Tài liệu ôn thi tốt nghiệp I/ CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ: Tính đơn diệu của hàm số: 1. Cho hàm số : ( ) ( ) 3 2 1 1 3 4 3 y x m x m x= − + − + + − (1) m là tham số. 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi 0m = 2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hồnh và hai đường thẳng 1; 1x x= − = 3/ Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng ( ) 0;3 . 2. Cho hàm số: ( ) xaxaaxy ++−= 2sin 4 3 cossin 2 1 3 1 23 tìm a để hàm số ln đồng biến. 3. Cho ( ) ( ) 941 223 +−+−+= xaxaxy tìm a để hàm số ln đồng biến. 4. Cho ( ) ( ) ( ) 28311 3 1 23 ++−+−−+= axaxaxay Tìm a để hàm số ln nghịch biến. 5. Cho hàm số ( ) axaxxy 413 23 ++++= Tìm a để hàm số nghịch biến trên (-1;1) 6. Cho hàm số ( ) ax xx y + − = 8 8 2 Tìm a để hàm số đồng biến trên [1;+∞). 7. Cho hàm số 12 32 2 + +−− = x axx y . Tìm a để hàm số nghịch biến trên (-1/2; +∞). 8. Cho hàm số ax aaxx y − ++− = 22 2 tìm a để hàm số đồng biến với mọi x > 1. 9.Cho hàm số ( ) ( ) 3 1 231 3 1 23 +−+−−= xmxmmxy . Tìm m để hàm số đồng biến [2;+∞). 10. Cho hàm số mmxxxy +++= 23 3 tìm m để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài đúng bằng 1. 11. Cho: ( ) 32223 133 aaxaaxxy −+−+−= .Tìm a để hàm số đồng biến với [ ] [ ] 2;01;3 ∪−−∈∀x . Bài toán tiếp tuyến cơ bản: 1. Cho hàm số 23 23 +−= xxy viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua A(-1;-2). 2. Cho hàm số ( ) 2 23 + + == x x xfy . Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp đi qua A(1;3). 3. Cho hàm số ( ) x xx xfy 1 2 +− == . Viết phương trình tiếp tuyến qua A(2;-1). 4. Cho hàm số ( ) 24 2 1 2 1 xxxfy −== . Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua gốc O(0;0). 5. Cho hàm số xxy 3 3 −= (1) a) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng ( ) 21 ++= xmy ln cắt đồ thị (1) tại điểm A cố định. b) Tìm m để đường thẳng đó cắt (1) tại 3 điểm A, B, C khác nhau sao cho tiếp tuyến tại B và C vng góc vơi nhau. 6. Cho hàm số x xx y 23 2 +− = tìm trên đường thẳng x =1 những điểm M sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) mà hai tiếp tuyến đó vng góc. Cực trò : 1. Cho hàm số ( ) 532 23 −+++= mxxxmy . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. 1 Biên soạn: Nguyễn Thò Hạnh Vinh Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 2. Cho hsố ( ) ( ) 2 1 231 3 1 23 +−+−−= xmxmmxy . Tìm m để hsố đạt cực trò tại x 1 , x 2 và x 1 + 2x 2 = 1. 3. Cho hàm số 4 3 2 − ++− = x mxx y .Tìm m để 4=− CTCD yy . 4. Cho hàm số ( ) ( ) 53 23 +++−−== mmxxmxxfy . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. 5. Cho hàm số ( ) ( ) 113 23 −−−+== xmmxmxxfy . Tìm m để hàm số khơng có cực trị. 6. Cho hàm số ( ) ( ) 1134 234 ++++== xmmxxxfy Tìm m để hàm số chỉ có cực tiểu khơng có cực đại. 7. Cho hàm số 1 8 2 − +−+ = x mmxx y . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đường thẳng 0179 =−− yx . 8. Cho hsố 1 2 12 − +−= x m xy . a.Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu b.Tìm quỹ tích các điểm cực đại. 9. Cho hàm số: mxmxxy +−−= 34 23 . Cmr ∀ m hàm số ln có cực đại, cực tiểu trái dấu. 10. Cho hàm số )( 22 m C mx mmxx y − −+− = . Tìm m để (C m ) có cực đại, cực tiểu. Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu. Giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhở nhất của hàm số: 1 1 2 + + = x x y trên đoạn [-1;2] 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) 2 4 xxy −+= b) 1− = x xey trên [-2;2] c) ( ) 2log 2 3 1 −+= xxy trên [3;6] d) xxxy ln 2 3 32 2 +−+= trên 4; 2 1 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 90723 23 +++= xxxy trên [-5;5] 1. xxy 3 sin33sin −−= 2. 2 1 cossin 2 +−= xxy 3. xxxy 22 sin7sin33cos4 ++= 4. xxy 2 cos+= trên 4 ;0 π . 5. xxy 5coscos5 −= trên − 4 ; 4 ππ II/ NGUN HÀM, TÍCH PHÂN 1. Tìm ngun hàm của hàm số sau. 1. ( ) 3 1 13 + + = x x y 2. xx y − = 3 1 3. xx x y − − = 3 4 2 4. 23 333 3 2 +− ++ = xx xx y 5 xxy 2cos.cos= 6. xy 3 sin= 7. xgy 3 cot= 8. xey x 4sin. 3 = 2. Tìm ngun hàm của hàm số f(x) khi biết. f(x) = xx 3cos.5cos và 1 4 = π G 3. Tìm ngun hàm của hàm số f(x) biết. ( ) 4 4cos 4cos 15 8sin. 2 2 + = x x e xe xf và 0 8 = π G 4. Tính các tích phân: 2 Biên soạn: Nguyễn Thò Hạnh Vinh Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 1. xdxosc 4 0 ∫ π 2. ∫ + 2 0 2cos2 cos π dx x x 3. ∫ 2 0 22 cos.sin π xx dx 4. ∫ 2 4 4 sin π π x dx 5 . ∫ + 2 0 3 cos1 sin4 π x xdx 6. ∫ − + 1 0 2 1 x x e dxe 7. ∫ + π 0 2 cos2 sin dx x xx 8. ∫ + π 2 0 2sin1 dxx 9. ∫ + 2 0 cossin sin π dx xx x 10. ∫ + e dx x x 1 ln1 11. ( ) ∫ e dxx 1 lnsin 12. ( ) ∫ e dxxx 1 2 ln (PVBC:98) 13. ( ) dxxe x π π ∫ 2 0 2 sin 14. ∫ 2 1 ln xdxx 15. ( ) ∫ + + 3 7 0 3 23 1 dx x dxx (GT:89) 16. ∫ − 2 0 22 4 dxxx 17. ( ) ∫ 3 2 0 3 sin π dxx (KT:01) 18. ∫ + + 2 0 cos1 sin1 π dxe x x x 19. ∫ −+ 3 6 22 2cot π π dxxgxtg (Mỏ:00 ) 20. Tìm a, b để hàm số ( ) 2 2 ++= x b x a xf thoả mãn điều kiện: 4 2 1 ' −= f và ( ) ∫ −= 1 2 1 2ln32dxxf III/ DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY : 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường. 1. xxy 2 ln.= ; trục Ox; x = 1; x = e. 2. x ey = ; x ey − = , 1 = x . 3. 34 2 +−= xxy ; 3=y . 4. 01 3 =+− yx ; 01 =−+ yx ; 0=y . 5. ( ) ( ) ( ) 8 :;: 27 ; 2 2 2 11 x yPxyP x yC === 6. ( ) 54: 2 +−= xxyP . và 2 tiếp tuyến của (P) tại 2 điểm A(1;2) và B(4;5). 2. Trên mặt phẳng toạ độ cho 2 đường Parabol: 2 238 xxy −−= và 2 292 xxy −+= . 1. Xác định a và b sao cho đường thẳng baxy += đồng thời là tiếp tuyến của 2 parabol. Xác đinh toạ độ của các tiếp điểm. 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường parabol đã cho và tiếp tuyến vừa xác định ở trên. 3. Tính thể tích các vật thể sinh ra giới hạn bởi các hình phẳng được giới hạn: 1.(C): x xey = ; x = 1; y = 0 quay quanh Ox. 2.(C): x x y cos. 2 sin= ;y = 0; x = 0; 2 π =x quay quanh Ox. 3. ( ) ( ) ( ) 4:;2: 2 =∆−= yxyP a. Quay quanh Ox. b. Quay quanh Oy. IV/ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG – ĐƯỜNG THẲNG – MẶT CẦU : 1. Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(3;2;1) cắt và vng góc với đường thẳng (Δ) có phương trình: 1 3 42 + == zyx 2. Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(-4;-5;3) và cắt hai đường thẳng. ( ) 1 2 2 3 3 1 : 1 − − = − + = + zyx D ( ) 5 1 3 1 2 2 : 2 − − = + = − zyx D 3 Biên soạn: Nguyễn Thò Hạnh Vinh Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 3. Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(0;1;1) vng góc với (D): zy x =+= − 2 3 1 và cắt đường ( ) =+ =+−+ 01 02 : ' x zyx D (ĐHD:98) 4. Cho (P): 012 =−++ zyx và ( ) 3 2 2 1 : − + == − z y x d Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm của (d) và (P) vng góc với (d) và nằm trong (P). 5. Viết phương trình đường thẳng qua M(-1;2;-3) và vng góc với ( ) 3;2;6 −−a và cắt (D): 5 3 2 1 3 1 − = + = − zyx 6. Cho A(2;-1;1), ( ) =+−− =−+ ∆ 022 04 : zyx zy a. Viết phương trình (P) qua A và vng góc với (Δ). b. Xác định toạ độ điểm B đối xứng với A qua (Δ). 7. Viết phương trình đường thẳng (d) vng góc với mặt phẳng (P): x + y + z = 1 và cắt hai đường thẳng: ( ) ( ) =++− =++− = − + = − 0122 042 :; 1 1 2 1 : 21 zyx zyx dz yx d 8. Cho mặt phẳng (P) qua A(0;0;1), B(-1;-2;0), C(2;1;-1) a. Viết phương trình mặt phẳng (P). b. Tìm những điểm các đều 3 điểm A, B, C. 9. . Cho ( ) =+−− =−− 05 0112 : zyx yx d ( ) 3 6 1 2 2 5 : − = − = − ∆ zyx a.CMR: (d) và (Δ) thuộc một mặt phẳng. b. Viết phương trình mặt phẳng đó. c. Viết phương trình hình chiếu song song của (d) theo (Δ) lên mặt phẳng (P) 01223 =−−− zyx 10. Cho ( ) 3 1 2 1 7 3 : 1 − = − = − − ∆ zyx ; ( ) 1 9 2 3 1 7 : 2 − − = − = − ∆ zyx Hãy viết phương trình chính tắc của đường thẳng (Δ 3 ) đối xứng với (Δ 2 ) qua (Δ 1 ) (tức là điểm K ’ bất kỳ thuộc (Δ 3 ) ln có điểm K thuộc (Δ 2 ) đối xứng với K ’ qua (Δ 1 ) và ngược lại). 11. Cho A(0;0;-3), B(2;0;-1) và mặt phẳng 01783 =−+− zyx a. Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng AB và mặt phẳng (P) b. Tìm toạ độ ( ) PC ∈ sao cho tam giác ABC đều. 12. Cho (D 1 ): 1 9 2 3 1 7 − − = − = − zyx (D 2 ): =+− =+−+ 01 0922 zy zyx a. CMR: (D 1 ) ┴ (D 2 ). b. Viết phương trình đường vng góc chung của (D 1 ) và (D 2 ). 13. Cho các điểm A(-2;1;0), B(-2;0;1), C(1;-2;-6), D(-1;2;2) 1. Tính thể tích khối tứ diện ABCD. 2. Viết phương trình mặt phẳng (ABC), (ABD). Viết phương trình tham số của CD. 3. Tính khoảng cách giữa AB và CD. 4. Tìm trên CD một điểm I sao cho I cách đều (ABC) và (ABD). 5. Cho G là điểm thoả mãn. →→→→→ =+++ 0GDGCGBGA . Xác định xem G nằm trong tứ diện ABCI hay tứ diện ABDI. 14.Trong khơng gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho hai đường thẳng: ( ) =+− =+− ∆ 01044 0238 : zy zx ; ( ) =++ =−− 022 032 : zy zx d 4 Biên soạn: Nguyễn Thò Hạnh Vinh Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 1. Viết phương trình mặt phẳng chứa (Δ) và chứa đường vng góc chung (Δ) và (d). 2. Lập phương trình đường thẳng qua M(1;-1;-2) vng góc vơi (Δ) và cắt (d). 3. Viết phương trình song song với Oz và cắt cả hai đường thẳng (Δ) và (d). 15. Cho A(0;1;2), B(2;3;1), C(2;2;-1) 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B, C. Chứng minh rằng O cũng nằm trên mặt phẳng (P). 2. Chứng minh rằng tứ giác OABC là hình chữ nhật, tính diện tích hình chữ nhật. 3. Tính thể tích hình chóp S.OABC biết S(9;0;0). 4. Viết phương trình phân giác trong góc B của Δ ABC. 5. Cho ( ) += −−= += tz ty tx d 3 1 21 : (là tham số). Viết phương trình đường vng góc chung của (d) và AB. 16. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(0;0;1), N(3;0;0) và tạo với mặt phẳng (Oxy) góc 3 π 17. . Viết phương trình mặt cầu có tâm I(2;3;-1) và cắt ( ) =−+− =++− 0843 020345 : zyx zyx d tại hai điểm A và B sao cho AB = 16. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc ( ) =−++ =−−+ 01454 0742 : zyx zyx d và tiếp xúc với hai mặt phẳng có phương trình (P): x + 2y – 2z – 2 = 0. và (Q): 2x + 2y -2z + 4 = 0. 18. Cho mặt phẳng (P): 16x – 15y – 12z + 75 =0 a. Lập phương trình mặt cầu (S) tâm là gốc toạ độ O, tiếp xúc với mặt phẳng (P). b. Tìm toạ độ tiếp điểm H của mặt phẳng (P) với mặt cầu (S). c. Tìm điểm đối xứng của gốc toạ độ O qua mặt phẳng (P). 19.(S): 067642 222 =−−−−++ zyxzyx ,(Δ): =+− =−+− 032 0823 yx zyx ; (Q) : 07225 =−++ zyx a. Lập phương trình mặt phẳng chứa (Δ) và tiếp xúc với (S). b. Lập phương trình hình chiếu vng góc của (Δ) lên mặt phẳng (Q). 20. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình: (S) 015462 222 =−+−+++ zyxzyx (d) =−− =−+− 02 0308118 zyx zyx 21. Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Đề các vng góc Oxyz, cho bốn điểm A(1;2;2), B(-1;2;1), C(1;6;- 1), D(-1;6;2) a. CMR: ABCD là tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau. b. Tính khoảng cách giữa AB và CD. c. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. 22. Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Đề các vng góc Oxyz cho hai đường thẳng (d 1 ) (d 2 ) có phương trình ( ) = = = 4 2 : 1 z ty tx d ( ) =−++ =−+ 012344 03 : 2 zyx yx d a. CMR: (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau. b. Tính khoảng cách giữa (d 1 ) và (d 2 ). c. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vng góc chung của (d 1 ) và (d 2 ). 5 Biên soạn: Nguyễn Thò Hạnh Vinh Tài liệu ôn thi tốt nghiệp V/ SỐ PHỨC: 1. T×m m«®un cđa sè phøc z = 4 – 3i + (1-i) 3 2. T×m phÇn thùc vµ phÇn ¶o cđa sè phøc z biÕt sè phøc z tho¶ m·n: 2 (1 ) (2 ) 8 (1 2 )i i z i i z+ − = + + + 3. Gi¶i ph¬ng tr×nh trªn tËp sè phøc: 1. 2 4 5x x− + = 0 2. 2iz + 1 - i = 0 3. 4 2 6 25 0z z− + = 4. 3 2 (2 1) 1 ( 5)x y i x y i− + + = + − − 5. ( ) ( ) 2 2 ) 3 4 5 1 0; (1) ) 1 2 0; (2) a x i x i b x i x i − + + − = + + − − = 6. 2 2 3 ) 3 2 0; (1) ) 1 0; (2) ) 1 0 (3) a x x b x x c x + + = + + = − = 4. Trªn mỈt ph¼ng phøc t×m c¸c ®iĨm biĨu diƠn sè phøc z tháa m·n: 2z i− = 5. Gi¶ sư M(z) lµ ®iĨm trªn mỈt ph¼ng to¹ ®« biĨu diƠn sè phøc z. T×m tËp hỵp nh÷ng ®iĨm M(z) tháa m·n ®iỊu kiƯn sau: a) 1 2z i− + = ; b) 2 z i z+ = − . 6. TÝnh 1. 1 1 3 2 2 i+ 2. 2 3 2009 1 i i i i+ + + + + 3. 100 (1 )i− 7. Cho sè phøc 1 3 2 2 z i= − + . H·y chøng minh r»ng: ; 1 2 2 3 1 0; 1.z z z z z z + + = = = = 8. T×m sè phøc z, nÕu 2 0zz + = . 9. T×m c¨n bËc hai cđa c¸c sè phøc sau: ) 5 12 ) 8 6 ) 33 56 ) 3 4 a i b i c i d i − + + − − + 10. Chøng minh r»ng nÕu mét ph¬ng tr×nh bËc hai víi hƯ sè thùc cã nghiƯm phøc α ∉¡ th× còng nhËn α lµ nghiƯm. 11. T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh: 2 3 0x mx i+ + = cã tỉng b×nh ph¬ng 2 nghiƯm b»ng 8. 12. Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh 2 2 1 2 1 2 5 2 (1) 4 (2) z z i z z i + = + + = − 13. ViÕt c¸c sè phøc sau díi d¹ng lỵng gi¸c: 1 3 )(1 3)(1 ) ) 1 ) sin cos i a i i b i c z i ϕ ϕ − − + + = + 14. T theo gãc ϕ , h·y viÕt sè phøc sau díi d¹ng lỵng gi¸c: (1 cos sin )(1 cos sin ).i i ϕ ϕ ϕ ϕ − − + + 6 Biên soạn: Nguyễn Thò Hạnh Vinh . trên [-5;5] 1. xxy 3 sin33sin −−= 2. 2 1 cossin 2 +−= xxy 3. xxxy 22 sin7sin33cos4 ++= 4. xxy 2 cos+= trên 4 ;0 π . 5. xxy 5coscos5 −= trên − 4 ; 4 ππ II/ NGUN. 23 333 3 2 +− ++ = xx xx y 5 xxy 2cos.cos= 6. xy 3 sin= 7. xgy 3 cot= 8. xey x 4sin. 3 = 2. Tìm ngun hàm của hàm số f(x) khi biết. f(x) = xx 3cos.5cos và 1 4 = π G 3. Tìm. ) 4 4cos 4cos 15 8sin. 2 2 + = x x e xe xf và 0 8 = π G 4. Tính các tích phân: 2 Biên soạn: Nguyễn Thò Hạnh Vinh Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 1. xdxosc 4 0 ∫ π 2. ∫ + 2 0 2cos2 cos π dx x x