đề thi học sinh giỏi Toán 8 .9 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 : (2đ) Giải phơng trình: 2 x - 1+x = 2 Bài 2: (2,5đ) a) Chứng minh rằng: A(n) = n 4 + 6n 3 + 11n 2 + 6n chia hết cho 24 với mọi n N b) Chứng minh rằng các số có dạng: n 4 4n 3 4n 2 + 16n với n chẵn và lớn hơn 4 thì chia hết cho 384 Bài 3: (2,5đ) Tìm ba số x , y , z biết: a) 54 ; 32 zyyx == với x + y z = 10. b) 83 yx = với 2x +3y = -30. Bài 4: (3đ) Cho tam giác ABC, N là trung điểm của đoạn AB , M là trung điểm của đoạn AC. P và Q nằm trên BC sao cho BP = PQ = QC. BM cắt NP và AQ tại K và L. So sánh diện tích tứ giác KLQP với diện tích tam giác ABC. Hết đề thi Đáp án đề Toán 8 . 9 Bài 1 : (2đ) Ta có: x = x nếu 0 -x nếu x<0 và 1+x = x+1 nếu x 1 -(x+1) nếu x<-1 0,5đ Ta lập bảng sau đây: - -1 0 + 2 x -2x -2x 0 2x 1+x -(x+1) 0 x+1 x+1 2 x - 1+x -2x +(x+1) -2x (x+1) 2x-(x+1) 0,5đ Do đó ta có: 1) Với x<-1 -2x +(x+1) = 2 x = - 1 (loại) 2) - 1 x < 0 - 2x x 1 = 2 x = - 1 0,5đ 3) Với x 0 2x x 1 = 2 x = 3 0,5đ Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm số là -1 và 3 Bài 2: (2,5đ) a) 1 đ Ta phân tích thành nhân tử : A(n) = n 4 + 6n 3 + 11n 2 + 6n = n(n+1)(n+2)(n+3) 0,5đ Đa thức phân tích đợc là tích của bốn nguyên liên tiếp nên bao giờ cũng có một số chia hết cho 2 và một số khác chia hết cho 4. Thật vậy: Nếu n = 2k thì n + 2 = 2k + 2 = 2(k+1) do đó: - Khi k chẵn thì n 4 còn n + 2 2 - Khi k lẻ thì n + 2 4 còn n 2 - Tơng tự nh vậy, nếu ta xét n + 1 = 2k thì trong hai số n + 1 và n + 3 có một số chia hết cho 4, số kia chia hết cho 2. Do đó: A(n) =n(n+1)(n+2)(n+3) 2.4 = 8 Ta lại có: n(n+1)(n+2) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 mà (3;8) =1 nên A(n) 3.8 = 24 (đpcm) 0,5đ b) 1,5đ Ta phân tích biểu thức đã cho thành nhân tử: A = n(n-2) (n+2) (n- 4) 0,5đ Vì n chẵn và lớn hơn 4 nên ta đặt n = 2k + 2 (k >1) và biểu diễn theo k, ta có: A = (2k + 2) (2k) (2k + 4) (2k -2) 0,5đ = 16k(k-1)(k+1(k+2) = 16(k-1)k(k+1(k+2) Ta nhận thấy (k-1)k(k+1(k+2) là tích của bốn số nguyên dơng liên tiếp, tích này chia hết cho 24 Vậy tích A chia hết cho 16.24 = 384 (đpcm) 0,5đ Bài 3: (2,5đ) a) 1,5đ Từ 32 yx = 128 yx = 0,5đ 151254 zyzy == Suy ra: 2 5 10 1512815128 == + + === zyxzyx 0,5đ Vậy x = 8 .2 = 16 y= 12 .2 = 24 z = 15 .2 =30 0,5đ b) 1đ 1 30 30 246 32 8.3 3 3.2 2 83 = = + + ==== yxyxyx 0,5đ Suy ra : x = 3.(-1) = -3. y = 8.(-1) = -8 0,5đ Bài 4: (3đ) Vẽ hình 0.5 đ Kẻ CG//AQ cắt BM kéo dài tại G, suy ra BK = KL = LG. Gọi diện tích tam giác BKP là S 1 ta có S 1 = 4 BLQ S (đáy và đờng cao của tam giác BLQ đều tăng 2 lần so với tam giác BKP). Suy ra S KPQL = 3S 1 (1) 0,5đ và S 1 = 9 BGC S (lý do tơng tự nh trên). Suy ra S LQCG = 5S 1 (2) 0,5đ Ta lại thấy: S ALM = S MGC . Suy ra S AQC = S LQCG = 3 S (3) (S là diện tích tam giác ABC, cùng chiều cao, đáy QC=1/3 đáy BC) 0,5đ Từ (2) và (3) suy ra S 1 = 15 S (4). Từ (1) và (4) ta suy ra: S KPQL = 3S 1 = 3 15 S = 5 S (đpcm) 0,5đ Hết đáp án Không phải là đáp án: B C A M L N s 1 G Q P K Đề thi trên có 2 trang tự động cập nhật (tác giả không đa trực tiếp v ít truy cập trang đó), nếu có lỗi trong quá trình biên soạn thầy (cô) báo giúp tại trang http://yuio.violet.vn Cám ơn thầy (cô)! Biên soạn: Nguyễn Văn Yên THCS Phong Khê TP Bắc Ninh . 151254 zyzy == Suy ra: 2 5 10 1512815128 == + + === zyxzyx 0,5đ V y x = 8 .2 = 16 y= 12 .2 = 24 z = 15 .2 =30 0,5đ b) 1đ 1 30 30 246 32 8.3 3 3.2 2 83 = = + + ==== yxyxyx 0,5đ Suy ra. nhận th y (k-1)k(k+1(k+2) là tích của bốn số nguyên dơng liên tiếp, tích n y chia hết cho 24 V y tích A chia hết cho 16.24 = 384 (đpcm) 0,5đ Bài 3: (2,5đ) a) 1,5đ Từ 32 yx = 128 yx = 0,5đ. lớn hơn 4 thì chia hết cho 384 Bài 3: (2,5đ) Tìm ba số x , y , z biết: a) 54 ; 32 zyyx == với x + y z = 10. b) 83 yx = với 2x + 3y = -30. Bài 4: (3đ) Cho tam giác ABC, N là trung điểm của