dụ 1. Tam giác ABC có các cạnh a = 5 m, b = 6 m và c = 7 m. a) Tính diện tích tam giác ABC ; b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC. GIẢI a) Ta có p = 1 2 (5 + 6 + 7) = 9. Theo công thức Hê−rông ta có : S = 9(9 5)(9 6)(9 7)− − − = 6 6 (m 2 ) b) Áp dụng công thức S = pr Hoạt động GV Hoạt động HS Nội dung ta ad công thức nào ? * Các nhóm đem gắn KQ lên bảng lớn GV cho các nhóm nhận xét , sửa chửa bổ sung và đánh giá các nhóm GV nêu ví dụ 2 Cho các nhóm thảo luận và ghi lời giải ra bảng con GV vẽ hình và hỏi : − Để tính c ta ad công thức nào? − Để tính góc A ta da công thức nào ? − Để tính diện tích ∆ ABC ad ct nào ? Cho các nhóm gắn lời giải lên bảng lớn Cho các nhóm nx , Gv chỉnh lí và đánh giá HĐ2: Giúp HS biết cách ad các hệ thức trong ∆ để giải tam giác . GV nêu ví dụ 1 Cho các nhóm thảo luận và ghi lời giải trên bảng con − Để tính µ B ta ad gì ? − Để tính b,c ta ad gì ? ⇒ a = ? , c = ? Hd thêm cách sử dụng S=p.r ⇒ r= S p S= 4 abc R ⇒ R= 4 abc S đònh lí côsin : 2 2 2 c a b = + −2abcos C đònh lí cosin cosA = S= 1 2 absinC µ A + µ B + µ C = 180 0 đònh lí sin ⇒ r = S p = 6 6 9 = 2 6 3 (m) Từ công thức S = 4 abc R . ⇒ R = 4 abc S = 5.6.7 4.6 6 = 35 4 6 (m). Ví dụ 2. Tam giác ABC có cạnh a =8 , b = 5 và ˆ C = 60 0 . Tính cạnh c, góc A và diện tích tam giác đó. GIẢI * Theo đònh lí côsin ta có 2 2 2 c a b= + − 2abcos C = 64 + 25 −2.8.5.cos60 0 = 49 ⇒ c = 7 * cosA = 2 2 2 2 b c a bc + − = 1/7 ⇒ A ≈ 81 0 47’12” * Ta có S= 1 2 absinC = 1 2 .8.5.sin60 0 = 10 3 (đơn vò diện tích). 5.Giải tam giác và ứng dụng thực tế a) Giải tam giác Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi cho biết các yếu tố khác. Muốn giải tam giác ta thường sử dụng các hệ thức đã được nêu lên trong đònh lí côsin, đònh lí sin và các công thức tính diện tích tam giác. Ví dụ 1. Cho tam giác ABC biết cạnh b = 15,4 m ; µ 0 ' 54 30C = và µ 0 64A = .Tính góc µ B và các cạnh a,c. GIẢI Ta có µ B = 180 0 −( µ µ A C+ )= 61 0 30’ Theo đònh lí sin ta có sin sin sin a b c A B C = = . Do đóù sin sin b A a B = ≈ 15,75 m Hoạt động GV Hoạt động HS Nội dung MTBT 61 , 0 ‘“, 30 , 0 ‘“ Cho các nhóm gắn lời giải lên bảng lớn Cho các nhóm nx , Gv chỉnh lí và đánh giá GV nêu ví dụ 2 Cho các nhóm thảo luận và ghi lời giải trên bảng con − Để tính cạnh b ta ad ct nào ? − Để tính µ A ta ad ct nào ? − Để tính µ C ta làm sao ? Cho các nhóm gắn lời giải lên bảng lớn Cho các nhóm nx , Gv chỉnh lí và đánh giá GV nêu ví dụ 3 Cho các nhóm thảo luận và ghi lời giải trên bảng con − Để tính diện tích của ∆ ABC ta ad ct nào ? − Để tính sinA ta cần tính gì − Để tính r ta ad ct nào ? đònh lí côsin 2 2 2 2 cosb a c ac B = + − coasA = 2 2 2 2 b c a bc + − µ C = 180 0 −( µ A + µ B ) Ct Hê− rông hoặc Ct S = 1 2 bcsinA 2 2 2 cos 2 b c a A bc + − = S=pr ⇒ r = S p sin sin b C c B = ≈ 14,27 m Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có cạnh a=19,4 cm, c = 16,4cm và µ 0 ' 47 20B = . Tính cạnh b, ˆ A và µ C GIẢI Theo đònh lí côsin ta có 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − ⇒ b ≈ 14,63 cm cosA = 2 2 2 2 b c a bc + − ≈ 0.2222 ⇒ A ≈ 77 0 9’27” µ C = 180 0 − ( µ A + µ B ) ≈ 55 0 30’33” Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có cạnh a = 24 cm, b= 13 cm và c = 15 cm . Tính các góc A,B,C GIẢI Theo đònh lí côsin ta có 2 2 2 cos 2 b c a A bc + − = = − 7 15 ⇒ µ A ≈ 117 0 49’ 2 2 2 cos 2 a c b B ac + − = = 79 90 ⇒ µ B ≈ 28 0 38’ µ C = 180 0 − ( µ A + µ B ) = 33 0 33’ Hoạt động GV Hoạt động HS Nội dung GV nêu bài toán 1 và hình vẽ − Để tính CD ta cần biết độ dài cạnh AD hoặc BD − Làm sao ta tính được cạnh AD , ta xét ∆ nào ? Trong ∆ ABD ta đã biết được 1 cạnh và 2 góc nào ? − Do đó để tính AD ta ad gì ? − Khi biết AD làm sao tính CD ? Cho các nhóm gắn lời giải lên bảng lớn Cho các nhóm nx , Gv chỉnh lí và đánh giá GV nêu bài toán 2 Cho các nhóm thảo luận và ghi lời giải trên bảng con GV nêu hình vẽ và hỏi − Để đo khoảng cách AC ta xét ∆ ABC có gì ? − · ACB = ? − Tương tự như bài toán 1 , để tính AC ta ad gì ? Gọi các nhóm gắn lời giải trên bảng lớn AB = 24m, · BAD =180 0 −α =117 · 0 48 .CBD =β = Đònh lí sin sin sin AD AB D = β Ad tỉ số lï¬ng giác trong ∆ vuông ACD CD= ADsinα AB = 42 m, · 0 47CAB = α = · 0. 55CBA =β = 180 0 −(α + β ) Đònh lí sin sin sin AC AB B C = b) Ứng dụng vào việc đo đạc Bài toán 1. Đo chiều cao của một cái tháp mà không thể đến được chân tháp.Giả sử CD= h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn 2 điểm A,B trên mặt đất sao cho 3 điểm A,B và C thẳng hàng. Ta đo khoảng cách AB và các góc · · , .CAD CBD Chẳng hạn ta đo được AB = 32m, · CAD = α = 68 0 , · 0 43 .CBD =β = Khi đó chiều cao h của tháp được tính như sau: Áp dụng đònh lí sin vào tam giác ABD ta có sin sin AD AB D = β Ta có ˆ Dα = +β nên 0 0 ˆ 43 25D 0 = α−β = 68 − = Do đó AD = 0 0 sin 32sin 43 sin( ) s in 25 AB β = ≈ α −β 51,64 Trong tam giác vuông ACD ta có h = CD = AD sin α ≈ 47,88 (m). Bài toán 2. Tính khoảng cách từ một điểm trên bờ sông đến một gốc cây trên một cù lao ở giữa sông Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông,người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ với A sao cho từ A và B có thể nhìn thấy điểm C. Ta đo khoảng cách AB,góc · CAB và · CBA . Chẳng hạn ta đo được AB = 42 m, · · 0 0. 47 , 55CAB CBA= α = = β = Khi đó khoảng cách AC được tính như sau: Áp dụng đònh lí sin vào tam giác ABC,ta có sin sin AC AB B C = (h.2.22) Hoạt động GV Hoạt động HS Nội dung Cho các nhóm nhận xét , chỉnh lí và đánh giá các lời giải . Vì sinC = sin ( )α +β nên 0 0 sin 42.sin 55 35,17 sin( ) sin102 AB AC m β = = ≈ α + β Vậy AC ≈ 35,17 m Củng cố: 1) Nhắc lại đònh lí cossin, đònh lí sin và đònh lí tính độ dài trung tuyến 2) Nhắc lại công thức tính diện tích tam giác 3) Một tam giác khi biết 2 cạnh b,c và góc kề A thì làm sao tính a, B,C 4) Một tam giác khi biết 1 cạnh a và 2 góc kề B,C thì làm sao tính A,b,c 5) Một tam giác khi biết 3 cạnh a,b,c thì làm sao tính A, B,C Dặn dò : làm BT trang 59 , hd thêm ở bài 10,11 . (đơn vò diện tích). 5.Giải tam giác và ứng dụng thực tế a) Giải tam giác Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi cho biết các yếu tố khác. Muốn giải tam giác ta thường sử dụng các. diện tích tam giác Cho tam giác ABC có các cạnh BC=a, CA=b, AB=c. Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp,nội tiếp tam giác và a h , b h , c h là các đường cao của tam giác. tính diện tích tam giác 3) Một tam giác khi biết 2 cạnh b,c và góc kề A thì làm sao tính a, B,C 4) Một tam giác khi biết 1 cạnh a và 2 góc kề B,C thì làm sao tính A,b,c 5) Một tam giác khi biết